1、高三理数联考试卷高三理数联考试卷 一、单选题一、单选题 1已知集合，则（ ） A B C D 2棣莫弗公式（其中 为虚数单位）是由法国数学家棣莫弗（1667-1754 年）发现的，根据棣茣弗公式可知，复数在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3北京时间 2 月 20 日，北京冬奥会比赛日收官，中国代表团最终以 9 枚金牌 4 枚银牌 2 枚铜共 15枚奖牌的总成绩，排名奖牌榜第三，创造新的历史.据统计某高校共有本科生 1600 人，硕士生 600人，博士生 200 人申请报名做志愿者，现用分层抽样方法从中抽取博士生 30 人，则该高校抽取的志愿者总人数
2、为（ ） A300 B320 C340 D360 4魏晋南北朝时期，我国数学家祖冲之利用割圆术，求出圆周率约为，是当时世界上最精确的圆周率结果，直到近千年后这一记录才被打破.若已知的近似值还可以表示成，则的值为（ ） A B C8 D-8 5设，则（ ） A B C D 6若正实数满足，则的值可能为（ ） A1 B2 C3 D4 7已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则的最大值为（ ） A5 B6 C7 D8 8“”是“方程表示椭圆”的（ ） A充分不必要条件 B必要不充分杂件 C充要杂件 D既不充分也不必要条件 9在中，角所对的边分別为，满足，若函数的图象向左平移个单位长度后的图象于轴对称，则
3、在的值域为（ ） A B C D 10已知为椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的公共点，且分别为椭圆和双曲线的离心率，则的值为（ ） A1 B2 C3 D4 11如图，正方体的棱长为，点是内部（不包括边界）的动点.若，则线段长度的取值不可能为（ ） A B C D 12已知函数是偶函数，函数，若恒成立，则实数的取值范围是（ ） A B C D 二、填空题二、填空题 13已知，试写出一个满足条件的 . 14如图，方格蜘蛛网是由一族正方形环绕而成的图形.每个正方形的四个顶点都在其外接正方形的四边上，且分边长为.现用 24 米长的铁丝材料制作一个方格蜘蛛网，若最外边的正方形边长为 2米，由外到内顺序制作
4、，则完整的正方形的个数最多为 .（参考据：） 15下列命题中，真命题的序号是 . 已知函数满足，则函数： 从分别标有的 9 个完全相同的小球中不放回地随机摸球 2 次，每次摸球 1 个，则摸到的 2 个球上的数字奇偶性相同的概率是； 用数学归纳法证明“”，由到时，不等式左边应添加的项是； 的二项展开式中，共有 3 个有理项. 16已知正数满足，则的取值范围是 . 三、解答题三、解答题 172022 年是中国共产主义青年团建团 100 周年.100 年栉风沐雨，共青团始终坚定不移跟党走，团结带领共青团员和广大青年前赴后继勇当先锋，书写了中国青年运动的华章.实践证明，共青团不愧为党和人民事业的生力
5、军和突击队，不愧为党的得力助手和可靠后备军.为庆祝共青团建团 100 周年，我校举行团史知识竞赛活动，比赛共 20 道题，答对一题得 5 分，答错一题扣 2 分，学生李华参加了这次活动，假设每道题李华能答对的概率都是，且每道题答对与否相互独立. （1）求李华开始答题后直到第 3 题才答对的概率： （2）求李华得分的期望值. 18已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列. （1）求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求证：. 19已知过点的动直线与抛物线交于点，抛物线的焦点为，当点横坐标为时，. （1）求抛物线的方程； （2）当直线变动时，轴上是否存在点，使得点到直线的距离相等，若
6、存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 20阅读以下材料：球的体积公式的推导，球面可以看作一个半圆绕着其直径所在直线旋转一周所得，已知半圆方程为，由得，则根据以上材料，解答下列问题：椭球面可以看成半个椭圆绕着其长轴所在直线蔙转一周所形成的旋转体，定义椭球的扁率为对应椭圆的长短半轴之差与长半轴之比，通常用扁率来表示椭球的扁平程度，椭球的扁率越大，杯球愈扁. （1）若椭圆方程为，试推导椭球的体积公式： （2）如图所示的椭球是由水平放置的椭圆绕其长轴所在直线旋转所得，其中旋转得到椭圆，椭圆上的点刚好对应椭圆上的点，椭圆的中心为，以为轴建立空间直角坐标系（椭圆在平面内） ，点关于轴对称的点为，已知椭球
7、体积为，椭球扁率值为横坐标为 1，纵坐标为负数，求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 21已知函数. （1）试讨论函数的单调性： （2）设分别是的极大值和极小值，且，求的取值范围. 22在直角坐标系中，直线 的参数方程为（ 为参数） ，以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知直线与曲线交于不同的两点. （1）求直线 的普通方程的一般形式和曲线的直角坐标方程： （2）设，求的值. 23设函数. （1）求不等式的解集； （2）若的最小值是，且，求的最小值. 答案解析部分答案解析部分 【解析】【解答】解不等式得：，解不等式得：， 于是得， 所以. 故答案为：C 【
8、分析】化简集合 A,B，再根据交集的定义即可求出答案。 【解析】【解答】解：由已知得， 复数在复平面内所对应的点的坐标为，位于第三象限 故答案为：C 【分析】 根据给定公式计算复数，再确定该复数所对点的横纵坐标正负即可得求出答案. 【解析】【解答】因为，用分层抽样方法从中抽取博士生 30 人，所以本科生、硕士生抽取的人数分别为人、人，则该高校抽取的志愿者总人数为人. 故答案为：D 【分析】根据分层抽样的性质得出该高校抽取的志愿者总人数。 【解析】【解答】因为，所以， ， 故答案为：C 【分析】 根据同角关系式，以及倍角公式进行转化求解即可得答案. 【解析】【解答】由对数函数的性质，可得，即，
9、又由，可得， 因为，所以， 所以. 故答案为：A. 【分析】由对数函数的性质，可得，即可得答案。 【解析】【解答】作出不等式组且表示的平面区域，如图中阴影区域(不含边界)，其中点， 目标函数，即表示斜率为，纵截距为的平行直线系， 作直线，平移直线到直线，当直线过点时，的纵截距最小，z 最大， 显然点是平面阴影区域的边界点，因此，平面阴影区域内任意点恒有成立， 所以的值可能为 1. 故答案为：A 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案。 【解析】【解答】因为两点，点满足，故点的轨迹是以为直径的圆（不包含） ， 故其轨迹方程
10、为， 又圆上存在点，故两圆有交点， 又，则， 解得，则 m 的最大值为 7. 故答案为：C. 【分析】由，得点的轨迹是以为直径的圆（不包含） ，利用两圆有公共点可求出 m 的范围，进而求出 的最大值 。 【解析】【解答】由，可得， 当时，方程可化为，此时方程表示圆，所以充分性不成立； 反之：方程表示椭圆，则满足，即且， 所以不成立，即必要性不成立， 所以“”是“方程表示椭圆”的既不充分也不必要条件. 故答案为：D. 【分析】 根据椭圆方程的形式，结合充分条件、必要条件的定义，即可得答案. 【解析】【解答】因为，故可得， 即， 又，故，联立， 可得，解得（舍去）或， 又，则， 将向左平移个单位长
11、度后得到， 又因为其为偶函数，故，故，又， 故当时，满足题意，则， 当时，故. 故答案为：B. 【分析】求出图像变换后的解析式，根据对称性求出，然后由正弦型函数的性质求出答案。 【解析】【解答】解：如图，设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，则根据椭圆及双曲线的定义： ； ，设，则： 在中由余弦定理得，； 化简得，该式可变成， ； 故答案为：B 【分析】 先设椭圆的长半轴长为，双曲线的半实轴长为，焦距 2c，根据椭圆及双曲线的定义用 a1, a2表示出|PF1|，|PF2|，并且，在中由余弦定理得，即，进而得出答案. 【解析】【解答】在正方体 AC1中，连接 AC，A1C1，如图， BDAC
12、，BDAA1，则 BD平面 ACC1A1， 因 APBD，所以平面 ACC1A1，又点 P 是B1CD1内部(不包括边界)的动点， 连接 CO，平面 B1CD1平面 ACC1A1=CO，所以点 P 在线段 CO 上(不含点 C，O)， 连接 AO，在等腰OAC中，而底边 AC 上的高为， 腰 OC 上的高，从而有， B、C、D 选项都符合，A 选项的不符合. 故答案为：A 【分析】 由所给条件探求出动点 P 的轨迹，然后在三角形中求出点 A 与动点 P 的距离范围，可得答案. 【解析】【解答】因为为偶函数， 所以恒成立， 所以，所以恒成立. 易知，若，函数在定义域上单调递减，且时，不满足； 当
13、时，记， 由，得， 即 ，令得， 易知时，有最大值 0，故，所以 要使时恒成立，则，即， 记恒成立时 k 的范围为，则， 排除 ACD. 故答案为：B 【分析】 由 f (x)为偶函数可得 m 的值，然后利用，对函数 g(x)放缩，使用排除法可得答案. 【解析】【解答】设因为且，所以，解得. 故答案为： （1,1） 【分析】 根据已知条件，结合向量的数量积公式，即可求解出 的坐标 . 【解析】【解答】设外层的正方形边长为，根据题意则其内接正方形的边长为， 设方格蜘蛛网对应正方形边长对应数列，由题可知：,， 故，设正方形周长对应数列，则， 则的前项和， 根据题意，令，则， 两边取对数可得，故，
14、故完整的正方形的个数最多为 5 个. 故答案为：5. 【分析】根据已知条件，构造正方形周长满足的等比数列，再结合等比数列的前 n 项和公式，以及对数运算公式，即可求解出答案. 【解析】【解答】对于，令 ，故， 即，故不是真命题； 对于，从分别标有的 9 个完全相同的小球中不放回地随机摸球 2 次，每次摸球 1 个，球上数字共有 种可能，其中两个球上数字奇偶性相同的可能为 种，故所求概率为 ，故正确，是真命题； 对于，用数学归纳法证明“”， 当时，不等式左边为， 当时，不等式左边式子应为， 故应添加的项是 ，故是真命题； 对于，二项式展开式的通项公式为： ， 当 时， 为有理项，共有四项，故错误
15、； 故答案为： 【分析】 利用换元法求得函数 f (x )的解析式，要注意定义域，由此判断；根据古典概型的计算公式求得摸到的 2 个球上的数字奇偶性相同的概率,判断；写出 n=k 和 n=k+1 时不等式左边的式子，比较可判断；利用二项式展开式的通项公式,根据 x 的指数是否为整数可判断出有理项，判断. 【解析】【解答】由可得：，因为，以及， 可得， 故 ， 令，则， 又在单调递增， 故可得，于是. 故答案为：. 【分析】根据已知条件求得 xy 的取值范围，将 z 平方后，得到关于 xy 的二次函数，根据二次函数的单调性，即可求得其值域，再求得 z 的取值范围. 【解析】【分析】 （1）利用独
16、立事件的乘法公式，计算即可得李华开始答题后直到第 3 题才答对的概率； （2） 答一题得分只有两种情况，求出对应的概率，按照期望的定义求解即可。 【解析】【分析】(1)化简可得 f(x)=tan2x，结合正切函数的图象与性质，推出数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，即可求出数列的通项公式； (2)裂项可得 再求和，即可证得 . 【解析】【分析】 （1） 由抛物线的定义， 求得 p 的值，即可求得抛物线的方程； （2） 假设存在点使得点到直线的距离相等，由题意得到 ， 设过点的动直线为，联立方程组求得 ，化简，求得 t 的值，即可得到答案。 【解析】【分析】 (1)根据已知条件类比半圆推导球的
17、体积公式的方法，可利用半椭圆推出椭球的体积公式，利用微积分的基本定理即可推出椭球的体积公式 ； (2)根据已知条件得出椭圆中得 a, b，利用已知条件及空间直角坐标系，写出 P1, P2, P3, A，B 的坐标，求出平面 ABP3与平面 P1BP3的法向量，利用向量的夹角公式即可求解出平面与平面所成锐二面角的余弦值 . 【解析】【分析】(1)先对函数求导，然后讨论 a 的取值范围，进而确定函数的单调性； (2)由(1)求出参数 a 的取值范围，结合极大值，极小值与一元二次方程根的关系，构造函数，利用其单调性即可求出的取值范围. 【解析】【分析】 (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出 的值. 【解析】【分析】 (1)让绝对值内各因式为 0，求得 x 值，再由求得的 x 值把函数定义域分段化简求解，取并集得 不等式的解集； (2)由（1）可知， 即利用柯西不等式求出 的最小值.
