1、幂级数及其收敛性一般形式为一般形式为.2210 nnxaxaxaa称称为为的的级级数数是是任任意意实实常常数数其其中中 ),( 210naaaa幂级数幂级数，. , 210数数对应项的系对应项的系称为幂级数称为幂级数其中的其中的naaaa幂级数更一般的形式为幂级数更一般的形式为.)()()(0202010 nnxxaxxaxxaa它显然可以通过变量代换它显然可以通过变量代换 y = x x0 方法化为式方法化为式 .一、幂级数及其收敛性一、幂级数及其收敛性 则称幂级则称幂级数为不缺项的，数为不缺项的，), 2 , 1 , 0(0 0 naxannnn中中设幂级数设幂级数否则称为否则称为缺项的幂
2、级数缺项的幂级数. 例如幂级数例如幂级数 nnnnnxxxxx264220)1(1)1(缺缺 x 的奇次幂，的奇次幂，叫缺项的幂级数，叫缺项的幂级数，又如又如 nnnnnxxxx)1(1)1(20是不缺项的幂级数是不缺项的幂级数.定理定理 . 1是不缺项的是不缺项的设幂级数设幂级数nnnxa .0 na即即如果如果 ,lim1nnnaar , 1 时时rx 则当则当该幂级数收敛该幂级数收敛;,1 时时rx 当当该幂级数发散该幂级数发散. .,1称为幂级数的收敛半径称为幂级数的收敛半径r记作记作 R , R=r1. 即即1lim nnnaaR 因为因为它不一定是正项级数，它不一定是正项级数，证证
3、,1中中因为在幂级数因为在幂级数 nnnxa 若将若将 x 看成看成是一个确定的值，是一个确定的值，那么就得到一个数项级数，那么就得到一个数项级数， 为此，我们可对幂级数的各为此，我们可对幂级数的各项取绝对值，项取绝对值，得得,2210 nnxaxaxaa这是一个正项级数这是一个正项级数. 运用比值审敛法运用比值审敛法.因为因为nnnnnxaxa11lim xaannn1lim .xr ,1 xr所以当所以当.1级数收敛级数收敛时,时,即即rx ,1 ,1时时 即即当当rxxr 也就是说也就是说.1lim11nnnnnxaxa显然，此时所给幂级数各项的绝对值越来越大，显然，此时所给幂级数各项的
4、绝对值越来越大，一般项一般项nnxa不趋近于零不趋近于零 . 由级数收敛的必要条由级数收敛的必要条件可知该幂级数发散件可知该幂级数发散.,1绝对收敛绝对收敛这表明幂级数这表明幂级数 nnnxa因此它因此它必然收敛必然收敛 . 可运用上述可运用上述定理求收敛半径定理求收敛半径例例 2 试求幂级数试求幂级数 12nnnnx的收敛区间的收敛区间 .解解 所给的幂级数为不缺项的，所给的幂级数为不缺项的， .21122lim1 nnRnnn.1,211 nnx幂级数为正项级数幂级数为正项级数时时 当当它是发散的它是发散的.此为调和级数，此为调和级数，.11 nnn）（数数幂级数为收敛的交错级幂级数为收敛
5、的交错级,21时时 当当 x.21,212,1）的的收收敛敛区区间间为为幂幂级级数数所所以以 nnnnx 例例 3求幂级求幂级.12)1(02的收敛区间的收敛区间数数 nnnnx解解所给幂级数缺少所给幂级数缺少 x 的奇次幂项，的奇次幂项， 02121)(nnnnx我们考虑级数我们考虑级数,1212 nnnx 对此正对此正项级数利用比值审敛法项级数利用比值审敛法因此不能直接利用公式求收敛半径因此不能直接利用公式求收敛半径 R.是一个是一个缺项幂级数，缺项幂级数，.1211)2(lim221)2(xnxnxnnn ,1 ,12 x即即因为当因为当,1时时当当 x 所求幂级所求幂级数绝对收敛数绝对
6、收敛 . . 1,1121)( 02 为为的收敛区间的收敛区间所以幂级数所以幂级数nnnnx, 1时时也即也即 x.121)(0收收敛敛代代入入得得级级数数 nnn 幂幂级数收敛级数收敛 . 例例 4.22)(1)(0的收敛区间的收敛区间求幂级数求幂级数 nnnnx 解解运运用正项级数的比值审敛法用正项级数的比值审敛法 .nnnnnnnxx22)(1)(22)(1)(lim111 .22x ,122 ,1 x即即当当,40时时也即也即 x. )4(0,22)(1)( 0的收敛区间为的收敛区间为因此幂级数因此幂级数 nnnnx.,)1(40也是发散的也是发散的化为化为时，幂级数时，幂级数当当 n
7、nx区间端点处区间端点处:,10 n化化为为幂幂级级数数;它它是是发发散散的的当当 x = 0 时，时，一、一、 麦克劳林麦克劳林 ( (Maclaurin) ) 公式公式二、二、 直接展开法直接展开法三、三、 间接展开法间接展开法8.2.28.2.2、 函数的幂级数展开函数的幂级数展开泰勒泰勒 ( (Taylor) ) 公式公式 如果函数如果函数 f(x) 在在 x = x0,的的某某一一领领域域内内有直到有直到 (n + 1) 阶的导数阶的导数， 则在这则在这个领域内有如下公式个领域内有如下公式 :一、一、 麦克劳林麦克劳林( (Maclaurin) )公式公式 .xrxxnxfxxxfx
8、xxfxfxfnnn)()(!)( )(2!)()()()(00)(200000 .10101)( )()!()()()(之间之间与与在在xxxxnfxrnnn 其中其中称为拉格朗日型余项称为拉格朗日型余项 . 式式称为称为泰勒公式泰勒公式 .,00 x如果令如果令就得到就得到 xrxnfxfxffxfnnn . )( !)0(! 2)0()0()0()()(2 . )( )!)()()(10111xnfxrnnn(x 式称为式称为麦克劳林公式麦克劳林公式 . .幂级数幂级数我们称之为我们称之为麦克劳林级数麦克劳林级数 . 那么它是否以函数那么它是否以函数 f(x) 为和函数呢为和函数呢 ?
9、,!)0(! 2)0()0()(0)(2 nnxnfxfxff.!)0(! 2)0()0()0()()(21nnnxnfxfxffxS 即即那么，那么， 级数级数 收敛于函数收敛于函数 f(x) 的条件为的条件为. )()(lim1xfxSnn ,1)(xSn若令麦克劳林级数若令麦克劳林级数 的前的前n + 1 项和为项和为 注意到麦克劳林公式注意到麦克劳林公式 与麦克劳林级数与麦克劳林级数 的关系，的关系， 可知可知 . )()()(xrxSxfnn1于是，当于是，当0)(lim xrnn时，有时，有,lim1)()(xfxSnn 反之，若反之，若.0)(lim xrnn. )()(lim1
10、xfxSnn 必有必有这表明，麦克劳林级数这表明，麦克劳林级数 以以 f(x) 为和函数的为和函数的充要条件，充要条件，.0 时时当当 nxrn()(这样，我们就得到了函数这样，我们就得到了函数 f(x) 的幂级数展开式的幂级数展开式 ：中的余项中的余项是麦克劳林公式是麦克劳林公式 !)0(! 2)0()0()0()()(2 nnxnfxfxffxf 也表示了函数的也表示了函数的幂级数展开式是唯一的幂级数展开式是唯一的 .它就是函数它就是函数 f(x) 的幂级数表达式的幂级数表达式 .幂级数幂级数 :,)(!)()(! 2)()()()(00)(200000 nnxxnxfxxxfxxxfxf
11、xf称为称为泰勒级数泰勒级数 . 利用麦克劳林公式将函数利用麦克劳林公式将函数 f( (x 展开成幂级数展开成幂级数的方法，称为直接展开法的方法，称为直接展开法 .解解, ),3,2,1(e)()( nxfxn由由例例 1试将函数试将函数 f(x) = ex 展开成展开成 x 的幂级数的幂级数.可以可以得到得到. 1)0()0()0()0()( nffff二、二、 直接展开法直接展开法因此我们可以得到幂级因此我们可以得到幂级数数显然，这个幂级数的收敛区间为显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) .,e)(xxf 收敛于收敛于,e)(项项的麦克劳林公式中的余的麦克劳林公式中的余还要考察函数还要
12、考察函数xxf 因为因为, )10( )!1(e)(1)( xnxrnxn.!1! 2112 nxnxx,e)( 为和函数为和函数是否以是否以数数至于级至于级xxf 因而有因而有所以所以 ,eexx .)!1(e)!1(e)(11 nxnxnxnxnxr 注意到，对任一确定的注意到，对任一确定的 x 值，值，而级数而级数 是绝对收敛的，是绝对收敛的， 因此其一因此其一般项当般项当 n 时，时，,0)!1(1 nxnx 且且,xx 是是一一个个确确定定xe.的常数的常数所以，当所以，当n 时时, ,0)!1(e 1 nxnx由此可知由此可知.0)(lim xrnn因此有因此有. )(!1! 21
13、1e2 xxnxxnx,e)( xxf 确实收敛于确实收敛于这表明级数这表明级数解解)2sin()()( nxxfn由由,0)0( f,1)0( f,0)0( f,1)0( f,0)0()2( nf.)1()0()12(nnf 于是可以得到幂级数于是可以得到幂级数例例 2 试将试将的的幂幂级级展展开开成成函函数数 sin)(x xxf .数数, ), 3,2,1( n可可知知,)!12()1(! 51! 311253 nxxxxnn且它的收敛区间为且它的收敛区间为 . ),(因为所给函数的麦克劳林公式的余项为因为所给函数的麦克劳林公式的余项为.)!1(2)1(sin)(1 nnxnnxxr 所
14、以可以推知所以可以推知1)!1(2)1(sin)( nnxnnxxr 因此得到因此得到的的幂幂级级数数展展开开式式为为 sin)(xxf . )()!12()1(! 51! 31sin1253 xnxxxxxnn. ) (0)!1(1时时当当 nnxn, cos)(sinxx 因因为为解解而而 . )()!12()1(! 51! 31sin1253 xnxxxxxnn所以根据幂级数可逐项求导的法则，所以根据幂级数可逐项求导的法则， 可得可得. )()!2()1(! 41! 211cos242 xnxxxxnn例例 3 试求函数试求函数. cos)(的的幂幂级级数数展展开开式式xxf 三、三、
15、间接展开法间接展开法.1)1(3121)1ln(132 nxxxxxnn因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，因为幂级数逐项积分后收敛半径不变， 所以，上式所以，上式右端级数的收敛半径仍为右端级数的收敛半径仍为 R = 1; 故收敛域为故收敛域为 1 x 1 . 当当 x = 1 时，该级数收敛时，该级数收敛 . 而当而当 x = 1 时该级时该级数发散，数发散，解解 因为因为231)(2 xxxf)2)(1(1xx .2111xx 例例 6 试将函数试将函数 x 的幂级数的幂级数 .231)(2 xxxf展开成展开成所以所以xxxf 2111)(且且2112121xx 2)2(2121xx. 2
16、)2( )2( xxn).11(1112 xxxxxn)1(2 nxxx)2()2(21 212 nxxx. 212212212211123322 nnnxxx 根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应取较小的一个，取较小的一个，故故 R = 1， 因此所得幂级数的收因此所得幂级数的收敛区间为敛区间为 1 x 1 .解解 令令 x 1 = y ， 则则 x = y + 1，代入得代入得.11)(yxf . 11 幂级数幂级数的的展开成展开成即将函数即将函数yy ,)1(1112 nnyyyy.)1()1()1()1(112 nnxxxx例例 7 将函数将函数的的
17、展开成展开成 1 1)( xxxf. 幂级数幂级数收敛区间为收敛区间为 (0 , 2) .所以所以因因例例 8 试将函数试将函数展开成展开成xxfsin)( . )4(的幂级数的幂级数 x解解, )4( xy设设则原题就转化成则原题就转化成将函数将函数 , )4sin(的幂级数的幂级数展开成展开成 yy yysin4coscos4sin 于是有于是有)4sin(sinyx )!2()1(! 41! 211 22242 nyyynn)!12()1(! 51! 31221253 nyyyynn 32)4(! 31)4(! 21)4(1 22xxxnnxn2)4()!2(1)1( )4()!12(1)1(12 nnxn.)( x最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式列在下面，列在下面，以便于读者查用以便于读者查用 . )( !1! 211e2 xxnxxnxxnxxxxxnn 1( 1)1(3121)1ln(132.1). )( )!2(1)1(! 41! 211cos242 xxnxxxnn. )( )!12(1)1(! 51! 31sin1253 xxnxxxxnn. )11( !)1()1( ! 2)1(1)1(2 xxnnmmmxmmmxxnm
