1、河南省2021-2022学年高二下学期阶段性测试（三）数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 命题“，”的否定为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】B【解析】命题“，”的否定为：，故选：B.2. 有一段演绎推理：所有的质数是奇数，是质数，所以是奇数.这段推理（ ）A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 是正确的【答案】A【解析】大前提为所有的质数是奇数，但是质数，但不是奇数，大前提错误.故选：A.3. 函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（ ）A. B. 1C. 2D. 【答案
2、】B【解析】函数在区间上的平均变化率等于，在时的瞬时变化率为，所以，解得.故选：B.4. 若函数，则的值为（ ）A. 12B. 16C. 18D. 24【答案】B【解析】由函数得：，故，则，故选：B.5. 对任意正整数定义运算*，其运算规则如下：；.则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题意故选：D6. 函数在区间上（ ）A. 有极大值和极小值B. 有极大值，无极小值C. 有极小值，无极大值D. 没有极值【答案】C【解析】由，得，令，得或（舍去），当时，当时，所以在上递减，在上递增，所以是在上的极小值点，无极大值，故选：C.7. 已知变量x，y满足，则的最大值是（ ）A. 2B.
3、 4C. 7D. 10【答案】B【解析】画出可行域如下图：则，由，可得，则，目标函数可化为，当直线过时，在y轴截距最小，此时取得最大值.故选：B.8. 已知函数在区间上单调，则a的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】，因为函数在区间上单调，所以或，当恒成立，即或，得或，因为，所以.故选：B.9. 在三棱锥中，D为上的点，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为，所以，即故选：B10. 已知等边三角形的一个顶点为抛物线的焦点F，其余两个顶点都在抛物线C上，则该等边三角形的边长为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】根据抛物线与等边三角形的性质知，
4、其余两个顶点分别在在上，联立解得，根据抛物线的定义得其边长为故选：D.11. “”是“，”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若，则，令，令，在单调递增，当时，单调递减；当时，单调递增；，(，“”是“，”的必要不充分条件.故选：B.12. 已知当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】，不等式化为，令，则，令（），则，所以在上是增函数，所以，所以时，递减，时，递增，所以，所以故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 数列的前5项分别为，归纳猜想数列的通项公式可以为_
5、.【答案】【解析】由题意，数列，可化为，则数列的分母构成的数列为：，其通项公式为，数列的分子构成的数列为：，其通项公式为，所以数列的通项公式可以为.故答案为：14. 已知是函数的极值点，则_.【答案】【解析】，又是极值点，故，解得.当时，在上，单增，在上，单减，满足是极值点.故答案为：.15. 已知为递增的等差数列，且，成等比数列，则_.【答案】20【解析】由题意可得，即，解得或（舍），即，故，故答案为：.16. 已知双曲线的左右焦点分别为，直线与双曲线的渐近线交于点，且点在第一象限内，满足，则双曲线的离心率为_.【答案】【解析】由双曲线方程知其渐近线方程为：，在第一象限内，为与的交点，由得：
6、，又，即，即，解得：或；位于第一象限，即，双曲线离心率.故答案为：.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. 已知数列中，.（1）求数列的通项公式；（2）若存在，使得成立，求实数的取值范围.解：（1）因为，当时，.又满足上式，；（2）由（1）知，存在，使得成立，即，解得，所以实数的取值范围为.18. 已知的角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角C;（2）若的面积为，求边c.解：（1）由及正弦定理可得，即，.（2）由的面积为，得，又，整理得，.19. 已知函数，.（1）若在定义域上单调递增，求的取值范围；（2）若，证明：.解：（1）的定义域为，在定义域上单
7、调递增，对任意，成立，即对任意，成立，的取值范围是.（2），当时，当时，在上单调递减，在上单调递增，的极小值即最小值为，.20. 已知正方体的棱长为2，分别为，的中点，点为棱上靠近点的四等分点.（1）求证：平面（2）求二面角的大小.（1）证明：为的中点，为的中点，在正方体中，平面，平面，平面，.由已知可得，从而可得.又，平面.（2）以为坐标原点，的方向分别为，轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则，于是，.设平面的法向量为，则，令，得.设平面的一个法向量，则，令，得.，二面角的大小为.21. 已知F为椭圆的左焦点，过点F的直线与C交于A，B两点，其中点B为C的上顶点，点A到C的两焦点的距
8、离之和为.（1）求C的方程；（2）若过点F的直线与椭圆C交于P，Q两点，且，求直线的方程.解：（1）设椭圆的半焦距为.由题意知直线l的斜率为1，于是,点A到两焦点的距离之和为，即，又，C的方程为;（2）由（1）知，直线的斜率为0时，显然不符合题意，故可设直线方程为，且，,由，整理得，则，于是为， ，解得，直线的方程为，即.22. 已知函数，.（1）若，求曲线在处的切线方程；（2）设函数在上的最大值和最小值分别为和，若，求的取值范围.解：（1）若，因为，所以曲线在处的切线方程为.（2）由题意知，则，因为，所以当时，当时，所以在上单调递减，在上单调递增.设，则当时，所以当时，.则在上的最小值为，最大值为，所以，设，则当时，单调递增，由，可得，即的取值范围是.
