1、线段和最小问题线段和最小问题的的联想联想 如图，直线如图，直线l l表示草原上的一条河流，一骑表示草原上的一条河流，一骑马少年从马少年从A A地出发让马去河边饮水，然后返回于地出发让马去河边饮水，然后返回于B B地家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最短？地家中，他沿怎样的路线行走，能使路程最短？作出这条最短路线作出这条最短路线. .C河流河流ABC依据是什么？依据是什么？A马马马饮水问题马饮水问题l（浙教版教材八上（浙教版教材八上P50例例2）原题呈现原题呈现此时：此时：AC+BC=AC+CB=ABC河流河流ABA马马l化化“同同”为为“异异”化化“折折”为为“直直”知识与方法知识与方法40m
2、40m20m40m80m构造直角三角形构造直角三角形AB的水平距离为的水平距离为80m求最小值求最小值AB的长？的长？DA AP PB BB BA AP PAA问题探究一：问题探究一： (1) (1)如图如图,BC=6cm,BC=6cm，以，以BCBC为直径作为直径作O O，D D是半圆是半圆BCBC的一个的一个三等分点三等分点，E E是半圆是半圆BCBC的一个的一个六等分点六等分点，P P是直径是直径BCBC上一上一动点动点，连接，连接DPDP、EPEP，则，则DP+EPDP+EP的最小的最小值是值是 cm.cm.E Eo oDo oP PE Eo o（2 2）如图，）如图，BC=6cmBC
3、=6cm，以，以BCBC为边作为边作ABCABC，点，点D D、E E分别是分别是ABAB、ACAC边的中点，且边的中点，且BCBC边上的高为边上的高为4 4，BCBC边上有一边上有一动点动点P P，使得，使得PDEPDE周长最小周长最小. .P问题探究一：问题探究一：3、请你在请你在BCBC边上作出点边上作出点P P，保留作图痕迹，不，保留作图痕迹，不写作法写作法. . 、请直接写出请直接写出PDEPDE周长的最小值：周长的最小值： . .DP3 注意：确定定点、动点、对称轴注意：确定定点、动点、对称轴A AP PB BA AP P 如图，一个底面半径为如图，一个底面半径为1cm1cm，高度
4、为，高度为 cm cm的无盖的无盖圆柱形玻璃容器，圆柱形玻璃容器，A A、B B两点在容器顶部一条直径的两端，两点在容器顶部一条直径的两端，现有一只小甲虫在现有一只小甲虫在容器外部容器外部A A点正下方点正下方1cm1cm的的M M处处. （2 2）若）若N N点是在点是在容器的内部容器的内部，则小甲虫最短爬行，则小甲虫最短爬行的距离是的距离是_cm_cm. . （1 1）若）若容器外部容器外部B B点正下方，距离底部点正下方，距离底部1cm1cm的的N N处有食处有食物，则这只小甲虫要到物，则这只小甲虫要到N N处，最短爬行的距离处，最短爬行的距离_cm_cm. . MNB问题探究二：问题探
5、究二：CPE 已知：如图已知：如图1 1，ABCABC中，点中，点P P、Q Q分别是分别是BACBAC的平分线的平分线AD,AD,边边ABAB上的上的两两个动点个动点，C=C=,BC=6,BC=6. .（1）若=45=45, ,求求PB+PQPB+PQ的最小值的最小值. .（2）若=70=70，求，求PB+PQPB+PQ的最小值的最小值. .（3）若=90=90，如图，如图2 2，点，点E E在边在边ABAB上，上，且且AE=2EB,AE=2EB,求求PE+PQPE+PQ的最小值的最小值. .问题探究三：问题探究三：图图1 1图图2 2QQQQQQYBACD（6,2）D(6,-2)Np（2,
6、4）XO （1 1）若）若点点N N为线段为线段AOAO上的上的动点动点，求线段，求线段PN+PN+N ND D的最的最小值？小值？ 如图，在平面直角坐标系中，矩形如图，在平面直角坐标系中，矩形OABCOABC的顶点的顶点A A在在x x轴的正半轴上，顶点轴的正半轴上，顶点B B为（为（6,4 6,4 ），点），点C C为（为（0,40,4) )，点点D D（6 6, ,2 2），），P P（2,42,4).).问题探究四：问题探究四：（6,4）PN+PN+N ND D=PD=PDYBACD两次对称两次对称PDMNpXO （2 2）点点N N仍然为线段仍然为线段A AO O上的上的动点动点，又
7、，又有点有点M M为线段为线段COCO上的上的动点动点，求线段，求线段P PM M+MN+ND+MN+ND的最小值？的最小值？问题探究四：问题探究四：此时：此时：PM+MN+ND =PM+MN+ND=PD 如图，在平面直角坐标系中，矩形如图，在平面直角坐标系中，矩形OABCOABC的顶点的顶点A A在在x x轴的正半轴上，顶点轴的正半轴上，顶点B B为（为（6,4 6,4 ），点），点C C为（为（0,40,4) )，点点D D（6 6, ,2 2），），P P（2,42,4).).此时：此时：PM+MN+ND PD化折为直化折为直YBACD两次对称两次对称MNpXO （3 3）若有点）若有点
8、D D（6 6, ,2 2）、）、P(2P(2，4 )4 )，M M、N N分别为线分别为线段段BCBC和和AOAO上的动点，求线段上的动点，求线段PN+MN+MDPN+MN+MD的最小值？的最小值？问题探究四：问题探究四： 如图，在平面直角坐标系中，矩形如图，在平面直角坐标系中，矩形OABCOABC的顶点的顶点A A在在x x轴的正半轴上，顶点轴的正半轴上，顶点B B为（为（6,4 6,4 ），点），点C C为（为（0,40,4).).PDE化折为直化折为直 A AP PB BA AP P归纳总结归纳总结（注意点：确定定点、动点、对称轴）（注意点：确定定点、动点、对称轴）化化“同同”为为“异异”化化“折折”为为“直直”构造直角三角形构造直角三角形基本模型基本模型基本方法基本方法数学思想数学思想未知问题未知问题已知问题已知问题转化转化
