1、1.偶函数偶函数一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x，都，都有有 ，那么函数，那么函数f(x)就叫做偶函数就叫做偶函数.2.奇函数奇函数一般地，如果对于函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内的定义域内 一个一个x,都都有有 ,那么函数那么函数f(x)就叫做奇函数就叫做奇函数.3.奇偶性奇偶性： 那么，就说函那么，就说函数数f(x)具有奇偶性具有奇偶性.4.奇函数的图象关于奇函数的图象关于 对称对称,反过来，如果一个函数的反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是图象关于原点对称，那么这个函数是 ；偶函数；偶函数的图象关于的图象关于 对
2、称，反过来，如果一个函数的图象关于对称，反过来，如果一个函数的图象关于y轴对称，那么这个函数是轴对称，那么这个函数是 .f(-x)=f(x)f(-x)= -f(x)如果函数如果函数f(x)是奇函数或偶函数是奇函数或偶函数原点原点任意任意任意任意奇函数奇函数y轴轴偶函数偶函数返回返回 5.若奇函数若奇函数f(x)在在a,b上是增函数，且有最大值上是增函数，且有最大值M，则，则f(x)在在-b,-a上是上是 函数，且有函数，且有 .6.若奇函数若奇函数f(x)在在x=0处有定义，则处有定义，则f(0)= .7.若若y=f(x)是偶函数，则是偶函数，则f(x)与与f(|x|)的大小关系是的大小关系是
3、 . 8.若若f(x)是奇函数或偶函数，则其定义域关于是奇函数或偶函数，则其定义域关于 对称对称.增增最小值最小值-M0f(x)=f(|x|)原点原点返回返回 【专题】函数奇偶性的性质之运用由题目可获取以下主要信息：由题目可获取以下主要信息：,函数函数f( (x) )的解的解析式均已知；析式均已知；,判断奇偶性问题判断奇偶性问题.,解答此类题解答此类题目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然目应先判断函数定义域是否关于原点对称，然后再验证后再验证f( (x) )与与f( (x) )之间的关系来确定奇偶性之间的关系来确定奇偶性.题后感悟题后感悟(1)利用定义判断函数的奇偶性要利用定义判断函数的奇
4、偶性要注意以下几点：注意以下几点：必须首先判断必须首先判断f(x)的定义域是否关于原点对的定义域是否关于原点对称；称；有些函数必须根据定义域化简后才可判断，有些函数必须根据定义域化简后才可判断，否则可能无法判断或判断错误如本例否则可能无法判断或判断错误如本例(4)中，中，若不化简可能会判断为偶函数注意下面变式若不化简可能会判断为偶函数注意下面变式训练中的第训练中的第(4)小题小题若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一若判断一个函数为非奇非偶函数，可以举一个反例即可个反例即可(2)判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：判断函数的奇偶性，一般有以下几种方法：定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函
5、定义法：若函数定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称数为非奇非偶函数；若函数定义域关于原点对称，则应进一步判断，则应进一步判断f(x)是否等于是否等于f(x)，或判断，或判断f(x)f(x)是否等于是否等于0，从而确定奇偶性，从而确定奇偶性图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为图象法：若函数图象关于原点对称，则函数为奇函数；若函数图象关于奇函数；若函数图象关于y轴对称，则函数为偶轴对称，则函数为偶函数函数另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：另外，还有如下性质可判定函数奇偶性：偶函数的和、差、积、商偶函数的和、差、积、商(分母不为零分母不为零)仍为偶函仍为偶函数；
6、奇函数的和、差仍为奇函数，奇数；奇函数的和、差仍为奇函数，奇(偶偶)数个奇数个奇函数的积、商函数的积、商(分母不为零分母不为零)为奇为奇(偶偶)函数；一个函数；一个奇函数与一个偶函数的积为奇函数奇函数与一个偶函数的积为奇函数(注：利用注：利用以上结论时要注意各函数的定义域以上结论时要注意各函数的定义域 )解析：解析：(1)函数定义域为函数定义域为R.f(x)(x)3(x)5(x3x5)f(x)f(x)是奇函数是奇函数(2)函数的定义域为函数的定义域为x|x1不关于原点对不关于原点对称，称，函数函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数既不是奇函数也不是偶函数(3)f(x)的定义域是的定义域是R，又又
7、f(x)|x1|x1|x1|x1|f(x)，f(x)是偶函数是偶函数策略点睛策略点睛解解：函数：函数f(x)的定义域是的定义域是(，0)(0，)，关于原点对称关于原点对称当当x0时，时，x0，则，则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)当当x0，则，则f(x)(x)33(x)21x33x21(x33x21)f(x)由知，当由知，当x(，0)(0，)时，时，都有都有f(x)f(x)，所以，所以f(x)为奇函数为奇函数点评点评：(1)分段函数的奇偶性应分段判断分段函数的奇偶性应分段判断f(x)与与f(x)的关系，只有当对称的两段上都满足相同的关的关系，只有当对称的两段上都
8、满足相同的关系时，才能判断其奇偶性系时，才能判断其奇偶性(2)若若f(x)是定义在是定义在R上的奇函数时必有上的奇函数时必有f(0)0.(3)分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图分段函数的奇偶性判断有时也可通过函数图象的对称性加以判断象的对称性加以判断解解：函数：函数f(x)的定义域是的定义域是R，关于原点对对称，关于原点对对称，当当x0，f(x)x1(x1)f(x)，另一方面，当另一方面，当x0时，时，x0时，时，f(x)= x2 +x+1,求求函数解析式函数解析式.【分析分析】由奇函数的图象关于原点对称，找由奇函数的图象关于原点对称，找x0和和x0时，时，f(x)=x|x-2|，求当，求
9、当x0 时，f(x)的解析式为_f(x)x3x24若定义在 R 上的偶函数 f(x)和奇函数 g(x)满足 f(x)g(x)ex，则 g(x)()D练习 3：设 f(x) 是定义在(，)上的奇函数，且当x0 时，f(x)x21，则 f(2)_.5练习 4：已知当 x0，)时，f(x)x(1x)若 f(x)为奇函数，则当 x(， 0)时，f(x)_；若 f(x)为偶函数，则当 x(， 0)时，f(x)_.x(1x)x(1x)题型 6 函数奇偶性与单调性的关系及运用【例 1】 已知 f(x)是偶函数，且在(0，)上是减函数，判断 f(x)在(，0)上是增函数还是减函数，并加以证明，【变式与拓展】1
10、函数 f(x)是定义在(，)上的奇函数，且 f(x)在(，0)上是增函数，试讨论函数 f(x)在(0，)上的增减性，并证明你的结论解：f(x)在(0，)上是增函数证明：任取 x1，x2 使 x2x10，则x2x10.由于 f(x)在(，0)上是增函数，f(x2)f(x1)，又f(x)是奇函数，f(x2)f(x2)，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x1)f(x)在(0，)上也是增函数【例 2 】 (2014 年广东二模) 定义在 R 上的偶函数 f(x) 在(0，)上是增函数，且 f 0，则不等式 xf(x)0 的解集是()13思维突破：根据函数奇偶性和单调性之间的关系，将不等式进行转化，即
11、可得到不等式的解集函数f(x)的草图如图D13.图 D13答案：C【变式与拓展】2若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，在(，0)上是减)函数，且 f(2)0，则使得 f(x)0 的 x 的取值范围是(A(，2)B(2，)C(，2)(2，)D(2,2)D题型7 抽象函数的奇偶性与单调性【例 3】 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在(，0)上是增函数(1)判断函数 f(x)在(0，)上的单调性；(2)若 f(2a2a1)f(2a22a1)，求实数 a 的取值范围思维突破：这是抽象函数问题欲要脱掉函数符号“f ”，必须应用函数的单调性解：(1)函数 f(x)在(0，)上是减函数证
12、明如下：设任意 0 x1x2，则x2x10，f(x)在(，0)上是增函数，f(x2)f(x1)又f(x)为偶函数，f(x1)f(x1)，f(x2)f(x2)，f(x2)f(x1)，即 f(x)在(0，)上是减函数又f(x)在(0，)上是减函数，且 f(2a2a1)2a22a1，解得 3a0，即 a0.故实数 a 的取值范围是(0，)本题以抽象函数为载体，综合考查函数的奇偶性与单调性的关系，以及利用函数的单调性解不等式的能力判断出 2a2a10,2a22a10，对本题的解答起到关键作用【变式与拓展】3已知函数 f(x)为奇函数，且在(2,2)上单调递增，且有f(2a)f(12a)0，求 a 的取
13、值范围解：因为函数 f(x)为奇函数，则 f(x)f(x)由 f(2a)f(12a)0，得 f(2a)f(12a)即 f(2a)f(2a1)又因为 f(x)在(2,2)上单调递增，定义在定义在-2,2上的偶函数上的偶函数g(x)，当，当x0时，时，g(x)为减函数，为减函数，若若g(1-m)g(m)成立，求成立，求m的取值范围的取值范围.1设奇函数设奇函数f(x)的定义域为的定义域为5,5，当，当x 0,5时，函数时，函数yf(x)的图象如图所示，则使函数的图象如图所示，则使函数值值y0的的x的取值集合为的取值集合为_解析解析：由原函数是奇函数，所以：由原函数是奇函数，所以yf(x)在在5,5
14、上的图象关于坐标原点对称，由上的图象关于坐标原点对称，由yf(x)在在0,5上的图上的图象，得它在象，得它在5,0上的图象，如图所示由图象知，上的图象，如图所示由图象知，使函数值使函数值y0的的x的取值集合为的取值集合为(2,0)(2,5)答案答案：(2,0)(2,5)2偶函数f(x)(xR)满足：f(4)f(1)0，且在区间0,3与3，)上分别递减和递增，使f(x)0的自变量范围是()A(，4)(4，)B(4，1)(1,4)C(，4)(1,0)D(，4)(1,0)(1,4)解析：根据题目条件，想象函数图象如下：答案：B3、已知函数f(x)是定义在(，)上的偶函数，当x(，0)时，f(x)xx4，求当x(0，)时，f(x)的表达式解析：当x(0，)时，x(，0)，因为x(，0)时，f(x)xx4，所以f(x)(x)(x)4xx4，因为f(x)是定义在(，)上的偶函数，所以f(x)f(x)，所以f(x)xx4.练一练练一练当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处A练一练练一练当堂检测、目标达成落实处当堂检测、目标达成落实处2
