1、11变化率与导数11.1变化率问题11.2导数的概念学习目标1了解导数概念的实际背景2会求函数在某一点附近的平均变化率3会利用导数的定义求函数在某点处的导数知识链接很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢从数学的角度，如何描述这种现象呢？答气球的半径r(单位：dm)与体积V(单位：L)之间的函数关系是r(V)，(1)当V从0增加到1 L时，气球半径增加了r(1)r(0)0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为0.62(dm/L)(2)当V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2)r(1)0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为0.16
2、(dm/L)可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了预习导引1函数的变化率定义实例平均变化率函数yf(x)从x1到x2的平均变化率为，简记作：平均速度；曲线割线的斜率瞬时变化率函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是函数f(x)从x0到x0x的平均变化率在x0时的极限，即 .瞬时速度：物体在某一时刻的速度；切线斜率2.函数f(x)在xx0处的导数函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率 称为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .要点一求平均变化率例1已知函数h(x)4.9x26.5x10.(1)计算从x1到x1x的平均变化率，其中x的值为2；1；
3、0.1；0.01.(2)根据(1)中的计算，当|x|越来越小时，函数h(x)在区间1,1x上的平均变化率有怎样的变化趋势？解(1)yh(1x)h (1)4.9 (x)23.3x，4.9x3.3.当x2时，4.9x3.313.1；当x1时，4.9x3.38.2；当x0.1时，4.9x3.33.79；当x0.01时，4.9x3.33.349.(2)当|x|越来越小时，函数f(x)在区间1,1x上的平均变化率逐渐变大，并接近于3.3.规律方法求平均变化率的主要步骤：(1)先计算函数值的改变量yf(x2)f(x1)(2)再计算自变量的改变量xx2x1.(3)得平均变化率.跟踪演练1求函数yf(x)3x
4、22在区间x0，x0x上的平均变化率，并求当x02，x0.1时平均变化率的值解函数yf(x)3x22在区间x0，x0x上的平均变化率为6x03x.当x02，x0.1时，函数y3x22在区间2,2.1上的平均变化率为6230.112.3.要点二物体运动的瞬时速度例2高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)之间的关系式为h(t)4.9t26.5t10，求运动员在t s时的瞬时速度，并解释此时的运动状况解令t0，t为增量则4.96.5， 0，即运动员在t0 s时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处规律方法求瞬时速度是利用平均速度
5、“逐渐逼近”的方法得到的，其求解步骤如下：(1)由物体运动的位移s与时间t的函数关系式求出位移增量ss(t0t)s(t0)；(2)求时间t0到t0t之间的平均速度；(3)求 的值，即得tt0时的瞬时速度跟踪演练2一质点按规律s(t)at21作直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值解ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，4aat.在t2 s时，瞬时速度为 4a，即4a8，a2.要点三函数在某点处的导数例3求函数f(x)3x22x在x1处的导数解y3(1x)22(1x)(31221)3(x)24x，3x4，y|x1 (
6、3x4)4.规律方法求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的变化量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0) .跟踪演练3利用导数的定义求函数f(x)x23x在x2处的导数解由导数的定义知，函数在x2处的导数f(2) ，而f(2x)f(2)(2x)23(2x)(2232)(x)2x，于是f(2) (x1)1.1如果质点M按规律s3t2运动，则在一小段时间2,2.1中相应的平均速度是()A4 B4.1 C0.41 D3答案B解析4.1.2函数f(x)在x0处可导，则 ()A与x0、h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无
7、关D与x0、h均无关答案B3已知函数f(x)2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1x,1y)，则等于()A4 B4x C42x D42(x)2答案C解析yf(1x)f(1)2(1x)2112(x)24x，2x4.4已知函数f(x)，则f(1)_.答案解析f(1) .利用导数定义求导数三步曲：(1)作差求函数的增量yf(x0x)f(x0)；(2)作比求平均变化率；(3)取极限得导数f(x0) ，简记为一差，二比，三极限.一、基础达标1函数yf(x)在x0到x0x之间的平均变化率中，x不可能是()A大于0 B小于0C等于0 D大于0或小于0答案C2如图，函数yf(x)在A，B两点间的平均变化
8、率是()A1 B1C2 D2答案B解析 1.3如果某物体的运动方程为s2(1t2) (s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()A4.8 m/s B0.88 m/sC0.88 m/s D4.8 m/s答案A解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得4设函数f(x)可导，则 等于()Af(1) B3f(1) Cf(1) Df(3)答案A解析 f(1)5已知函数y3，当x由2变到1.5时，函数的增量y_.答案解析yf(1.5)f(2)1.6一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s3tt2，则物体的初速度是_答案3解析v初s|t0
9、 (3t)3.7利用定义求函数y2x25在x2处的瞬时变化率解因为在x2附近，y2(2x)25(2225)8x2(x)2，所以函数在区间2,2x内的平均变化率为82x.故函数y2x25在x2处的瞬时变化率为 (82x)8.二、能力提升8.甲、乙两厂污水的排放量W与时间t的关系如图所示，治污效果较好的是()A甲 B乙C相同 D不确定答案B解析在t0处，虽然W1(t0)W2(t0)，但是，在t0t处，W1(t0t)W2(t0t)，即0，对于任意实数x，有f(x)0，则的最小值为_答案2解析由导数的定义，得f(0) a(x)bb0.又，ac，c0.2.11求函数yf(x)2x24x在x3处的导数解y
10、2(3x)24(3x)(23243)12x2(x)24x2(x)216x，2x16.y|x3 (2x16)16.12若函数f(x)ax2c，且f(1)2，求a的值解f(1x)f(1)a(1x)2caca(x)22ax.f(1) (ax2a)2a，即2a2，a1.三、探究与创新13已知f(x)x2，g(x)x3，求满足f(x)2g(x)的x的值解由导数的定义知，f(x) 2x，g(x) 3x2.f(x)2g(x)，2x23x2.即3x22x20，解得x或x.11.3导数的几何意义学习目标1了解导函数的概念；了解导数与割线斜率之间的关系2理解曲线的切线的概念；理解导数的几何意义3会求曲线上某点处的
11、切线方程，初步体会以直代曲的意义知识链接如果一个函数是路程关于时间的函数，那么函数在某点处的导数就是瞬时速度，这是函数的实际意义，那么从函数的图象上来考查函数在某点处的导数，它具有怎样的几何意义呢？答设函数yf(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0)与点B(x0x，f(x0x)的一条割线，此割线的斜率是.当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的切线于是，当x0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即kf(x0) .预习导引1导数的几何意义函数yf(x)在点xx0处的导数的几何意义是曲线yf(x)在点P(x
12、0，f(x0)处的切线的斜率也就是说，曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率是f(x0)相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2函数的导函数当xx0时，f(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f(x)是x的一个函数，称f(x)是f(x)的导函数(简称导数)f(x)也记作y，即f(x)y .要点一过曲线上一点的切线方程例1若曲线yx33ax在某点处的切线方程为y3x1，求a的值解yx33ax.y 3x23xx(x)23a3x23a.设曲线与直线相切的切点为P(x0，y0)，结合已知条件，得解得a1.规律方法一般地，设曲线C是函数yf(x)的图象，P(x0，y0)是曲线C
13、上的定点，由导数的几何意义知k ，继而由点与斜率可得点斜式方程，化简得切线方程跟踪演练1求曲线y在点处的切线方程解因为 .所以这条曲线在点处的切线斜率为，由直线的点斜式方程可得切线方程为y(x2)，即x4y40.要点二求过曲线外一点的切线方程例2已知曲线y2x27，求：(1)曲线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)曲线过点P(3,9)的切线方程解y (4x2x)4x.(1)设切点为(x0，y0)，则4x04，x01，y05，切点坐标为(1，5)(2)由于点P(3,9)不在曲线上设所求切线的切点为A(x0，y0)，则切线的斜率k4x0，故所求的切线方程为yy04x0(xx0)将P(3,9)
14、及y02x7代入上式，得9(2x7)4x0(3x0)解得x02或x04，所以切点为(2,1)或(4,25)从而所求切线方程为8xy150或16xy390.规律方法若题中所给点(x0，y0)不在曲线上，首先应设出切点坐标，然后根据导数的几何意义列出等式，求出切点坐标，进而求出切线方程跟踪演练2求过点A(2,0)且与曲线y相切的直线方程解易知点(2,0)不在曲线上，故设切点为P(x0，y0)，由y|xx0 ，得所求直线方程为yy0(xx0)由点(2,0)在直线上，得xy02x0，再由P(x0，y0)在曲线上，得x0y01，联立可解得x01，y01，所求直线方程为xy20.要点三求切点坐标例3在曲线
15、yx2上过哪一点的切线，(1)平行于直线y4x5；(2)垂直于直线2x6y50；(3)与x轴成135的倾斜角解f(x) 2x，设P(x0，y0)是满足条件的点(1)因为切线与直线y4x5平行，所以2x04，x02，y04，即P(2,4)是满足条件的点(2)因为切线与直线2x6y50垂直，所以2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点(3)因为切线与x轴成135的倾斜角，所以其斜率为1.即2x01，得x0，y0，即P是满足条件的点规律方法解答此类题目时，所给的直线的倾斜角或斜率是解题的关键，由这些信息得知函数在某点处的导数，进而可求此点的横坐标解题时要注意解析几何知识的应用，如直线的倾斜角与斜率
16、的关系，平行，垂直等跟踪演练3已知抛物线y2x21，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20?(2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30?解设点的坐标为(x0，y0)，则y2(x0x)212x14x0x2(x)2.4x02x.当x无限趋近于零时，无限趋近于4x0.即f(x0)4x0.(1)抛物线的切线平行于直线4xy20，斜率为4，即f(x0)4x04，得x01，该点为(1,3)(2)抛物线的切线与直线x8y30垂直，斜率为8，即f(x0)4x08，得x02，该点为(2,9)1已知曲线yf(x)2x2上一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为()A4 B16 C8 D2答案C解析f(
17、2) (82x)8，即k8.2若曲线yx2axb在点(0，b)处的切线方程是xy10，则()Aa1，b1 Ba1，b1Ca1，b1 Da1，b1答案A解析由题意，知ky|x0 1，a1.又(0，b)在切线上，b1，故选A.3已知曲线yx22上一点P，则过点P的切线的倾斜角为()A30 B45 C135 D165答案B解析yx22，y x.y|x11.点P处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45.4已知曲线yf(x)2x24x在点P处的切线斜率为16.则P点坐标为_答案(3,30)解析设点P(x0,2x4x0)，则f(x0) 4x04，令4x0416得x03，P(3,30)1导数f(x0)的几何意
18、义是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，即k f(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度2“函数f(x)在点x0处的导数”是一个数值，不是变数，“导函数”是一个函数，二者有本质的区别，但又有密切关系，f(x0)是其导数yf(x)在xx0处的一个函数值3利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则以该点为切点的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)；若已知点不在切线上，则设出切点(x0，f(x0)，表示出切线方程，然后求出切点.一、基础达标1下列说法正确的是()A若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处就没有切线B若曲线
19、yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则f(x0)必存在C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在D若曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则f(x0)有可能存在答案C解析kf(x0)，所以f(x0)不存在只说明曲线在该点的切线斜率不存在，而当斜率不存在时，切线方程也可能存在，其切线方程为xx0.2已知yf(x)的图象如图所示，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)f(xB)Cf(xA)f(xB)D不能确定答案B解析由导数的几何意义，f(xA)，f(xB)分别是切线在点A、B处切线的斜率，由图象可知f(xA)
20、f(xB)3在曲线yx2上切线倾斜角为的点是()A(0,0) B(2,4)C(，) D(，)答案D解析y (2xx)2x，令2xtan 1，得x.y2，所求点的坐标为.4设曲线yax2在点(1，a)处的切线与直线2xy60平行，则a等于()A1 BC D1答案A解析y|x1 (2aax)2a.可令2a2，a1.5设yf(x)为可导函数，且满足条件 2，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率是_答案4解析由 2，f(1)2，f(1)4.6已知函数yf(x)的图象在点M(1，f(1)处的切线方程是yx2，则f(1)f(1)_.答案3解析由在M点的切线方程yx2得f(1)12，f(1).f
21、(1)f(1)3.7求过点P(1,2)且与曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线平行的直线解曲线y3x24x2在点M(1,1)处的切线斜率ky|x1 (3x2)2.过点P(1,2)的直线的斜率为2，由点斜式得y22(x1)，即2xy40.所以所求直线方程为2xy40.二、能力提升8.如图，函数yf(x)的图象在点P处的切线方程是yx8，则f(5)f(5)()A2 B3C4 D5答案A解析易得切点P(5,3)，f(5)3，k1，即f(5)1.f(5)f(5)312.9若曲线y2x24xP与直线y1相切，则P_.答案3解析设切点坐标为(x0,1)，则f(x0)4x040，x01，即切点坐标为(
22、1,1)24P1，即P3.10设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的范围为，则点P横坐标的取值范围为_答案解析f(x) (x2x2)2x2.可设P点横坐标为x0，则曲线C在P点处的切线斜率为2x02.由已知得02x021，1x0，点P横坐标的取值范围为.11已知抛物线yx24与直线yx10.求：(1)它们的交点；(2)抛物线在交点处的切线方程解(1) 由得或抛物线与直线的交点坐标为(2,8)或(3,13)(2)yx24，y (x2x)2x.y|x24，y|x36，即在点(2,8)处的切线斜率为4，在点(3,13)处的切线斜率为6.在点(2,8)处的切线方程为4xy0；
23、在点(3,13)处的切线方程为6xy50.12设函数f(x)x3ax29x1(a0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12xy6平行，求a的值解yf(x0x)f(x0)(x0x)3a(x0x)29(x0x)1(xax9x01)(3x2ax09)x(3x0a)(x)2(x)3，3x2ax09(3x0a)x(x)2.当x无限趋近于零时，无限趋近于3x2ax09.即f(x0)3x2ax09f(x0)3(x0)29.当x0时，f(x0)取最小值9.斜率最小的切线与12xy6平行，该切线斜率为12.912.解得a3.又a0，且a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0，且a1)
24、f(x)ln xf(x)要点一利用导数定义求函数的导数例1用导数的定义求函数f(x)2 013x2的导数解f(x) (4 026x2 013x)4 026x.规律方法解答此类问题，应注意以下几条：(1)严格遵循“一差、二比、三取极限”的步骤(2)当x趋于0时，kx(kR)、(x)n(nN*)等也趋于0.(3)注意通分、分母(或分子)有理化、因式分解、配方等技巧的应用跟踪演练1用导数的定义求函数yx2axb(a，b为常数)的导数解y (2xax)2xa.要点二利用导数公式求函数的导数例2求下列函数的导数(1)ysin ；(2)y5x；(3)y；(4)y；(5)ylog3x.解(1)y0；(2)y
25、(5x)5xln 5；(3)y(x3)3x4；(4)yx；(5)y(log3x).规律方法求简单函数的导函数的基本方法：(1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式跟踪演练2求下列函数的导数：(1)yx8；(2)yx；(3)yx；(4)ylogx.解(1)y8x7；(2)yxln xln 2；(3)yxx，yx；(4) y.要点三利用导数公式求曲线的切线方程例3求过曲线ysin x上点P且与过这点的切线垂直的直线方程解ysin x，ycos x，曲线在点P处的切线斜率是：y|
26、xcos.过点P且与切线垂直的直线的斜率为，故所求的直线方程为y，即2xy0.规律方法导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率；相互垂直的直线斜率乘积等于1是解题的关键跟踪演练3已知点P(1,1)，点Q(2,4)是曲线yx2上的两点，求与直线PQ平行的曲线yx2的切线方程解y(x2)2x，设切点为M(x0，y0)，则y|xx02x0，又PQ的斜率为k1，而切线平行于PQ，k2x01，即x0，所以切点为M.所求的切线方程为yx，即4x4y10.1已知f(x)x2，则f(3)()A0 B2x C6 D9答案C解析f(x)x2，f(x)2x，f(3)6.2函数f(x)，则f(3)等于()A. B0
27、C D答案A解析f(x)()，f(3).3设正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A. B0，)C D答案A解析(sin x)cos x，klcos x，1kl1，l.4曲线yex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_答案e2解析y(ex)ex，ke2，曲线在点(2，e2)处的切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.当x0时，ye2，当y0时，x1.S1e2.1利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归2有些函数可先化简再应用公式求导如求
28、y12sin2的导数因为y12sin2cos x，所以y(cos x)sin x.3对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化.一、基础达标1下列结论中正确的个数为()yln 2，则y；y，则y|x3；y2x，则y2xln 2；ylog2x，则y.A0 B1 C2 D3答案D解析yln 2为常数，所以y0.错正确2过曲线y上一点P的切线的斜率为4，则点P的坐标为()A. B或C D答案B解析y4，x，故选B.3已知f(x)xa，若f(1)4，则a的值等于()A4 B4 C5 D5答案A解析f(x)axa1，f(1)a(1)a14，a4.4函数f(x)x3的斜率等于1的切线有
29、()A1条 B2条 C3条 D不确定答案B解析f(x)3x2，设切点为(x0，y0)，则3x1，得x0，即在点和点处有斜率为1的切线5曲线y在点M(3,3)处的切线方程是_答案xy60解析y，y|x31，过点(3,3)的斜率为1的切线方程为：y3(x3)即xy60.6若曲线yx在点处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a_.答案64解析yx，yx，曲线在点处的切线斜率ka，切线方程为yaa(xa)令x0得ya；令y0得x3a.该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为S3aaa18，a64.7求下列函数的导数：(1) y；(2)y；(3)y2sin ；(4)ylog2x2log2x.解(1
30、)yx1x.(2)y(x4)4x414x5.(3)y2sin2sin 2sin cos sin x，y(sin x)cos x.(4)ylog2x2log2xlog2x，y(log2x).二、能力提升8已知直线ykx是曲线yex的切线，则实数k的值为()A. B Ce De答案D解析yex，设切点为(x0，y0)，则ex0ex0x0，x01，ke.9曲线yln x在xa处的切线倾斜角为，则a_.答案1解析y，y|xa1，a1.10点P是曲线yex上任意一点，则点P到直线yx的最小距离为_答案解析根据题意设平行于直线yx的直线与曲线yex相切于点(x0，y0)，该切点即为与yx距离最近的点，如图
31、则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y|xx01.y(ex)ex，ex01，得x00，代入yex，得y01，即P(0,1)利用点到直线的距离公式得距离为.11已知f(x)cos x，g(x)x，求适合f(x)g(x)0的x的值解f(x)cos x，g(x)x，f(x)(cos x)sin x，g(x)x1，由f(x)g(x)0，得sin x10，即sin x1，但sin x1,1，sin x1，x2k，kZ.12已知抛物线yx2，直线xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离解根据题意可知与直线xy20平行的抛物线yx2的切线，对应的切点到直线xy20的距离最短，设切点坐标为(x0，x)，则
32、y|xx02x01，所以x0，所以切点坐标为，切点到直线xy20的距离d，所以抛物线上的点到直线xy20的最短距离为.三、探究与创新13设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，试求f2 014(x)解f1(x)(sin x)cos x，f2(x)(cos x)sin x，f3(x)(sin x)cos x，f4(x)(cos x)sin x，f5(x)(sin x)f1(x)，f6(x)f2(x)，fn4(x)fn(x)，可知周期为4，f2 014(x)f2(x)sin x1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标1
33、理解函数的和、差、积、商的求导法则2理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数3能运用复合函数的求导法则进行复合函数的求导知识链接前面我们已经学习了几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式，这样做起题来比用导数的定义显得格外轻松我们已经会求f(x)5和g(x)1.05x等基本初等函数的导数，那么怎样求f(x)与g(x)的和、差、积、商的导数呢？答利用导数的运算法则预习导引1导数运算法则法则语言叙述f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的和(或差)的导数，等于这两个函数的导数的和(或差)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)两个函数的积的导数，等于第一个
34、函数的导数乘上第二个函数，加上第一个函数乘上第二个函数的导数(g(x)0)两个函数的商的导数，等于分子的导数乘上分母减去分子乘上分母的导数，再除以分母的平方2复合函数的求导法则复合函数的概念一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为yf(u)和ug(x)的复合函数，记作yf(g(x)复合函数的求导法则复合函数yf(g(x)的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的关系为yxyuux，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积要点一利用导数的运算法则求函数的导数例1求下列函数的导数：(1) yx32x3； (2)y(x21)(x1)；(3)y3xlg x.解(1)y(x
