1、 高三下学期理数质量检测试卷高三下学期理数质量检测试卷 一、单选题一、单选题 1已知复数 （其中 i 为虚数单位） ，则（ ） A1 B C2 D 2已知集合，若，则（ ） A2 B-1 C-2 D-5 3某商场举办返利活动，凡购物满 200 元的顾客，可有机会进行一次抽奖已知每次抽奖获得一等奖的概率为，获得二等奖的概率为，获得三等奖的概率为，若一位顾客连续抽奖两次，则恰好抽到一次一等奖和一次二等奖的概率为（ ） A B C D 4已知，则 a，b，c 的大小关系为（ ） A B C D 5已知点 A 为抛物线上的动点，以点 A 为圆心的圆 M 与 y 轴相切，抛物线的焦点为 F，线段与圆 M
2、 相交于点 P，则（ ） A4 B2 C1 D 6在中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，则“”是“”的（ ） A充要条件 B充分不必要条件 C必要不充分条件 D既不充分也不必要条件 7函数在处的切线方程为（ ） A B C D 8已知函数，若，则（ ） A B C D 9在的展开式中，含项的系数为（ ） A12 B10 C9 D8 10奔驰汽车是德国的汽车品牌，奔驰汽车车标的平面图如图（1） ，图（2）是工业设计中按比例放缩的奔驰汽车车标的图纸若向图（1）内随机投入一点，则此点取自图中黑色部分的概率约为（ ） A0.108 B0.237 C0.251 D0.526 11如图，三棱锥
3、的展开图为四边形，已知，则三棱锥的体积为（ ） A B C D 12已知函数，则关于 x 的不等式的解集为（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知，满足约束条件，则的最大值为 14已知非零向量满足，则 15在平面直角坐标系中，已知双曲线的左、右顶点为、，若该双曲线上存在点，使得直线、的斜率之和为 ，则该双曲线离心率的取值范围为 16如图，在正四棱台中，且存在一个半径为的球，与该正四棱台的各个面均相切设该正四棱台的外接球半径为 R，则 三、解答题三、解答题 17已知等比数列的公比，且，设数列的前项和为 （1）证明：； （2）若，求数列的前项和 18甲、乙两个乒乓球队之间组织友谊比赛
4、，比赛规则如下：每个队各组织五名队员进行五场单打比赛，每场单打比赛获胜的一方得 1 分，失败的一方不得分已知每场单打比赛中，甲队获胜的概率均为（每场单打比赛不考虑平局的情况） （1）求五场单打比赛后，甲队恰好领先乙队 1 分的概率； （2）设比赛结束后甲队的得分为随机变量，求的分布列和数学期望 19如图，是圆柱底面的圆心，均为圆柱的母线，是底面直径，E 为的中点已知， （1）证明：平面； （2）求锐二面角的大小 20在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点为，直线与椭圆交于，两点已知周长的最大值为，且当，时， （1）求椭圆的标准方程； （2）设的面积为，若，求的取值范围 21已知函数，其中是自然对
5、数的底数 （1）设的极小值为，求的最大值； （2）若存在，使得，且，求的取值范围 22在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为， （其中 是参数，） 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为 （1）证明：曲线过定点； （2）若曲线与曲线无公共点，求的取值范围 23已知函数 （1）求函数的最小值； （2）若时，证明：对任意的，恒成立 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】，故. 故答案为：B. 【分析】 由复数代数形式的乘法运算化简，然后直接利用复数模的公式求复数 z 的模. 【解析】【解答】解：因为， 又， 所以，即， 故答案为：C. 【分析】化简集合 A，再根据交集
6、的运算得出关于 a 的不等式组，求解可得 a 的值。 【解析】【解答】恰好抽到一次一等奖和一次二等奖的概率为. 故答案为：D. 【分析】利用独立事件的概率乘法公式求解即可得答案。 【解析】【解答】因为且，所以， ，所以. 故答案为：A. 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性可得答案。 【解析】【解答】设，由题意， 由抛物线的定义，可知， 又为线段与圆 M 的交点且圆 M 与 y 轴相切，所以， 所以. 故答案为：C 【分析】由抛物线的定义及题意有，即可求得答案。 【解析】【解答】由正弦定理可得：， 在中，所以， 所以，即：， ，可得， 同理，当时，也可得成立， 故答案为：A. 【分析】 应用
7、正弦定理边化角，结合，化简得到 A 与 C 的关系，即可得答案. 【解析】【解答】解：因为，所以，即， 所以， 所以切线方程为， 故答案为：C. 【分析】 求出 f (x)，把 x = 1 代入到 f (x)中即可求出 f (1)的值，得到切线的斜率，然后把 x = 1 和f (1)的值代入到 f (x)中求出切点的纵坐标，根据切点坐标和斜率，求解切线的方程即可. 【解析】【解答】解：因为，所以，因为，即，因为，所以，所以，解得； 故答案为：B 【分析】 首先由函数解析式得到 ，再根据的取值范围，求出、的取值范围，结合条件得到,再求出的值. 【解析】【解答】因为的展开式中，的项可以理解为： 由
8、展开式中项与中的常数项相乘， 以及由展开式中项与中的项相乘后相加得到. 又的展开式中项的系数为，项的系数为， 的展开式中常数项为，项的系数为， 故的展开式中，含项的系数为. 故答案为：D. 【分析】利用二项式定理由展开式中项与中的常数项相乘，以及由展开式中项与中的项相乘后相加得到 项的系数 。 【解析】【解答】最大圆的面积； 黑圈面积 ； 每个黑色三角形 黑色面积与总面积的比值为 0.237（可以代入，也可以借助找到最接近的答案） 故答案为：B. 【分析】求最大圆的面积，利用两圆面积差求黑色圆环面积，利用三角形的面积公式求每一个黑色三角形面积，最后求出黑色面积与总面积的比值，可得答案. 【解析
9、】【解答】如图所示， 连接，且， 由已知得， 故， 则与，均为等腰三角形，且， 故点为中点，点为中点， 所以， 又， 所以， 故， 还原三棱锥如图所示， 可得， 所以，, 即， 所以平面， 故. 故答案为：D. 【分析】连接 AF, DE，根据三角形相关性质可得各棱长，进而得到 AP平面 PBC，再求出三棱锥 的体积. 【解析】【解答】解：因为， 所以函数为偶函数， 当时，有， 令，则， 所以函数在上单调递增，所以，即恒成立， 所以函数在区间上单调递增，又函数为偶函数， 所以函数在区间上单调递减， 所以关于的不等式可转化为，解得. 关于 x 的不等式的解集为， 故答案为：B. 【分析】 求出函
10、数的导数，根据函数的单调性和奇偶性得到关于 x 的不等式，解出即可得出答案. 【解析】【解答】，满足约束条件的可行域如下图所示， 目标函数经过如下图可行域的点时，目标函数取最大值：. 故答案为：5. 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案。 【解析】【解答】解：因为非零向量满足， 所以， 两式相减，可得，解得或， 当时，即，不合题意，舍去， 所以. 故答案为：. 【分析】根据题意得出，求出 的值为或，当时，不合题意，舍去，从而求出的值. 【解析】【解答】设点，其中，易知点、，且有，则， ， 当点在第一象限时，则，且， 由
11、基本不等式可得， 因为存在点，使得直线、的斜率之和为 ，则，即， . 故答案为：. 【分析】求得，利用基本不等式可求得的取值范围，结合离心率公式可求得结果. 【解析】【解答】如图，做该正棱台的轴截面，由题意，设，而， 易得， 且， 所以，即，解得，从而可知, 连接,，交于点,连接,，交于点,可知, ， 从而有, 所以，即，解得， 所以. 故答案为： 【分析】分别求出内切球与外接球的半径即可求出答案。 【解析】【分析】(1)利用等比数列求和公式化简直接可证得 ； (2)写出数列 与 的通项公式，利用裂项相消法求出数列的前项和 【解析】【分析】 （1）根据题意可知，在五场比赛中，甲队赢 3 场 ，
12、乙队赢 2 场 ，由此可求出 甲队恰好领先乙队 1 分的概率； （2） 由题意，可取 ，分别求出对应的概率，可得 的分布列和数学期望 【解析】【分析】 (1)利用线面垂直判定定理证明 平面 ； (2) 以 C 为原点，CA 为 x 轴，CB 为 y 轴，为 z 轴建立空间直角坐标系 ，利用向量法求出锐二面角的大小 【解析】【分析】(1)由已知可得当直线 AB 经过点 F1时，三角形周长最大，再利用待定系数法求得椭圆方程； (2)联立直线与椭圆方程，结合韦达定理与弦长可得 ，进而可得三角形面积，再利用换元法及二次函数最值情况可得面积的范围. 【解析】【分析】(1)求导，导数与函数单调性及极值的关系，可得 f (x)的极小值，即 ，构造函数 ，利用导数即可求得其 的最大值； (2) 设，结合 ，代入整理可得 有正实数解，构造函数 ，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，即可求得 a 的取值范围. 【解析】【分析】(1)直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换，进一步求出曲线过定点坐标； (2)利用两圆的位置关系的应用求出 的取值范围 【解析】【分析】 (1)利用分类讨论法去掉绝对值，即可求出函数 f (x)的最小值； (2)根据 求出 f(x)，根据 a4 求出 ， 再利用作差法证得结论。
