1、第二章第二章 张量分析张量分析ifxif,if偏导数的记法偏导数的记法12哈密顿算子哈密顿算子iie u r3梯度梯度fgradf 2.1基础知识基础知识则梯度为：则梯度为：f fffijkxyzrrr标量的梯度：标量的梯度：标量函数：标量函数：( )ffrr展开后有：展开后有：112233f ef ef e u ruru r原式原式iigradfefu r()()iijjgradaaea e rru rur()()iijjea eu rur()()ijijae e u rur矢量的梯度：矢量的梯度：yxzyxzyxzaaaxxxaaayyyaaazzz左梯度左梯度 aaradgjjiiaee
2、, i jijae ejiijeeajiijxaa其中：其中：iijjaxe e右梯度右梯度两者关系两者关系()Taa 左梯度左梯度右梯度右梯度332313322212312111xaxaxaxaxaxaxaxaxaa写成矩阵形式为：写成矩阵形式为： 张量的梯度：张量的梯度：ijkijkTe e eiijkjkT ee e 设设T T为任意二阶张量为任意二阶张量 它的左梯度它的左梯度gradTgradT定义为：定义为： TgradTT T的右梯度定义为：的右梯度定义为：jkjkiiTe eegradTTijkjkiTe e eTT一般地一般地 4散散 度度矢量场的散度矢量场的散度 矢量场的矢量
3、场的左散度左散度定义为：定义为：divaarr1 12233aaa yxzaaaxyzijija iia ()()iijjea e u rur原式原式右散度右散度表示为：表示为： aaivd aaivdjjiia eeiiiiijijaxaxa332211xaxaxaaaivddiv 显然显然 今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别今后对于矢量场的左散度和右散度不加区别() ()kkijijdiveT e e TTuru ruriijjT e ur1 12233iiiiiiT eT eT e u ruru r张量的散度张量的散度 kijkijTe urTTdiv 关于二阶张量场关于二阶张量场
4、的的左散度左散度定义为：定义为： PTT 1 132233 333()TTTe u r()()xxyxzxxyyyzyTTTiTTTjxyzxyzrr()xzyzzzTTTkxyzr展开后有：展开后有：1 112213 3111 122223 322()()TTTeTTTe u rur原式原式 关于二阶张量场关于二阶张量场 的的右散度右散度定义为：定义为： PTT TTivd TTivdjjikkiTeeekjkiijxTekikixTeikikT eTTivddiv一般地，一般地， ，当当T T为对称张量的时候，两者相等为对称张量的时候，两者相等5旋度旋度curlaa () ()kkiiea
5、 e 112233()()()kikikikikikiea eea eea e 原式原式展开后有：展开后有：123123123xxxaaaeeekijkijea e 矢量场的旋度：矢量场的旋度：左旋度：左旋度：231233213211321331232()()ieaea eeaea e 12312213213()eaea e233213113212213()()()aa eaa eaa e yyxxzzaaaaaayzzxxy（-） i （-） j （-） k右旋度：右旋度：iijjaurlceeaaijijxaee kijjikxaeeijkijkea e a.张量场的旋度张量场的旋度 设设
6、T T为任意二阶张量，则它的为任意二阶张量，则它的左旋度左旋度定义为：定义为：TTcurlkiikjjTeeekpikjjipTeeekppkeeTikjjippkTeT其中：其中：右旋度右旋度定义为：定义为： TTurlcjjkiikTeeekiikjkjpTeeepiipeeT ikjkjpipTeT其中：其中：小结小结：iie u r哈密顿算子哈密顿算子梯度梯度iigradffef u r散度散度iidivaaa rr旋度旋度curlaa 2ff iif 展开后有：展开后有：() ()iijjef e 原式原式()ijijf 112233fff 222222fffxyz2.2 2.2 L
7、aplaceLaplace算子算子公式公式：2.3 2.3 物质导数物质导数ffxfyfztxtytzt 123()()()fxyzffftttt iixffttiifVftfVft ( , ( )ff t r t若若DfffrDttrt 则则：()()()DVD tt 2.4 2.4 积分定理积分定理1 Gauss定理定理(coscoscos )()SVPQRPQRr dsdxdydzxyz3r 1r 2r1dS2dS3dS有向面积：有向面积：123231312dSdrdrdSdrdrdSdrdr ()aP、Q、R根据根据GaussGauss定理有：定理有：左边左边1 12233()Sa n
8、a na n dSiiSa ndSSa ndS Sa dS 右边右边1 12233()Vaaa dViiVa dVVadVSVa dSadV 2StokesStokes定理定理()()()CSPdxQdyRdzRQPRQPdydzdzdxdxdyyzzxxy()aP、Q、R()dldxdydz、根据根据StokesStokes定理有：定理有：左边左边112233Ca dla dla dl iiCa dl Ca dl233223311331122112()()()Saa dl dlaa dl dlaa dl dl 右边右边()SadS ()CSa dladS 证明证明()div a bb cur
9、laa curlb2.5 2.5 曲线坐标曲线坐标 基矢量基矢量 度量张量度量张量 曲线坐标曲线坐标 1 设空间中任一点设空间中任一点P P，其位置可用矢径，其位置可用矢径P P表示。在曲线坐表示。在曲线坐标系中，指标可为上标或下标。标系中，指标可为上标或下标。 在斜角坐标系在斜角坐标系 中，中，P P为为 的函数，即的函数，即P P也可用另外三个变量也可用另外三个变量 ， ， 来表示，即来表示，即 这种坐标系记为这种坐标系记为 。这两组变量。这两组变量 和和 表示同一空间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来：表示同一空间点的位置。两者由下列坐标变换联系起来： ixix ixxxxPPP321
10、, 1x 2x 3x 3 2 1,ixxxxPPP ix321,xxx 3 2 1,xxx iiixxx 3 , 2 , 1 ,ii 若若 是的线性函数，则是的线性函数，则 也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：也是一个斜角坐标，而且坐标变换为：ix ix iiiiiiixxxxAx这里这里 为变换系数，它是常数。为变换系数，它是常数。iiA 若若 不是不是 的线性函数，则的线性函数，则 称为称为曲线坐标曲线坐标。ix ix ix 在曲线坐标系在曲线坐标系 中，若雅可比中，若雅可比(Jacobi(Jacobi) )行列式行列式J J不为零，即不为零，即 ix0det iiiixxAJ则坐标变换具有
11、逆变换，即有则坐标变换具有逆变换，即有 iiixxx 连续介质力学中最常用的正交曲线坐标系，是柱面坐连续介质力学中最常用的正交曲线坐标系，是柱面坐标系和球面坐标系。现叙述如下。标系和球面坐标系。现叙述如下。柱面坐标系柱面坐标系 设直角坐标系为设直角坐标系为 曲线坐标系为曲线坐标系为则式则式 的具体形式取为：的具体形式取为： iiixxx 321,:xxxxizxxrxxi 3 2 1 ,:cos 11rxxxi sin 22rxxxizxxxi 33其中其中 0r20z 由此可见，不是由此可见，不是 的线性函数，故的线性函数，故 属于曲线属于曲线坐标系。这种坐标变换的雅可比行列式为坐标系。这种
12、坐标变换的雅可比行列式为 ix ixrrrzxxrxzxxrxzxxrxxxJii1000cossin0sincos333222111 除除 外，外， ，故有逆变换的具体形式如下，故有逆变换的具体形式如下：0r0J 2221 1xxrx121 2xxtgxzx3 由此可得坐标曲面：由此可得坐标曲面： (i) ( (i) (常数常数) )为以为以z z轴为公共轴的圆柱面轴为公共轴的圆柱面( (当当 时，时，即为即为z z轴轴) )； (ii) (ii) (常数常数) )为通过为通过z z轴的平面；轴的平面； (iii) (iii) (常数常数) )为垂直于为垂直于z z轴的平面；轴的平面；1 1
13、Crx01C2 2Cx3 3Czx (i) (i) 和和 的交线的交线(z(z线线) )是直线；是直线；(ii)(ii) 和和 的交线的交线(r(r线线) )是直线；是直线；(iii) (iii) 和和 的交线的交线( ( 线线) )是圆。是圆。1 1Crx2 2Cx2 2Cx3 3Czx1 1Crx3 3Czx这种坐标系称为这种坐标系称为柱面坐标系柱面坐标系 和坐标曲线：和坐标曲线： 球面坐标系球面坐标系 iiixxx 设直角坐标系为设直角坐标系为 ，曲线坐标系，曲线坐标系 则式则式 的具体形式取为：的具体形式取为：,:321xxxxi 3 2 1 ,:xxrxxicossin1rx sin
14、sin2rx cos3rx 0r200其中其中 由此可见，由此可见， 不是不是 的线性函数，故的线性函数，故 属于曲线坐标系，属于曲线坐标系，这种坐标变换的雅可比行列式为这种坐标变换的雅可比行列式为 ix ix ix2sinr111222333xxxrxxxJrxxxrsincoscoscossinsinsinsincossinsincoscossin0rrrrr除除 ， ， 外，外， ，故有逆变换，故有逆变换的具体形式如下：的具体形式如下：0r00J 232221 1xxxrx 322211 2xxxtgx1213xxtgx 由此可得坐标曲面由此可得坐标曲面： (i) (i) (常数常数)
15、)为中心在原点的球面为中心在原点的球面( (当当 时，即为时，即为原点原点) )； (ii) (ii) (常数常数) )为以原点为顶点的圆锥为以原点为顶点的圆锥( (当当 或或 时变为直线，当时变为直线，当 时为时为 面面) )；1 1Crx01C2 2Cx02C02CC2221xx (iii) (iii) (常数常数) )为通过为通过 轴的平面轴的平面；3 3Cx3x 和坐标曲线：和坐标曲线： (i) (i) 和和 的交线的交线( ( 线线) )是圆；是圆； (ii) (ii) 和和 的交线的交线(r(r线线) )是直线；是直线； (iii) (iii) 和和 的交线的交线( ( 线线) )
16、是半圆。是半圆。 这种坐标系称为球面坐标系。这种坐标系称为球面坐标系。1Cr 2C2C C31Cr 3C2基矢量基矢量度量张量度量张量 给定曲线坐标之后，过空间任意一点沿每一族坐标给定曲线坐标之后，过空间任意一点沿每一族坐标曲线可以得到一个切矢量：曲线可以得到一个切矢量： iixPg ix iy取取 为为iiyPgii，则 在斜角坐标系中，设其协变基矢量为在斜角坐标系中，设其协变基矢量为iiiix iP ii由于由于 是常数，故有是常数，故有 iiiiijiyyxPig 对于一个矢量对于一个矢量a a可有两种类型的分量可有两种类型的分量 和和 ，设其对应的，设其对应的基矢量为基矢量为 和和 ，
17、则，则iaiaigigiiiiaagga 由由 的定义可知，下列混合积等式成立：的定义可知，下列混合积等式成立：ijkeijkkjikjikjiegggggggggijkkjikjikjieggggggggg 这两个量定义为爱丁顿这两个量定义为爱丁顿(Eddington(Eddington) )张量并分别记为张量并分别记为 和和 。由此定义可知由此定义可知ijkijk321123ggg321123ggg 对于矢量对于矢量 ，则有，则有0a jijijjiiaaaaggggaaa2 jijijjiiaaaagggg jijijjiiaaaagggg0jiaa令令jiijggg jiijggg i
18、jjijiggggg它们分别称为它们分别称为协变度量张量协变度量张量、逆变度量张量逆变度量张量和和混合度量张量混合度量张量 考虑到矢量考虑到矢量a a的任意性的任意性 jijiijggg可知：基矢量可知：基矢量 与与 是正交的，它们称为是正交的，它们称为互逆基矢量互逆基矢量 igig互逆基矢量间具有下列关系：互逆基矢量间具有下列关系： 321321gggggg321132gggggg321213gggggg由于由于 11gggggjkikjiijggjkikkjikgggg11ijkjikgg故知故知 和和 互为互为逆阵逆阵。因为它们均为正定矩阵，故行列式。因为它们均为正定矩阵，故行列式ijg
19、ijg0321333231232221131211ijkkjiijegggggggggggggg01321333231232221131211ijkkjiijegggggggggggggg可以证明这样的等式：可以证明这样的等式：2321gggijgg 爱丁顿张量可以写成下列形式：爱丁顿张量可以写成下列形式：kjikjiijkeeeggggkjikjiijkeeeg1ggg 在直角坐标系下，在直角坐标系下， ，故有，故有1gkjiijkijkeee 在曲线坐标系中，任意张量在曲线坐标系中，任意张量例如二阶逆变一阶协变张量可表示成下列四种记法：例如二阶逆变一阶协变张量可表示成下列四种记法：(1)(
20、1)不变性记法不变性记法 (2)(2)分量记法分量记法 (3)(3)并矢记法并矢记法 (4)(4)基张量记法基张量记法 TijkTkjiijkTgggKijijkT g2.6 2.6 克里斯托弗尔符号克里斯托弗尔符号 在基矢量组在基矢量组 ， ， 中把中把 按下式分解按下式分解 1g2g3gjigpijpjiggpijpjigg 这里分解系数这里分解系数 和和 分别称为分别称为第一类和第二类克第一类和第二类克里斯托弗尔里斯托弗尔(Christoffel(Christoffel) )符号符号 ijppij定义：定义：性质：性质：克里斯托弗尔符号不是张量克里斯托弗尔符号不是张量 和和 关于指标关于
21、指标i i和和j j对称。对称。 ijkkij由于由于 kjikjikjiijkgpgPgg,kijijkgP,ijji,PP根据偏导数的性质根据偏导数的性质 ijkjikijkjik同理可得：同理可得：和和 的指标可用度量张量升降。的指标可用度量张量升降。ijkkijijrkrrjikrrkrjikjikijggggggggg事实上事实上同样地同样地 rijkrijkg 在直线坐标系中在直线坐标系中，0ijk0kij 事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量和均为常量，事实上，因为在斜角和直角坐标系中基矢量和均为常量，故故 和和 。0ijk0kij 克里斯托弗尔符号可用度量张量表示。克里斯托弗
22、尔符号可用度量张量表示。 事实上，由于事实上，由于 kjikijjkijikjikkijggggggg,对指标进行轮换，则有对指标进行轮换，则有ikjijkijkg,jikjkijkig,kjijkiijkijkggg,21另外另外 rijjriijrkrijrkrkijggggg,21girirlog321gggg由于由于321gggiig 321321321gggggggggiiirrirrirriggggggggg21331232132gggrrirgrirgggiirirlogkjklgg 由于由于 ，故有，故有 0jkikjikjigggggg于是于是kijjkiggpjipjigg
23、2.7 2.7 协变导数协变导数逆变导数逆变导数 在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为在曲线坐标系下，哈密顿算子定义为rrg1 设设T T为任意张量，则为任意张量，则 构成新的张量，称为构成新的张量，称为T T的梯的梯度。为简单起见，现以度。为简单起见，现以 为例给出它的梯度为例给出它的梯度的并矢形式如下：的并矢形式如下： TkjiijkTgggT kjiijkttTggggTkjiijkttTggggTktjikjtikjitijkkjiijkttTTgggggggggggggpjiktpkpiptjkjpptiijkkjiijkttTTgggggggggggggkjitijpptkipkjtp
24、pjkitpijktTTTTggggkjitijktTggggijpptkipkjtppjkitpijktijktTTTTT其中其中：ijKT称为张量称为张量 的协变导数的协变导数 不难证明下列结果不难证明下列结果 0ijtg0ijtg0ijttijk00ijkt 对于矢量对于矢量a a，这是特殊情形。此时，我们可写出，这是特殊情形。此时，我们可写出kkiia ggapkipkkkiiaagggkipikpkiaaggkikiagg 可见，度量张量和爱丁顿张量对于可见，度量张量和爱丁顿张量对于 或或 有如常有如常数可以移进或移出于其内或外。数可以移进或移出于其内或外。ttkippkiikikk
25、iaaaaa;这里这里称为协变矢量称为协变矢量 的协变导数。的协变导数。ka 另一方面，我们也可以写出另一方面，我们也可以写出kkiia ggappikkkkiiaagggkikippkiaaggkikiaggkippkiikkikiaaaaa;称为逆变矢量称为逆变矢量 的协变导数的协变导数 ka这里这里2逆变导数逆变导数 由于协变导数的指标是张量指标，故可应用逆变由于协变导数的指标是张量指标，故可应用逆变度量张量把它的指标升高而得到逆变导数如下：度量张量把它的指标升高而得到逆变导数如下：ijktrijkrTgT2.8 2.8 不变性微分算子不变性微分算子1梯度梯度 kjirijkrTgrad
26、ggggTT2散度散度 kjrjkrTdivggTT若若T T为矢量为矢量a a，则：，则： prrprrrraaapprrrrrragaaalog;rragg,1rraggdiv,1aa即即girirlog考虑到：考虑到：3旋旋 度度kjikijrrTcurlggggTTkjkijrirTggggkjskijrsriTggg 若若T T为矢量为矢量a a，则有，则有sirsriacurlgaasrisriag;拉普拉斯算子拉普拉斯算子4kjiijkrrTgggTT2若若f f为标量，则有为标量，则有fgffiiii112fgii11iifg;1 ,1111yfggygii2.9 2.9 内禀
27、导数内禀导数 设区域内的曲线设区域内的曲线C C定义为：定义为： tyyCkk:ttt12 其中其中t t为一参数。若为一参数。若 是一个可微的矢量并且是一个可微的矢量并且 是是属于属于 类的，则类的，则 ya tyk1Cdtyyadtyydtdkk1111gaakkkktadtyagg11 ;dtdxaadtxatammkkkk111 ;11 ;称为称为 对对t t的的内禀导数内禀导数 ka这里这里 对于任意张量，例如，对于二阶混合张量对于任意张量，例如，对于二阶混合张量 而言，而言，则有则有 yijTdtdxTtTijij11dtdxTTTimmjkjikij1111dtdxTTdtdTi
28、mmjkjikij111对于度量张量，由于对于度量张量，由于0111dtdxgtgkik0111dtdxgtgkik故度量张量可以移进或移出内禀导数记号之内或外。故度量张量可以移进或移出内禀导数记号之内或外。 若矢量若矢量a a还和还和t t显示相关，亦即显示相关，亦即t , yaa dtyytdtdty11aaakkkdtyatag11 ;kkDtDagdtdyataDtDakkk11 ;其中：其中：称为称为a a 的物质导数的物质导数 k 对于任意张量，例如，对于二阶混合张量对于任意张量，例如，对于二阶混合张量 而言，而言，则其物质导数为则其物质导数为tyTj,tTtTdtdyTtTDtD
29、Tijijijijij11 ;01DtDgk01DtDgk 对于度量张量，由于对于度量张量，由于g g 和和g 和和t t没有显示关系，所以没有显示关系，所以1k1k 2.10 2.10 非完整系物理标架下的微分算子非完整系物理标架下的微分算子1非完整系物理标架非完整系物理标架0jigg 对于正交曲线坐标系，它满足下列条件：对于正交曲线坐标系，它满足下列条件： ij（当） 我们将基矢量我们将基矢量 的大小记作的大小记作 ，称为拉梅，称为拉梅(Lame)(Lame)系系数，即数，即igiHkikiieyxgH232221iiiyxyxyx 如果我们取与同向的单位矢量如果我们取与同向的单位矢量 作
30、为基矢量作为基矢量igiiigH1g则构成所谓非完整系物理标架则构成所谓非完整系物理标架( (或称单位正交活动标架或称单位正交活动标架) )。 ijjigg非完整系物理标架基矢量，具有如下性质：非完整系物理标架基矢量，具有如下性质：2偏导数算子，克里斯托弗尔符号偏导数算子，克里斯托弗尔符号非完整系物理标架下的非完整系物理标架下的偏导数算子偏导数算子 定义为定义为iiiiiiyHH11它对标架每个矢量作用，仍是一个矢量。它对标架每个矢量作用，仍是一个矢量。 我们不妨记为我们不妨记为 kijkijijijjjggggg332211 这里这里 称为非完整物理标架下的称为非完整物理标架下的克里斯托弗尔
31、符号克里斯托弗尔符号 ijk几何意义：几何意义：非完整物理标架下的克里斯托弗尔符号表示非完整物理标架下的克里斯托弗尔符号表示 在在 轴上的投影，即轴上的投影，即jigkgjikijkggiKjijkjkikjigg 0jikjkiggggikjijk ijjigg由由对其两端作用对其两端作用偏导数算子偏导数算子 由此可见由此可见 的后两指标具有反称性的后两指标具有反称性。ijkjikijkgg下面我们研究下面我们研究 的具体表达式。的具体表达式。ijkjjiikkHHHgg111rPjjiikkHHH111rrPjijjjjjkikHHHHH1112rrHHHHHjikHjjijkji111g
32、g注意到注意到 ijjijjiijHHHHggPPiPPjikijjikHHPPPPjkijik将指标轮换将指标轮换 ， ， 得得ji jkkiPPPPkijkjijkkjiHH再轮换再轮换PPPPkjikijikkijHH可以得到：可以得到：ijjikikkijjkkjikjjiikjiijkHHHHHHHHHHH2111显然，在显然，在 、 、 互不相等时互不相等时000HHHHaln1HHHHln1总之，不为零的克里斯托弗尔符号只有总之，不为零的克里斯托弗尔符号只有Hln3梯度梯度 哈密顿算子哈密顿算子 1标量函数的梯度标量函数的梯度 2fgradf定义非完整物理标架下的哈密顿算子定义非
33、完整物理标架下的哈密顿算子 iig 设标量函数设标量函数 ，则它在非完整系物理标架下的，则它在非完整系物理标架下的梯度梯度 定义为一个矢量定义为一个矢量 Pff gradffgradf其并矢形式为其并矢形式为:fHffgradfiiiiigg1333222111111gggyfHyfHyfH 这就是标量函数这就是标量函数f f的梯度在非完整系物理标架下的梯度在非完整系物理标架下的表达式的表达式 矢量场的梯度矢量场的梯度 3 设矢量场设矢量场 ，则它在非完整系物理标架下的左，则它在非完整系物理标架下的左梯度梯度 定义一个二阶张量定义一个二阶张量 iia gPaaagradagrada它的并矢形式
34、为：它的并矢形式为：jjiigradgagaajiijjijiaaggggjiijkjjijiaaggggkijkjiiiaaggjiijgradggakikjjiijaagrada其中其中 类似地，我们还可以定义类似地，我们还可以定义 的右梯度，的右梯度， ，可以证明可以证明 Paa aaradgTaa张量场的梯度张量场的梯度 4 设二张量场设二张量场 ，则它在非完整系物理标架，则它在非完整系物理标架下的左梯度下的左梯度 定义为一个三阶张量定义为一个三阶张量 jiijTggPTTTgradTTgradkjjkiigTgg111gggggggggjiikjkkiijkjkkjijkiTTTkj
35、ikijkjijikkjijkiTTTggggggggg1111kjijkikjijkiTTTggg1111kjikiTggg11111jkikjijkiijkTTTT其中其中这是这是 的分量形式的分量形式 Tgrad的右梯度的右梯度 定义为定义为 Tradg PTT TTradgTT一般情况下一般情况下4散度散度 1矢量场的散度矢量场的散度 设矢量场设矢量场 ，则它的散度，则它的散度 定义为一个标量定义为一个标量 Paa adivaadiv其展开形式为：其展开形式为：aadivjjiigagiiijjiiigaagggijkjkijiijaaggjiiiiaa12张量场的散度张量场的散度 设
36、任意二阶张量设任意二阶张量 ，则它的左，则它的左散度散度 定义为一个矢量定义为一个矢量 jiijTggPTTTdivTTdiv其并矢形式为其并矢形式为:TTdivkiijkkTgggjkikijjikkijijkjikTTTgggggggggjkjijkijkikijjijkkiTTTggg1jkjkjjkikijjkjkTTTggg1ikjkjijikjkkikTTTgiidivgTkjkjijikjkkikiTTTdivT这是这是 的分量形式。的分量形式。Tdiv定义：定义： 的右散度的右散度 PTT Tivd TTivd5旋度旋度1矢量场的旋度矢量场的旋度 设任意矢量场设任意矢量场 ，则
37、它的左旋度，则它的左旋度定义为一个矢量定义为一个矢量 Paa acurlaacurl其并矢形式为其并矢形式为aacurljjkka ggjkkjjkjkaagggg11gggkkjjijkkjiaaikjikjjijkkjiaagg1ikjijkijkkjiaagg11ijkjkkjiaag11ijkkjijkaag11iicurlga11aacurljkkjijkia2张量场的旋度张量场的旋度 设任意二阶张量场设任意二阶张量场 ，则它的左旋度，则它的左旋度定义为一个二阶张量定义为一个二阶张量 PTT TcurlTTcurl其并矢形式为其并矢形式为TcurlTkiijkkTgggjkikijj
38、ikkijjikijkTTTgggggggggmkjmkiijjmmkkijijjikijijkTTTgggggg111jikmjikmjiikkmmjjiikjkTTTgggggg111111jimkmjmjkmjkikTTTgg1111jiijggTmkmjmjkmjkikijTTT1111T这就是这就是 的分量形式的分量形式 Tcurl定义：二阶张量定义：二阶张量 的右旋度的右旋度 PTT Turlc TTurlc6拉普拉斯算子拉普拉斯算子1作用于标量场拉普拉斯算子作用于标量场拉普拉斯算子 拉普拉斯拉普拉斯(Laplace(Laplace) )算子定义为算子定义为2 当拉普拉斯算子作用于
39、标量函数当拉普拉斯算子作用于标量函数 时，即时，即 Pff ff2fjiiggffjijkikjiijfjijiii2作用于矢量场的拉普拉斯算子作用于矢量场的拉普拉斯算子 当拉普拉斯算子作用于矢量场当拉普拉斯算子作用于矢量场 时，则时，则 Paa aa2mjmiiiijkkaagggimjmkkjjkimjmiijkjkmjmiijijaaaaaagimjmikjkjmijmjmkjkikjjkiiaaaag22iia g2mjmikjkjmijmjmkjkikjjkiiiaaaa222a7双重哈密顿算子双重哈密顿算子 作用于标量场的双重哈密顿算子作用于标量场的双重哈密顿算子 称为双重哈密顿算
40、子称为双重哈密顿算子 设设f f为任一标量函数，双重哈密顿算子对为任一标量函数，双重哈密顿算子对f f作用，则有：作用，则有：ffjjiiggjiijjijiffggggkijijkjijiffggggjikikjjijifg fgggjikikjjiffggjiijfggffkikjjiij作用于矢量场的双重哈密顿算子作用于矢量场的双重哈密顿算子 设设 为一个矢量场，双重哈密顿算子对为一个矢量场，双重哈密顿算子对a a的点积作用为的点积作用为 kka gPaajkjkkkaaaijkjkkkiaagiia gjkjkkkiiaaa8物质导数物质导数标量函数的物质导数标量函数的物质导数 设设
41、是关于标性变量是关于标性变量( (例如时间例如时间) )位位置矢量置矢量 的标量值函数，则它的物质导数的标量值函数，则它的物质导数定义为：定义为： P, tff tPP DfDtfvtfDtDfdtdPv 将物质导数写成分量形式，则将物质导数写成分量形式，则 fvtfDtDffvtfjjiigg fvtfjijifvtfii矢量函数的物质导数矢量函数的物质导数 对于矢量值函数对于矢量值函数 ，它的物质，它的物质导数导数 定义为：定义为：iigaPt,aaDtDaavaarDtD其并矢形式为：其并矢形式为：jjiiiiavattDtDgggga11jiikjkjiiiaavtagggg11jki
42、kjjiiiiaavtagg11jkkjjiiaavtagg111ikkiiiaavtag111ikkiiavtag11iitga这就是矢量函数这就是矢量函数a a的物质导数的分量形式。的物质导数的分量形式。kkiiiavtaDtD11a习习 题题一、给出下列张量符号的意义一、给出下列张量符号的意义iiA（1）ijjB（2）（3）ijR（4）iijaT（5）ijijab S二、二、KroneckerKronecker符号符号（1）ii（2）ijij (3)ijikjk (4)ijjk (5)ijikA三、三、置换符号置换符号（1）ijkkije e（2）ijkjke a a四、求下列矢量表达式
43、的分量四、求下列矢量表达式的分量（1）iijkjkfe T（2）,ii jjj ijfC bC b（3）iijjfB F五、证明五、证明0a b a 六、已知六、已知34aik26bjk3245Diiikj jk ja D求：求：a D b和和七、证明七、证明() ()()a ba ba ba b （1）22() ()()()a ba ba bab （2）()()()babaababa b （3）一、给出下列张量符号的意义一、给出下列张量符号的意义iiA（1）ijjB（2）（3）ijR（4）iijaT112233AAA111112213322112222333311322333jjjjjjBB
44、BBBBBBBBBB111213212223313233RRRRRRRRR11 112213 3121 122223 3231 132233 33iiiiiiaTaTa Ta TaTaTa Ta TaTaTa Ta T二、二、KroneckerKronecker符号符号（1）3ii（2）3ijij (3)3ijikjk (4)100010001ijjkik (5)111213212223313233ijikjkAAAAAAAAAAA（5）ijijab S1 1111 2121 3132 12122222 3233 1313 2323 333abSab Sab Sa bSa b Sa b Sa
45、bSa b Sa b S三、三、置换符号置换符号（1）6ijkkije e（2）0ijkjke a a （1）iijkjkfe T（2）,ii jjj ijfC bC b（3）iijjfB F2213 13231 313113feTe TTT22,2jjjjfCbCb22211222233jjfB FB FB FB F四、求下列矢量表达式的分量四、求下列矢量表达式的分量2f五、证明五、证明0a b a 0iji ijkkiiji iija b aab aeab ae 六、已知六、已知34aik26bjk3245Diiikj jk ja D求：求：a D b和和(9, 20,6)a D76a D b
