1、第第3434讲讲 平面向量基本定理及坐标运算平面向量基本定理及坐标运算知识梳理第第3434讲讲 知识梳理知识梳理有且只有有且只有 不共线不共线 基底基底 第第3434讲讲 知识梳理知识梳理夹角夹角 图图341第第3434讲讲 知识梳理知识梳理0 180 90 3. 3.平面向量的正交分解平面向量的正交分解 把一个向量分解为两个把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量正交分的向量，叫做把向量正交分解解 4 4平面向量的坐标表示及坐标运算平面向量的坐标表示及坐标运算第第3434讲讲 知识梳理知识梳理互相垂直互相垂直 第第3434讲讲 知识梳理知识梳理单位向量单位向量 (1) (1)平面向量的坐标表
2、示：在平面直角坐标系中，分别取与平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x x轴、轴、y y轴方向相同的两个轴方向相同的两个_i i，j j作为基底由平面向量的作为基底由平面向量的基本定理知，该平面内的任意向量基本定理知，该平面内的任意向量a a可表示成可表示成a axixiyjyj，由于，由于a a与数对与数对( (x x，y y) )是一一对应的，因此把是一一对应的，因此把_叫做向量叫做向量a a的坐标，的坐标，记作记作_，其中，其中x x叫做叫做a a在在x x轴上的坐标，轴上的坐标，y y叫做叫做a a在在y y轴上的坐轴上的坐标标 注意注意 两个向量相等的充要条件是这两个向量
3、在两个向量相等的充要条件是这两个向量在_与与_上的坐标分别相等上的坐标分别相等 ( (x x，y y) ) a a( (x x，y y) ) x x轴轴 y y轴轴 第第3434讲讲 知识梳理知识梳理( (x x1 1x x2 2，y y1 1y y2) 2) (2) (2)平面向量的坐标运算平面向量的坐标运算 ( (x x1 1x x2 2，y y1 1y y2) 2) ( (xx1 1，yy1) 1) ( (x x2 2x x1 1，y y2 2y y1) 1) 终点终点 始点始点 第第3434讲讲 知识梳理知识梳理x x1 1y y2 2x x2 2y y1 10 0 要点探究 探究点探
4、究点1平面向量基本定理的应用平面向量基本定理的应用第第3434讲讲 要点探究要点探究图图343 第第3434讲讲 要点探究要点探究第第3434讲讲 要点探究要点探究第第3434讲讲 要点探究要点探究 点评点评 解决此类问题的关键在于以一组不共线解决此类问题的关键在于以一组不共线的向量为基底，通过向量的加、减、数乘，把其他相的向量为基底，通过向量的加、减、数乘，把其他相关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建关的向量用这一组基底表示出来，再利用向量相等建立方程组，从而解出相应的值通过下面变式题可以立方程组，从而解出相应的值通过下面变式题可以发现，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为基发现
5、，只要是平面内不共线的两个向量都可以作为基底，平面内的向量都可以被这一组基底表示出来底，平面内的向量都可以被这一组基底表示出来 第第3434讲讲 要点探究要点探究第第3434讲讲 要点探究要点探究 探究点探究点2平面向量的坐标运算的应用平面向量的坐标运算的应用第第3434讲讲 要点探究要点探究图图344 第第3434讲讲 要点探究要点探究 思路思路 本题的切入点是根据题意设出点本题的切入点是根据题意设出点M M、P P、Q Q的的坐标，然后利用已知条件转化成向量相等的关系，利用坐标，然后利用已知条件转化成向量相等的关系，利用向量的坐标运算得到方程组，从而求解向量的坐标运算得到方程组，从而求解
6、第第3434讲讲 要点探究要点探究第第3434讲讲 要点探究要点探究 点评点评 利用向量的坐标运算解题，主要是利用加、利用向量的坐标运算解题，主要是利用加、减、数乘运算法则进行，然后根据减、数乘运算法则进行，然后根据“相等的向量坐标相相等的向量坐标相同同”这一原则，通过方程这一原则，通过方程( (组组) )进行求解若已知有向线进行求解若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则利用向量要注意方程思想的运用及正确使用运算法则利用向量的坐标运算，建立了向量与实数的联系，构造函数和方的坐标运算，建立
7、了向量与实数的联系，构造函数和方程，利用函数与方程的思想解题如下面变式题：程，利用函数与方程的思想解题如下面变式题： 第第3434讲讲 要点探究要点探究 思路思路 把向量把向量a abb用坐标表示，进而求出用坐标表示，进而求出a abb的模，把的模，把| |a abb|(|(R)R)表示为表示为的函数的函数 答案答案 C第第3434讲讲 要点探究要点探究 探究点探究点3向量共线的坐标表示的应用向量共线的坐标表示的应用第第3434讲讲 要点探究要点探究 答案答案 -1第第3434讲讲 要点探究要点探究第第3434讲讲 要点探究要点探究 点评点评 向量共线向量共线( (平行平行) )的坐标表示实质
8、是的坐标表示实质是把向量问题转化为代数运算，它提供了通过把向量问题转化为代数运算，它提供了通过坐标公式建立参数的方程坐标公式建立参数的方程( (组组) )，进而解方程，进而解方程( (组组) )，求出参数的值，来解决向量共线，求出参数的值，来解决向量共线( (平行平行) )的方法，也为点共线、线平行问题的处理提的方法，也为点共线、线平行问题的处理提供了简易的方法，体现方程的思想在向量中供了简易的方法，体现方程的思想在向量中的运用下面变式题就是上述思想方法的具的运用下面变式题就是上述思想方法的具体应用体应用第第3434讲讲 要点探究要点探究图图345 第第3434讲讲 要点探究要点探究 思路思路
9、 本题的切入点是三点共线转化为向量共本题的切入点是三点共线转化为向量共线，利用向量平行的条件设出系数或坐标进行计算，线，利用向量平行的条件设出系数或坐标进行计算，转化为方程求解本题还可用求直线方程的方法求坐转化为方程求解本题还可用求直线方程的方法求坐标标 第第3434讲讲 要点探究要点探究第第3434讲讲 要点探究要点探究 探究点探究点4向量坐标运算的综合应用向量坐标运算的综合应用第第3434讲讲 要点探究要点探究第第3434讲讲 要点探究要点探究第第3434讲讲 要点探究要点探究 点评点评 解决向量与三角函数综合的问题，其基本思解决向量与三角函数综合的问题，其基本思路是应用向量的基本运算，把问题化归为一般三角函数路是应用向量的基本运算，把问题化归为一般三角函数的问题求解下面与解析几何综合的问题，也是这一解的问题求解下面与解析几何综合的问题，也是这一解题思路的体现题思路的体现 第第3434讲讲 要点探究要点探究第第3434讲讲 要点探究要点探究规律总结第第3434讲讲 规律总结规律总结第第3434讲讲 规律总结规律总结
