1、导入新课导入新课 一般地，对于一般地，对于n Nn N* *有有 011222 ()n nnn nnn rn rrnn nn abC aC abC ab C abC b 二项定理二项定理: : 观察观察 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 )(ba 2 )(ba 3 )(ba 4 )(ba 5 )(ba 6 )(ba （1）上述的表叫做二项式系数的表）上述的表叫做二项式系数的表,观察表中观察表中 二项式系数的规律二项式系数的规律,并加以归纳并加以归纳. （2）继续观察）继续观察,归纳每行二项式系数的特点归纳每
2、行二项式系数的特点 (即二项式系数的性质即二项式系数的性质),猜测出二项式系数的性质猜测出二项式系数的性质. 1.3.2“杨辉三角” 与 二项式系数的性质 教学目标教学目标 知识目标知识目标 （1）掌握二项式系数的性质；）掌握二项式系数的性质； （2）进一步认识组合数、组合数的性质）进一步认识组合数、组合数的性质. 能力目标能力目标 （1）使学生建立“杨辉三角”与二项式）使学生建立“杨辉三角”与二项式 系数之间的直觉，并探索其中的规律，培养系数之间的直觉，并探索其中的规律，培养 学生的探索精神和创新意识学生的探索精神和创新意识; （2）能运用函数观点分析处理二项式系）能运用函数观点分析处理二项
3、式系 数的性质数的性质,提高学生分析问题、发现问题、解提高学生分析问题、发现问题、解 决问题的能力决问题的能力,激发学生的学习兴趣激发学生的学习兴趣. 结合结合 “杨辉三角”，对学生进行“杨辉三角”，对学生进行 爱国主义教育，激励学生的民族自豪爱国主义教育，激励学生的民族自豪 感和为国富民强而勤奋学习的热情感和为国富民强而勤奋学习的热情 情感目标情感目标 教学重难点教学重难点 重点 通过探究提炼二项式系通过探究提炼二项式系 数的性质和讨论它的一些方数的性质和讨论它的一些方 法，如：赋值法法，如：赋值法 、递推法、递推法、 图象法图象法. 难点 用函数的角度研究二项用函数的角度研究二项 式系数的
4、性质和对赋值法的式系数的性质和对赋值法的 灵活运用灵活运用. 通过画出函数图通过画出函数图 象，数形结合地进行思考象，数形结合地进行思考. 1、杨辉、杨辉三角三角 南宋末年钱塘人，是南宋末年钱塘人，是 当时有名的数学家和教育当时有名的数学家和教育 家，杨辉一生编写的数学家，杨辉一生编写的数学 书很多书很多,但散佚严重但散佚严重. 杨辉生活在浙江杭州杨辉生活在浙江杭州 一带，曾当过地方官一带，曾当过地方官,到过到过 苏州、台州等地，他每到苏州、台州等地，他每到 一处都会有人慕名前来一处都会有人慕名前来 请请 教数学问题教数学问题. 杨杨 辉辉 本节课的课题本节课的课题二项式定理二项式定理就是研究
5、就是研究 （a+b）的平方）的平方,(a+b)的三次方的三次方 （a+b）的）的n次次 方的乘法展开式的规律，方的乘法展开式的规律， 法国数学家法国数学家帕斯卡帕斯卡在在17 世纪发现了它，国外把这一规律称为世纪发现了它，国外把这一规律称为帕斯卡三角帕斯卡三角. 其实，我国数学家杨辉早在其实，我国数学家杨辉早在1261年在他的年在他的详解详解 九章算法九章算法中就有了相应的图表中就有了相应的图表. 九章算术九章算术 详 解 九 章 算 法 详 解 九 章 算 法 中 记 载 的 表 中 记 载 的 表 2、二项式系数性质二项式系数性质 展开式的二项式系数依次是：展开式的二项式系数依次是： n
6、ba)( 012n nnnn C ,C ,C ,C 从函数角度看，从函数角度看， 可看成是以可看成是以r r为自变量的为自变量的 函数函数 , ,其定义域是：其定义域是： r n C )(rf 当当 时，其图象是右图中的时，其图象是右图中的7个个孤立孤立 点点 6n n, 2 , 1 , 0 由以上分析可以画出如下图由以上分析可以画出如下图: 观察观察 结合杨辉三角和上图来结合杨辉三角和上图来 研究二项式系数的一些性质研究二项式系数的一些性质. 知识要知识要 点点 1.对称性对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式与首末两端“等距离”的两个二项式 系数相等系数相等. 这一性质可直接由这一性质可
7、直接由 公式公式Cnm=Cnn-m 得到得到. 直线直线 将函数将函数 的图像分成对称的的图像分成对称的 两部分，它是图像的对称轴两部分，它是图像的对称轴 n r 2 f(r) 知识要知识要 点点 2.增减性与最大值增减性与最大值 k n k-1 n n(n-1)(n-2)(n-k +1) C = k(k -1)! n-k +1 = C k 由于：由于： 所以所以 相对于相对于 的增减情况由的增减情况由 决定决定 k n C 1 C k n n-k +1 k 由：由： n-k +1n+1 1k k2 二项式系数是二项式系数是逐渐增大逐渐增大的，由对称性可知的，由对称性可知 它的后半部分是它的后
8、半部分是逐渐减小逐渐减小的，且的，且中间项中间项取得最取得最 大值大值. n+1 k 2 可知，当可知，当 时，时， 因此，因此，当当n为偶数时为偶数时，中间一项的二项式，中间一项的二项式 n 2 n C 系数系数 取得最大值；取得最大值； 当当n为奇数时为奇数时，中间两项的二项式系数，中间两项的二项式系数 、 n-1 2 n C n+1 2 n C相等，且同时取得最大值相等，且同时取得最大值. 知识要知识要 点点 3.各二项式系数之和各二项式系数之和 已知已知 (1+x)n=Cn0+Cn1x+Cnrxr+Cnnxn 令令x=1，则，则 2n=Cn0+Cn1+Cnn 例题例题 证明在证明在(a
9、+b)n的展开式中，奇数项的二的展开式中，奇数项的二 项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 分析：分析： 奇数项的二项式系数的和为奇数项的二项式系数的和为Cn0+Cn2+ 偶数项的二项式系数的和为偶数项的二项式系数的和为Cn1+Cn3+ 由于在二项式定理中由于在二项式定理中a、b可以取任意实数，可以取任意实数， 因此我们可以通过对因此我们可以通过对a、b适当赋值来得到上适当赋值来得到上 述两个系数和述两个系数和. 证明：证明： 在二项展开式中，令在二项展开式中，令a=1，b=-1，则得，则得 (1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+(-1)nCnn
10、 即即 0=(Cn0+Cn2 +)-(Cn1+Cn3+), 所以所以 Cn0+Cn2 += Cn1+Cn3+, 即得证即得证. 课堂小结课堂小结 1.二项式系数的三条性质二项式系数的三条性质 （1）对称性对称性; （2）增减性与最大值增减性与最大值; （3）各二项式系数的和各二项式系数的和; （4）递推性递推性（杨辉三角中杨辉三角中）. 2. 数学思想方法数学思想方法 （1）函数法）函数法; （2）特殊值法）特殊值法 ; （3）赋值法）赋值法 、递推法、图象法、递推法、图象法. 3.“系数”与“二项式系数”的区别系数”与“二项式系数”的区别 不能混淆两者，只有二项式系数最大的不能混淆两者，只有
11、二项式系数最大的 才是中间项，而系数最大的不一定是中间项才是中间项，而系数最大的不一定是中间项. 1. 如图，在由二项式系数所构成的杨辉三如图，在由二项式系数所构成的杨辉三 角中，第角中，第_行中从左到右第行中从左到右第14与第与第15个数的个数的 比为比为2:3 . 针对性练习针对性练习 34 解析：解析： 01 11 CC， 012 222 CCC， 0123 3333 CCCC， 012n nnnn CCCC， ， 2:3 1314 nn CC=2:3n = 34 由图由图1我们能发现，第我们能发现，第1行中的数是行中的数是 第第2行中的数是行中的数是 第第3行中的数是行中的数是 则第则
12、第n行中的数是行中的数是 设第设第n行中从左到右第行中从左到右第14与第与第15个数的比为个数的比为 则则 ，解得，解得 2.(1-x3)(1+x)10的展开式中含的展开式中含x4的项的系数的项的系数 为为_(用数字作答用数字作答). 解析：解析： (1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+)， ， x4的系数为的系数为C104+(-1) C101=200. 200 3. 若若nN且且n为奇数，则为奇数，则6n+6n-1+6n-2+6- 1被 被8除所得的余数是除所得的余数是( ). (A)0 (B)2 (C)5 (D)7 原式原式=
13、(6+1)n-2=7n-2=(8-1)n-2=8n- 8n-1+8n-2-+8-1-2=8(8n-1-8n- 2+)-3，余数为 ，余数为8-3=5. C (1)Cn1+Cn2+Cnn=_; C111+C113+C115+C117+C119+C1111=_. (2)在在(1+x)10的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为 _； 在在(1-x)11的展开式中，二项式系数最大为的展开式中，二项式系数最大为_ . 课堂练习课堂练习 1.填空填空 5 10 C 7 11 C 12 n 10 2 （1） 的展开式中，无理项的个的展开式中，无理项的个 数是（数是（ ） A .83 B.8
14、4 C.85 D.86 （2）（）（x-2)9的展开式中，第的展开式中，第6项的二项式系数项的二项式系数 是（是（ ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-126 2.选择选择 1003 ( 23) 3.解答题解答题 （1）求）求(2x+3y)6的展开式的第三项的展开式的第三项. 解：解： 由二项展开式的通项知由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2x)6-2(3y)2=2160 x4y2 （2）求）求(2a+3b)6的展开式的第三项的二项式系数的展开式的第三项的二项式系数. 解：解： 由二项展开式的通项知由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2a)6-2(3b)2=2160a4b2 由二项式系数定义知，展开式的第三项的二由二项式系数定义知，展开式的第三项的二 项式系数为项式系数为C62=15，而展开式的第三项的系数，而展开式的第三项的系数 为为2160.
