1、第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值二、最大值与最小值最大值与最小值 一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法 第五节函数的极值与 最大值最小值 第三三章 三、最优化问题及其应用最优化问题及其应用 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值定义定义 ,),()(内有定义在设函数baxf, ),(0bax ，的一个邻域若存在0 x在其中当0 xx 时, )()(0 xfxf(1)
2、, )()(0 xfxf(2) 一、函数的极值及其求法函数的极值及其求法且在 处取得极值，那么0()0.fx0 x根据上述定义和费马定理可得如下定理：定理1（极值的必要条件）设函数 在 处可导,0 x( )f x则称 为 的0 x)(xf极大值点极大值点,称 为函数的)(0 xf极大值极大值 ;则称 为 的0 x)(xf极小值点极小值点 ,称 为函数的)(0 xf极小值极小值 .极大值点与极小值点统称为极值点极值点 .第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值注意注意:3x1x4x2x5x
3、Oxaby41,xx为极大值点52,xx为极小值点3x不是极值点31292)(23xxxxf例如例如 ,1x为极大值点, 2) 1 (f是极大值 1)2(f是极小值 2x为极小值点, 函数12xOy121) 函数的极值是函数的局部性质. 导数为 0 或2) 对常见函数, 极值可能出现在不存在的点.第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值定理定理 2 (极值第一判别法极值第一判别法),)(0的某邻域内连续在设函数xxf且在空心邻域内有导数,0时由小到大通过当xx(1) )(xf “左左正正
4、右右负负” ,;)(0取极小值在则xxf(2) )(xf “左左负负右右正正” ,.)(0取极大值在则xxf(自证)点击图中任意处动画播放暂停第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值求极值点和极值的步骤 求出函数)(xf)(xf 的定义域以及导数;)(xf)(xf 求出的全部驻点以及使导数不存在的点；)(xf 考察导数在这些点邻近的变化情况, 以便确定这些点是否为极值点.若是，再由定理2确定对应的函数值是极大值还是极小值；)(xf 求出各极值点处的函数值，就得函数的全部极以上步骤可通过列
5、表辅助进行.第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值例例132) 1()(xxxf的极值 .解解 1) 求导数32)(xxf3132) 1(xx35235xx2) 求极值可疑点令,0)( xf得;521x且有点不可导02x3) 列表判别0520033. 0)0,(),0(52),(520 x是极大值点， 其极大值为0)0(f是极小值点， 其极小值为52x33. 0)(52fx)(xf )(xf求函数第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五
6、节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值定理定理3 (极值第二判别法极值第二判别法)二阶导数 , 且处具有在点设函数0)(xxf,0)(0 xf0)(0 xf,0)() 1 (0 xf若则 在点 取极大值 ;)(xf0 x,0)()2(0 xf若则 在点 取极小值 .)(xf0 x证证 (1)(0 xf 00)()(lim0 xxxfxfxx0)(lim0 xxxfxx,0)(0知由 xf存在,0,00时当xx0)(0 xxxf时，故当00 xxx;0)( xf时，当00 xxx,0)( xf0 x0 x0 x由第一判别法知.)(0取极大值在xxf(2) 类似可证 .第三章第
7、三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值例例2 求函数1) 1()(32 xxf的极值 . ,) 1(6)(22xxxf) 15)(1(6)(22 xxxf2) 求驻点令,0)( xf得驻点1,0, 1321xxx3) 判别因,06)0( f故 为极小值 ;0)0(f又,0) 1 () 1( ff故需用第一判别法判别.,1)(左右邻域内不变号在由于xxf.1)(没有极值在xxf1xy1O解解1) 求导数第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第
8、五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值定理定理4 (判别法的推广判别法的推广)阶导点有直到在若函数nxxf0)(,0)()()(0) 1(00 xfxfxfn,0)(0)(xfn则:数 , 且1) 当 为偶数时,n,0)(0)(时xfn0 x是极小点 ;,0)(0)(时xfn0 x是极大点 .2) 当 为奇数时,n0 x为极值点 , 且0 x不是极值点 .)()()(000 xxxfxfxfnnxxnxf)(!)(00)()(0nxxo)()(0 xfxf)(0nxxonnxxnxf)(!)(00)(当 充分接近 时, 上式左端正负号由右端第一项确定 ,0 xx故结论正确 .证
9、证 利用 在 点的泰勒公式 ,)(xf0 x可得第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值例如例如 , 1) 1()(32 xxf, )35(24)(2 xxxf0) 1( f所以1x不是极值点 .说明说明:当这些充分条件不满足时, 不等于极值不存在 .例如例如:)(xf, )sin2(212xx,20 x0 x2)0(f为极大值 , 但不满足定理2 定理4 的条件.1xy1O极值的判别法( 定理2 定理4 ) 都是充分的.例2中第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应
10、用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值二、最大值与最小值问题最大值与最小值问题 ,)(上连续在闭区间若函数baxf则其最值只能在极值点或端点处达到 .求函数最值的方法求函数最值的方法: :(1) 求 在 内的极值可疑点)(xf),(bamxxx,21(2) 最大值最大值 maxM, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf最小值最小值 minm, )(1xf, )(2xf, )(,mxf, )(af)(bf 当 在 内只有一个极值可疑点时,)(xf,ba 当 在 上单调时,)(xf,ba最值必在端点处达到.若在此点取极大 值
11、 , 则也是最大 值 . (小)(小)特别特别:第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值)1292(2 xx1224)9(209681012922xx )(xxf041x250 x041x250 x例例3xxxxf1292)(23在闭区间,2541上的最大值和最小值 .且)(xf, )1292(23xxx,129223xxx)(xf121862xx121862xx内有极值可疑点在,)(2541xf2, 1,0321xxx,3)(321941f,0)0(f,5) 1 (f,4)2(f5)(
12、25f故函数在0 x取最小值 0 ;在1x及25取最大值 5., )2)(1(6xx, )2)(1(6xx412512xyO求函数解解, ,)(2541Cxf显然第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值( k 为某常数 )例例4AC AB , 要在 AB 线上选定一点 D 向工厂修一条 已知铁路与公路每公里货运为使货物从B 运到工 20AB100C解解 设设,(km)xAD x则,2022xCD)100(320522xkxky)1000( x, ) 34005(2xxky23)400(4
13、0052xky 令,0 y得 ,15x又,015 xy所以 为唯一的15x极小值点 ,故故 AD =15 km 时运费最省时运费最省 .总运费(目标函数)厂C 的运费最省,从而为最小值点 ,问D点应如何取?Dkm ,公路, 价之比为3:5 ,铁路上 AB 段的距离为100 km , 工厂C 距 A 处20第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值最优化问题求解过程的一般步骤最优化问题求解过程的一般步骤 1）选择适当的变量作为自变量建立目标函数, 并确定目标函数的实际定义域； 2）在目标函数
14、可导的条件下, 求目标函数的驻点; 3）进行必要的判别，通常并不要求做严格论证，只要笼统地讲出以下三点： 目标函数在定义域内可导；目标函数在定义域内可导； 驻点唯一；驻点唯一； 根据实际意义可知，目标函数在定义域内的根据实际意义可知，目标函数在定义域内的 最值确实存在最值确实存在. 即可断定所得驻点就是所求的最值点.三、最优化问题及其应用最优化问题及其应用 第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值例例5问矩形截面的高 h 和宽 b 应如何选择才能使梁的抗弯截面模量最大? 由力学分析知矩形
15、梁的抗弯截面模量(目标函数)为hbd261hbw , )(2261bdb),0(db令)3(2261bdw0得db31从而有1:2:3:bhd22bdhd32即由实际意义可知 , 所求最值存在 , 驻点只一个,故所求结果就是最好的选择 .把一根直径为 d 的圆木锯成矩形梁 ,解解第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值F用开始移动,例例6克服摩擦的水平分力cosFFx正压力sin5FgFPycosF)sin5(Fg 即,sincos5gF, 02令sincos)(则问题转化为求)(的最大
16、值问题 .,25. 0设摩擦系数问力F 与水平面夹角 为多少时才可使力F 的大小最小?P设有质量为 5 kg 的物体置于水平面上 , 受力 F 作解解第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值cossin)(sincos)( 令,0)(解得arctan25. 0arctan214,0)( 而,)(214取最大值时因而 F 取最小值 .解解 即令则问题转化为求的最大值问题 .,sincos5gF, 02sincos)()(FP第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等
17、数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值清楚(视角 最大) ? 观察者的眼睛1.8 m ,例例7x设观察者与墙的距离为 x m , 则x8 . 14 . 1arctan,8 . 1arctanx),0(x222 . 32 . 3x228 . 18 . 1x)8 . 1)(2 . 3()76. 5(4 . 122222xxx令,0得驻点),0(4 . 2x根据问题的实际意义, 观察者最佳站位存在 ,唯一,驻点又因此观察者站在距离墙 2.4 m 处看图最清楚 .问观察者在距墙多远处看图才最4 . 18 . 1一张 1.4 m 高的图片挂在墙上 , 它的底边
18、高于目标函数为解解第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值RLO当 取多大时，该容器有最大容积 ? 的扇形，余下的部分卷折成一个圆锥形的容器, 试问例例8解解(2)LR它刚好就是卷折成的圆锥形容器的低圆之周长，所以其半径在一半径为R的圆形铁皮上，减去一个圆心角为rROhO剪去一个圆心角为 的扇形后，剩下的扇形铁皮122LrR的弧长为第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值22,hR
19、若记 ，2则有(1) ,rR2222hRrR高为rROhO122LrR这样就可以得到以 为自变量的目标函数322d(1)(361).d3 2VR3222(1)2,33RVr h01,其定义域为对目标函数求导得第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值213rROhO由于目标函数在定义域内可微，驻点唯一，且根据问题的实际意义可知最大值存在，所以所得驻点就是最大值点，此时对应的圆心角为212 .3322d(1)(361).d3 2VRd0,dV令可得目标函数在定义域内唯一驻点第三章第三章 微分
20、中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值 这里没有直接以 为自变量，是为了使计算简便. 212 .312最简便的方法是是以h 为自变量建立目标函数rROhO从而推得同样的结果,3Rh 易求得其最大值点为为自变量建立目标函数，可能会更方便些.说明：说明：22() ,0.3VRhhhR2,3rR于是对应的有如果以第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值存在一个取得最大利润的生产水平? 如果存在, 找出它
21、来.售出该产品 x 千件的收入是例例9解解)()()(xCxRxp6123)(2xxxp得令,0)( xp586. 0221x问是否3)(xxC,1562xx ,9)(xxRxxx6623,126)( xxp又,0)(1 xp0)(2 xp故在 x2 = 3.414千件处达到最大利润, 而在 x1= 0.586千件处发生局部最大亏损. y)(xp22Ox22)24(32xx414. 3222x设某工厂生产某产品 x 千件的成本是售出 x 千件产品的利润为第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值
22、最小值说明说明)(xC称为边际成本)(xR称为边际收入)(xp称为边际利润由此例分析过程可见, 在给出最大利润的生产水平上, 0)( xp即边际收入边际成本（见右图）22yOx22xxxxC156)(23成本函数xxR9)(收入函数)()(xCxR即收益最大亏损最大在经济学中第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值需求量为 , 这种汽车的成本为5 (万元/辆)，试问如何定价可使利润最大？所以有目标函数例例10解解ln480d5ln4(1ln4)d88PLP Q eP其中 为市场饱和需求量
23、. 当价格 (万元/辆)时，0,pQQ e8P 04Qln480PQQ e其导数为 ln4805(5)PLRCPQQPQ e0Q因为当 时，有 ，可得8P 04QQ ln4,8已知某种品牌汽车的需求函数为即第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值可得唯一驻点8581ln45.ln48ln4P85ln4P 就是目标函数的最大值点，即当定价为85ln4P 而当 时, 因为当 时, 有d0;dLP805ln4P d0,dLP令ln480d5ln4(1ln4)d88PLP Q eP时，可望有最大
24、利润.d0,dLP有所以8510.77ln4P （万元/辆）第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值内容小结内容小结1. 连续函数的极值连续函数的极值(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点(2) 第一充分条件)(xf 过0 x由正正变负负)(0 xf为极大值)(xf 过0 x由负负变正正)(0 xf为极小值(3) 第二充分条件0)(,0)(00 xfxf)(0 xf为极大值)(0 xf为极小值0)(,0)(00 xfxf(4) 判别法的推广定理3 定理4第三章第三章 微分中值定
25、理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值最值点应在极值点和边界点上找 ;应用题可根据问题的实际意义判别 .思考与练习思考与练习2. 连续函数的最值, 1)()()(lim2axafxfax则在点 a 处( ).)()(xfA的导数存在 ,；且0)( af)()(xfB取得极大值 ;)()(xfC取得极小值;)()(xfD的导数不存在.B提示提示: 利用极限的保号性1. 设第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值
26、最小值2. )(xf在0 x的某邻域内连续, 且,0)0(f,2cos1)(lim0 xxfx则在点0 x处).()(xf(A) 不可导 ;(B) 可导, 且;0)0( f(C) 取得极大值 ;(D) 取得极小值 .D提示提示: 利用极限的保号性 .设第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值3. )(xfy 是方程042 yyy的一个解,若,0)(0 xf且,0)(0 xf则)(xf在)(0 x(A) 取得极大值 ;(B) 取得极小值 ;(C) 在某邻域内单调增加 ;(D) 在某邻域内单
27、调减少 .提示提示:,)(代入方程将xf0)(4)(00 xfxfA得令,0 xx 设第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值试问 为何值时,axxaxf3sin31sin)(32x在时取得极值,还是极小.解解 )(xf由题意应有0)(32 f2a又 )(xf2233()2sinf 时取得极大值：在2)(axf3)(32f补充题补充题 1.,3coscosxxa)(3cos)cos(3232a,3sin3sin2xx 0求出该极值, 并指出它是极大即0121a第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用高等数学高等数学（上上）第五节第五节 函数的极值与最大值最小值函数的极值与最大值最小值上的在 1 ,0)(xf试求，设Nnxxnxfn,)1 ()().(limnMn解解 )(xf,0)( xf令内的唯一驻点得) 1 ,0() 1(1 )1 (1xnxnn2. nxn)1 ( 1)1 (nxnxn,)(由增变减通过此点时易判别xfx及最大值)(nM故所求最大值为1)1(nnn)11()(nfnM)(limnMn1e1)111 (limnnn11nx
