1、 高三理数第一次模拟考试试卷高三理数第一次模拟考试试卷 一、单选题一、单选题 1设 i 为虚数单位，若复数，则（ ） A1 B C2 D 2设集合，则（ ） A B C D 3设单位向量满足，则向量的夹角为（ ） A B C D 4若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列为真命题的是（ ） A若，则 B若，则 C若，则 D若，则 5设，则 a，b，c 的大小关系正确的是（ ） A B C D 6已知，则实数的值为（ ） A4 B C D 7在中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c，已知 a，b，c 成等差数列，且，则的值为（ ） A B C D 8中华文化综罗百代，广博精微，国学经
2、典中蕴藏着中华五千年历史的智慧精髓.某校学生会举办“传承中华文化，诵读国学经典”活动，供选择的诵读经典著作为： 春秋 、 史记 、 左传 、 孙子兵法.经过层层遴选，有三位选手进入决赛，这三位选手可以从如上著作中，任选一篇文章诵读.那么这三位选手中，恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作的概率为（ ） A B C D 9如图是某几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ） A B C D 10已知双曲线的左，右焦点分别为，直线 l 过且与双曲线交于 A，B 两点，若直线 l 不与 x 轴垂直，且，则直线 l 的斜率为（ ） A B C D 11已知函数对任意都有，则正数 t 的最小值为（ ） A
3、B Ce D 二、解答题二、解答题 12命题：的否定为（ ） A B C D 13设数列的前 n 项和为，满足. （1）求数列的通项公式； （2）记，求数列的前 n 项和. 14棉花是我国主要经济作物纺织工业原料重要战略物资.量化我国棉花生产碳足迹，解析其时空变化规律，阐明其主要构成因素与影响要素，对于“碳达峰，碳中和”愿景下我国棉花绿色可持续生产具有重要意义.某地因地制宜发展特色棉花种植，随着人们种植意识的提升和科技人员的大力指导，越来越多的农田开始种植棉花，近 4 年该地区棉花种植面积如下表： （单位：百亩） 年度 2018 2019 2020 2021 年度代码 x 1 2 3 4 种植
4、面积 y 306 347 390 420 参考公试：线性回归方程：，其中，其中. 临界值表： 0.15 0.10 0.05 0.01 2.072 2.706 3.841 6.635 （1）请利用所给数据求棉花种植面积 y 与年度代码 x 之间的回归直线方程，并估计该地区 2022 年棉花的种植面积； （2）针对近几年来棉花出现的生理性蕾铃脱落，及棉花枯黄萎病等问题，某科研小组随机抽查了 100 亩棉花，对是否按时足量施用硼肥和棉花产量进行统计得到如下数据： 亩产 亩产 未按时足量施用硼肥 20 10 按时足量施用硼肥 58 12 问：是否有 90%的把握认为棉花产量与是否按时足量施用硼肥有关？
5、 15已知平面四边形由等腰和组成，O 为上的点且（如图 1 所示） ，将等腰沿折起，点 M 折至点 D 位置，使得平面平面（如图 2 所示）. （1）求证：； （2）若点 E 在棱上，且满足，平面和平面所成锐二面角的余弦值为，求四面体的体积. 16已知椭圆 E 经过点和点. （1）求椭圆的标准方程； （2）设圆，直线 l 与圆 C 相切于，与椭圆交于 A，B 两点，且，求直线 l 的方程. 17已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）若关于 x 的不等式在区间上恒成立，求 a 的取值范围. 18在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数） ，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极
6、坐标方程为. （1）求曲线的普通方程以及直线 的直角坐标方程； （2）设点，直线 交曲线于两点，求的值. 19已知函数. （1）若的解集为 R，求正数 m 的取值范围； （2）若，函数的最小值为 t，求证：. 三、填空题三、填空题 20抛物线的准线与圆，相交所得的弦长为 . 21橘生淮南则为橘，生于准北则为枳，出自屡子使楚.意思是说，橘树生长在淮河以南的地方就是橘树，生长在淮河以北的地方就是积树，现在常用来比喻一且环境改变，事物的性质也可能随之改变.某科研院校培育橘树新品种，使得橘树在淮北种植成功，经过科学统计，单个果品的质量（单位：g）近似服从正态分布，且，在有 1000 个的一批橘果中，估
7、计单个果品质量不低于的橘果个数为 . 22已知，则 . 23已知函数的部分图象如图所示.将函数的图象向右平移个单位，得到的图象，则下列有关与的描述正确的有 （填序号）. ； 方程所有根的和为； 函数与函数图象关于对称. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】因为，故. 故答案为：B. 【分析】 利用复数的乘除进行计算化简 z，再根据模的公式即可求出答案 【解析】【解答】由，得，由，解得：，所以，所以， 故答案为：D. 【分析】 求出集合 M, N，利用交集定义求出 MN. 【解析】【解答】设向量的夹角为，两边平方有：， 化简得 ，所以 ，因为 ，所以 . 故答案为：C. 【分析】根据题意，
8、设向量 的夹角为，由数量积的计算公式可得变形求出 cos 的值，即可得答案. 【解析】【解答】对于 A,当且仅当平面的交线的时，命题才成立，即原命题不成立；对于B，若，则直线可能异面，可能平行还可能相交，所以原命题为假命题；对于 C，由，可得平面内一定存在直线与直线 m 平行，进而得出该直线垂直于平面，所以原命题为真命题；对于 D，若，则平面与平面相交或垂直，所以原命题为假命题，故应选 C 【分析】利用空间中线线、线面、面面的位置关系逐项进行判断，可得答案。 【解析】【解答】因为在上为增函数，且， 所以 ，即 ， 因为 ，即 因为 在 上为增函数，且 ，所以 所以 ， 故答案为：D 【分析】
9、根据对数函数和指数函数的单调性即可得出 a,b, c 的大小关系. 【解析】【解答】根据已知得， 所以 ，解得 . 故答案为：A. 【分析】 利用三角函数恒等变换能求出实数的值. 【解析】【解答】因为，故可得，又因为 a，b，c 成等差数列，即，故可得，由余弦定理可得， 故答案为：A. 【分析】由已知利用等差数列的性质可得 ，由正弦定理化简已知可得，进而得，根据余弦定理即可求解 cosA 的值. 【解析】【解答】根据分步计数原理得到该三名选手诵读总的情形为种， 三人中恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作的情况为 ， 结合古典概型得到所求概率为 . 故答案为：C. 【分析】计算出该三名选手诵读总的
10、情况种数，以及三人中恰有两人诵读的篇目取自于同一部著作的情况的情况种数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率。 【解析】【解答】由三视图可知，该几何体上半部分是一个圆锥，下半部分是一个半球，圆锥底面半径为 r，高为 r，母线长为，下半部分是一个半球，半径为 r，如图所示： 设几何体的表面积为 . 故答案为：A. 【分析】由三视图可知，该几何体上半部分是一个圆锥，下半部分是一个半球，再利用圆锥和球的表面积公式可得答案。 【解析】【解答】由已知得到. 设 ，直线 ，显然 . 联立 ，得 . 因为 l 与双曲线交于两点，所以 ，且 . 由韦达定理知 ， 设 的中点为 ，根据 ，得到 ， 从而得
11、到 ，故 . 而 ， ， ， 所以 ，解得 ，故 l 的斜率为 ， 故答案为：B. 【分析】设 ，直线，显然，联立，结合韦达定理，可求得 AB 的中点 M 的坐标，由向量的数量积知即代入即可求解。 【解析】【解答】根据题意得， 即 ， 令 ，则 ， 由于 都在 单调递增 故 在 上单调递增，所以 ， 所以 在 上恒成立， 令 令 ，故函数 在 单调递增； 令 ，故函数 在 单调递减 故 所以 ，即 ，所以正数 t 的最小值为 . 故答案为：D 【分析】转化 为，令，则，结合 g(x)的单调性分析即得解出正数 t 的最小值。 【解析】【解答】根据特称命题的否定为全称命题，因此命题：的否定为“”.
12、 故答案为：C. 【分析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论. 【解析】【分析】(1)利用递推关系式，推出数列是公比为 2 的等比数列，然后求解出数列的通项公式； (2)推出 ，化简数列的通项公式，利用裂项消项法求解数列的和即可. 【解析】【分析】 （1）根据表中数据可计算 ， ，利用回归公式求得线性回归方程，并预测2022 年的种植面积； （2）完善列联表，计算 K2，并与临界值表进行对比，可得结论。 【解析】【分析】 （1）先通过面面垂直的性质证明平面 ，进而证明 ； （2） 建立空间直角坐标系 ，求出平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法表示出锐二面角的余弦值求出参数，进而计算
13、出四面体的体积. 【解析】【分析】 （1）由于不确定椭圆焦点的位置，故设椭圆 E 方程为， （t，且） ，将已知的两点坐标代入，求得椭圆的标准方程； （2）设直线方程，根据直线 l 与圆 C 相切求得参数间的关系，再将直线方程和椭圆方程联立，得到根与系数的关系，利用弦长公式得到关于参数的方程，解方程组，可得答案。 【解析】【分析】 (1)求出函数 f (x)的定义域和导数，讨论 a 的取值范围，利用导数判断函数 f (x)的单调性； (2)问题转化为 在区间恒成立，设，求 g (x)的导数，利用导数判断函数的单调性，讨论 a 的取值情况，从而求出不等式恒成立时实数 a 的取值范围. 【解析】【
14、分析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果. 【解析】【分析】(1)根据已知条件，结合绝对值不等式的公式，即可求解出正数 m 的取值范围； (2)由题意可得，a+b+c=4，即 ，再对式子平方，并结合基本不等式的公式，即可求证出结论. 【解析】【解答】抛物线的准线方程为，圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为 2，圆心到准线的距离为 1，所以弦长为. 故答案为： . 【分析】写出抛物线的准线方程和圆的标准方程，再根据圆的弦长公式即可求出相交所得的弦长 . 【解析】【解答】结合正态分布特征，所以估计单个果品质量不低于的橘果个数为. 故答案为：300. 【分析】 根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解. 【解析】【解答】根据时，得函数是以为周期的周期函数， . 故答案为：-5 【分析】先根据 时，进而得函数是以为周期的周期函数，再根据函数周期性求值即可得的值 。 【解析】【解答】由图象可知：，； 又 ，由五点法可知： ，解得： ； ； 对于， ，正确； 对于， ，即 ； ， ， 或 或 或 ， 所有根的和为 ，错误； 对于， ， 与 图象关于 对称，正确. 故答案为： 【分析】 根据图象求出函数 f (x)和 g (x)的解析式，分别利用正弦函数的性质逐项进行判断即可得答案.
