1、学习目标 1 知识与技能：掌握使用公式法进行因式分解的方法，并能熟练使用公式法进行因式分解； 2 过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式和完全平方公式分解因式的过程； 3 情感态度与价值观：在应用公式法分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。根据因式分解的概念，判断下列由左边到右根据因式分解的概念，判断下列由左边到右边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为边的变形，哪些是因式分解，哪些不是，为什么？什么？ 1(2x-1)2=4x2-4x+1 24x2-1-4xy+y2=(2x+1)(2x-1)-y(4x-y) 2. 3x29xy3x3x(x3y1) )2
2、1(2.42aaaaa- -+ += =- -+ 和老师比一比，看谁算的又快又准确！ 比一比比一比815715知识探索知识探索)(ba ba-+=22ba - -)(22bababa-+=-整式乘法整式乘法因式分解因式分解两个数的两个数的和和与两个数的与两个数的差差的的乘积乘积，等于这两个，等于这两个数的数的平方差平方差。两个数的两个数的平方差平方差，等于这两个数的，等于这两个数的和和与这与这两个数的两个数的差差的的乘积乘积. .平方差公式：平方差公式：（）公式左边：（）公式左边：（是一个将要（是一个将要被分解因式被分解因式的多项式）的多项式）被分解的多项式含有被分解的多项式含有两项两项，且这
3、两项，且这两项异号异号，并且能写成并且能写成（）（）（）（）的形式。的形式。(2) 公式右边公式右边:（是（是分解因式的结果分解因式的结果）分解的结果是两个分解的结果是两个底数底数的的和和乘以乘以两个两个底数底数的的差差的形式。的形式。)(22bababa-+=- -下列多项式能转化成下列多项式能转化成（）（）（）（）的形式吗？的形式吗？如果能，请将其转化成如果能，请将其转化成（）（）（）（）的形式。的形式。(1) m(1) m2 2 1 1(2)4m(2)4m2 2 9 9(3)4m(3)4m2 2+9+9(4)x(4)x2 2 25y 25y 2 2(5) (5) x x2 2 25y25
4、y2 2(6) (6) x x2 2+25y+25y2 2= = m m2 2 1 12 2= = (2m)(2m)2 2 3 32 2不能转化为平方差形式不能转化为平方差形式 x x2 2 (5y)(5y)2 2不能转化为平方差形不能转化为平方差形式式= = 25y25y2 2x x2 2 = =(5y)(5y)2 2 x x2 2a a2 2 b b2 2= (a = (a b) (a b) (a b)b)铺路之石铺路之石填空：填空：（1） （ )2 ; (2) 0.81（ )2;（3）9m2 ( )2; (4) 25a2b2=( )2; (5) 4(a-b)2= 2; (6) (x+y)
5、2= 2。首页首页上页上页下页下页做一做做一做=(4x+y) (4x y)=(2x + y) (2x y)3131=(2k+5mn) (2k 5mn)a2 b2= (a b) (a b) 看谁快又对看谁快又对= (a+8) (a 8) （1）a2821（2）16x2 y22(3) y2 + 4x2913(4) 4k2 25m2n24)(22bababa-+=- -2006220052 =（2mn）2 - - ( 3( 3xy)xy)2 2 =(x+z)2 - - ( (y+p)y+p)2 2 =牛刀小试牛刀小试(一）一）把下列各式分解因式： 0.25m2n2 1 (2a+b)2 - (a+2b
6、)2 x2 -116y2 25(x+y)2 - 16(x-y)2 利用因式分解计算：牛刀小试（二）牛刀小试（二）首页首页上页上页下页下页不信难不倒你！不信难不倒你！用你用你学过学过的方法分解因式：的方法分解因式：4x4x3 3 - 9xy - 9xy2 2结论：结论：多项式的因式分解要多项式的因式分解要分解到不能再分解分解到不能再分解为止。为止。方法：方法：先考虑能否用先考虑能否用提取公因式法提取公因式法，再考虑能否用，再考虑能否用平方差公式平方差公式分解因式。分解因式。分解因式：分解因式：1.1. 4x4x3 3 - 4x - 4x 2. x2. x4 4-y-y4 4结论：结论：分解因式的
7、一般步骤：分解因式的一般步骤：一提、二套一提、二套多项式的因式分解要多项式的因式分解要分解到不能再分解分解到不能再分解为止。为止。a2 - b2=(a+b)(a - b)注意点：注意点：1.1.运用平方差公式分解因式的运用平方差公式分解因式的关键关键是要把分解的是要把分解的多项式看成两个数的平方差，尤其当多项式看成两个数的平方差，尤其当系数是分数系数是分数或小数或小数时，要正确化为两数的平方差。时，要正确化为两数的平方差。2.2.公式公式 a a - b - b = (a+b)(a-b) = (a+b)(a-b)中的字母中的字母 a a , , b b可可以是以是数数，也可以是，也可以是单项式
8、或多项式单项式或多项式，要注意，要注意“整整体体”“”“换元换元”思想的运用。思想的运用。3.3.当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分当要分解的多项式是两个多项式的平方时，分解成的两个因式要进行解成的两个因式要进行去括号化简去括号化简，若有同类项，若有同类项，要进行合并，直至要进行合并，直至分解到不能再分解分解到不能再分解为止。为止。1.运用公式法分解因式运用公式法分解因式:(1) -9x2+4y2 (2) 64x2-y2z2(3) a2(a+2b)2-4(x+y)2 (4) (a+bx)2-1(5) (x-y+z)2-(2x-3y+4z)2试一试试一试创新与应用创新与应用2、已知、已知,
9、 x+ y =7, x-y =5,求代数式求代数式 x 2- y2-2y+2x 的值的值.1. 若若a=101,b=99,求求a2-b2的值的值.2. 1993-199能被能被200整除吗整除吗?还能被还能被哪些整数整除哪些整数整除?4. 若若n是整数是整数,证明证明(2n+1)2-(2n-1)2是是8的倍数的倍数.考考你考考你课前小测：课前小测：1.选择题：选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A. 4X+y B. 4 x- (-y) C. -4 X-y D. - X+ y2) -4a +1分解因式的结果应是分解因式的结果应是 （ ）A. -
10、(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)C. -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)2. 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1）18-2b 2) x4 1 DD1)原式原式=2（3+b)(3-b)2)原式原式=(x+1)(x+1)(x-1)因式分解的基本方法因式分解的基本方法2运用公式法运用公式法 把乘法公式反过来用把乘法公式反过来用,可以把符合公式可以把符合公式特点的多项式因式分解特点的多项式因式分解,这种方法叫公式法这种方法叫公式法. (1) 平方差公式：平方差公式： a2-b2=(a+b)(a-b) (2) 完全平方公式：完全平方公式：
11、a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2平方差公式反平方差公式反过来就是说：过来就是说：两个数的平方两个数的平方差，等于这两差，等于这两个数的和与这个数的和与这两个数的差的两个数的差的积积a - b = (a+b)(a-b)因式分解因式分解平方差公式：平方差公式：(a+b)(a-b) = a - b整式乘法整式乘法将下面的多项式分解因式将下面的多项式分解因式1) m - 16 2) 4x - 9ym - 16= m - 4 =( m + 4)( m - 4) a - b = ( a + b)( a - b )4x - 9y=(2x)-(3y)=(2x+3y)(2x-3
12、y)例例1.把下列各式分解因式把下列各式分解因式（1）16a- 1 ( 2 ) 4x- mn ( 3 ) x - y 925116( 4 ) 9x + 4解：解：1）16a-1=(4a) - 1 =(4a+1)(4a-1)解：解：2） 4x- mn =(2x) - (mn) =（2x+mn)(2x-mn)例例2.把下列各式因式分解把下列各式因式分解1)( x + z )- ( y + z )2)4( a + b) - 25(a - c)3)4a - 4a4)(x + y + z) - (x y z )5)a - 212解：解：1.原式原式=(x+z)+(y+z)(x+z)-(y+z) =(x+
13、y+2z)(x-y)解：解：2.原式原式=2(a+b)-5(a-c) =2(a+b)+ 5(a-c)2(a+b)- 5(a-c) =(7a+2b-5c)(-3a+2b+5c)解：解：3.原式原式=4a(a-1)=4a(a+1)(a-1)解：解：4.原式原式=(x+y+z)+(x-y-z) (x+y+z)- (x-y-z) =2 x ( 2 y + 2 z) =4 x ( y + z )巩固练习：巩固练习：1.选择题：选择题：1)下列各式能用平方差公式分解因式的是（下列各式能用平方差公式分解因式的是（ ）A. 4X+y B. 4 x- (-y) C. -4 X-y D. - X+ y2) -4a
14、 +1分解因式的结果应是分解因式的结果应是 （ ）A. -(4a+1)(4a-1) B. -( 2a 1)(2a 1)C. -(2a +1)(2a+1) D. -(2a+1) (2a-1)2. 把下列各式分解因式：把下列各式分解因式：1）18-2b 2) x4 1 DD1)原式原式=2（3+b)(3-b)2)原式原式=(x+1)(x+1)(x-1)(2a b+=(2a b-=222aab b+222aab b-+完全平方公式完全平方公式(2a b+(2a b-222aab b+=222aab b-+=现在我们把这个公式反过来现在我们把这个公式反过来很显然，我们可以运用以上这很显然，我们可以运用
15、以上这个公式来分解因式了，我们把个公式来分解因式了，我们把它称为它称为“完全平方公式完全平方公式”我们把以上两个式子我们把以上两个式子叫做叫做完全平方式完全平方式222aab b+222aab b-+“头头” 平方平方, “尾尾” 平方平方, “头头” “尾尾”两倍中间放两倍中间放.判别下列各式是不是判别下列各式是不是完全平方式完全平方式( ( ( ( 2222222224232221+-+-+乙乙甲甲BABAyxyx是是是是是是是是完全平方式的特点完全平方式的特点：1、必须是三项式22+ 2首首 尾 尾2、有两个平方的“项”3、有这两平方“项”底数的2倍或-2倍222aab b+222aab
16、 b-+下列各式是不是下列各式是不是完全平方式完全平方式( (22222222222122234446154624aba bx yxyxx yyaa bbxxaa bb+-+-+是是是是是是否否是是否否请补上一项，使下列多项请补上一项，使下列多项式成为式成为完全平方式完全平方式( ( ( ( ( 222222224221_2 49_3_414_452_xyabxyabxx y+-+2xy12ab4xyab4y(2a b+(2a b-222aab b+=222aab b-+=我们可以通过以上公式把我们可以通过以上公式把“完全平方式完全平方式”分解因式分解因式我们称之为：我们称之为：运用完全平运用
17、完全平方公式分解因式方公式分解因式例题：把下列式子分解因式例题：把下列式子分解因式4x4x2 2+12xy+9y+12xy+9y2 2( ( (2233222yyxx+=(223xy=+22+ 2首首 尾尾=(首首尾尾)2请运用完全平方公式把下请运用完全平方公式把下列各式分解因式：列各式分解因式：( ( (22222222144269344149615464129xxaaaamm nnxxaabb+-+-+-+(22x=+原式(23x=-原式(221a=+原式(23mn=-原式212x=+原式(223ab=-原式练习题：练习题：1 1、下列各式中，能用完全平方公式、下列各式中，能用完全平方公式
18、分解的是（分解的是（ ）A A、a a2 2+b+b2 2+ab +ab B B、a a2 2+2ab-b+2ab-b2 2 C C、a a2 2-ab+2b-ab+2b2 2 D D、-2ab+a-2ab+a2 2+b+b2 22 2、下列各式中，不能用完全平方公、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（式分解的是（ ）A A、x x2 2+y+y2 2-2xy -2xy B B、x x2 2+4xy+4y+4xy+4y2 2 C C、a a2 2-ab+b-ab+b2 2 D D、-2ab+a-2ab+a2 2+b+b2 2DC3 3、下列各式中，能用完全平方公式、下列各式中，能用完全平方
19、公式分解的是（分解的是（ ）A A、x x2 2+2xy-y+2xy-y2 2 B B、x x2 2-xy+y-xy+y2 2 C C、 D D、4 4、下列各式中，不能用完全平方公、下列各式中，不能用完全平方公式分解的是（式分解的是（ ）A A、x x4 4+6x+6x2 2y y2 2+9y+9y4 4 B B、x x2n2n-2x-2xn ny yn n+y+y2n2n C C、x x6 6-4x-4x3 3y y3 3+4y+4y6 6 D D、x x4 4+x+x2 2y y2 2+y+y4 4221x -2xy+y 4221x -xy+y 4DD2132xy+5 5、把、把 分解因
20、式得分解因式得 （ ）A A、 B B、6 6、把、把 分解因式得分解因式得 （ ）A A、 B B、221394xxyy+2134xy+224493xyxy+-223xy-243xy+BA7 7、如果、如果100 x100 x2 2+kxy+y+kxy+y2 2可以分解为可以分解为（10 x-y)10 x-y)2 2, ,那么那么k k的值是（的值是（ ）A A、20 20 B B、-20 -20 C C、10 D10 D、-10-108 8、如果、如果x x2 2+mxy+9y+mxy+9y2 2是一个完全平方式，是一个完全平方式，那么那么m m的值为（的值为（ ）A A、6 6 B B、
21、6 6 C C、3 D3 D、3 3 BB9 9、把、把 分解因式得分解因式得（ ）A A、 B B、C C、 D D、1010、计算、计算 的的结果是（结果是（ ）A A、 1 B1 B、-1-1C C、 2 D2 D、-2-2(244abab+(21ab+(21ab+-(22ab+(22ab+-221002 100 9999- +CA思考题思考题: :1 1、多项式、多项式: :(x+y)(x+y)2 2-2(x-2(x2 2-y-y2 2)+(x-y)+(x-y)2 2能能用完全平方公式分解吗用完全平方公式分解吗? ?2 2、在括号内补上一项，使多项、在括号内补上一项，使多项式成为完全平方式：式成为完全平方式：X X4 4+4x+4x2 2+( )+( )小结：小结：1、是一个二次三项式、是一个二次三项式2、有两个、有两个“项项”平方平方,而且有这而且有这两两“项项”的的积的两倍或负两倍积的两倍或负两倍3、我们可以利用、我们可以利用完全平方公完全平方公式式来进行因式分解来进行因式分解完全平方式具有：完全平方式具有：
