1、导入新课导入新课 想一想想一想 先看下面的问题先看下面的问题 从我们班推选出两名同学担任班长，有从我们班推选出两名同学担任班长，有 多少种不同的选法多少种不同的选法？ 把我们的同学排成一排，共有多少种把我们的同学排成一排，共有多少种 不同的排法不同的排法？ 要解决这些问题，要解决这些问题， 就要运用有关就要运用有关排列、组排列、组 合合知识知识. 排列组合是一种重要的数学排列组合是一种重要的数学 计数方法计数方法. 是研究按某一规则做某是研究按某一规则做某 事时，一共有多少种不同的做法事时，一共有多少种不同的做法. 在运用排列、组合方法时，经常要用在运用排列、组合方法时，经常要用 到分类加法计
2、数原理与分步乘法计数原理到分类加法计数原理与分步乘法计数原理. 这节课，我们从具体例子出发来学习这两这节课，我们从具体例子出发来学习这两 个原理个原理. 1.1分类加法计数原理 与 分步乘法计数原理 教学目标教学目标 知识目标知识目标 （1）理解分类加法计数原理与分步）理解分类加法计数原理与分步 乘法计数原理；乘法计数原理； （2） 会利用两个原理分析和解决一会利用两个原理分析和解决一 些简单的应用问题些简单的应用问题. 能力目标能力目标 培养学生的归纳概括能力培养学生的归纳概括能力. 情感目标情感目标 （1）了解学习本章的意义，激发学生）了解学习本章的意义，激发学生 的兴趣；的兴趣； （2）
3、引导学生形成）引导学生形成 “自主学习”与“自主学习”与 “合作学习”等良好的学习方式“合作学习”等良好的学习方式. 教学重难点教学重难点 重点 分类加法计数原理与分步分类加法计数原理与分步 乘法计数原理的应用理解乘法计数原理的应用理解. 难点 分类加法计数原理与分步分类加法计数原理与分步 乘法计数原理的理解乘法计数原理的理解. 1、分、分类加法计数原理类加法计数原理 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘 汽车汽车.如果一天中火车有如果一天中火车有3班，汽车有班，汽车有2班班.那么那么 一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共
4、 有多少种不同的走法？有多少种不同的走法？ 解答解答 由题意画图如下：由题意画图如下： 观察有什么特征观察有什么特征 解：解： 从甲地到乙地有从甲地到乙地有2类方法类方法, 第一类方法第一类方法:乘火车，有乘火车，有3种方法种方法; 第二类方法第二类方法:乘汽车，有乘汽车，有2种方法种方法. 所以从甲地到乙地共有所以从甲地到乙地共有3+2=5种方法种方法. 分类加法计数原理分类加法计数原理 完成一件事有两类不同方案，在第完成一件事有两类不同方案，在第1类方案类方案 中有中有m 种不同的方法，在第种不同的方法，在第2类方案中有类方案中有 n种不种不 同的方法同的方法. 那么完成这件事共有那么完成
5、这件事共有 N=m+n 种不同的方法种不同的方法. 知识要知识要 点点 A大学大学 B大学大学 生物学生物学 化学化学 医学医学 物理学物理学 工程学工程学 数学数学 会计学会计学 信息技术学信息技术学 法学法学 例题例题1 1 在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了在填写高考志愿表时，一名高中毕业生了 解到解到，A，B两所大学各有一些自己感兴趣的两所大学各有一些自己感兴趣的 强项专业，具体情况如下强项专业，具体情况如下： 如果这名同学只能选一个专业，那么如果这名同学只能选一个专业，那么 它共有多少种选择呢？它共有多少种选择呢？ 分析分析 由于这名同学在由于这名同学在A，B两所大学中只能两所大学
6、中只能 选择一所，而且只能选择一个专业，又由于选择一所，而且只能选择一个专业，又由于 两所大学没有共同的强项的专业，因此符合两所大学没有共同的强项的专业，因此符合 分类加法计数原理的条件分类加法计数原理的条件. 继续解答继续解答 解：解： 这名同学可以选择两所大学中的一所，在这名同学可以选择两所大学中的一所，在A 所大学中有所大学中有5种专业选择方法，在种专业选择方法，在B所大学中有所大学中有4 种专业选择方法，又由于没有一个强项专业是两种专业选择方法，又由于没有一个强项专业是两 所大学共有的，因此更具分类加法计数原理，这所大学共有的，因此更具分类加法计数原理，这 名同学可能的专业选择共有名同
7、学可能的专业选择共有 5+4=9（种）（种） 探究探究 如果完成一件事有三种不同方案，在第如果完成一件事有三种不同方案，在第1 类方案中有类方案中有m1种方法，在第种方法，在第2类方案中有类方案中有m2 种方法，在第种方法，在第3类方案中有类方案中有m3种方法那么完种方法那么完 成这件事共有多少种不同的方法？成这件事共有多少种不同的方法？ 如果完成一件事有如果完成一件事有n种不同方案，在每一种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？ N=m1+m2+m3 2、分步乘法计数原理分步乘法计数原理 用前用前6个大写英文字母和个大写英文字母和1
8、9九个阿拉伯九个阿拉伯 数字，以数字，以A1，A2，B1，B2，的方式的方式 给教室里的座位编号，总共能变出多少个不给教室里的座位编号，总共能变出多少个不 同的号码？同的号码？ 解答解答 由题意画图如下：由题意画图如下： 字母字母 数字数字 得到的号码得到的号码 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 注意注意 上图是解决计数问题常用的上图是解决计数问题常用的 “树形图树形图”. 你能用树形图列出所有你能用树形图列出所有 可能的号码吗？可能的号码吗？ 观察有什么特征观察有什么特征 解：解： 由于前由于前6个英文字母中的任意一个都能个英文字母
9、中的任意一个都能 与与9个数字中的任意一个组成一个号码，而个数字中的任意一个组成一个号码，而 且它们各不相同，因此共有且它们各不相同，因此共有 69=54 个不同的号码个不同的号码. 知识要知识要 点点 分步乘法计数原理分步乘法计数原理 完成一件事需要两个步骤，做第完成一件事需要两个步骤，做第1步有步有 m 种不同的方法，做第种不同的方法，做第2步有步有 n种不同的方种不同的方 法法. 那么完成这件事共有那么完成这件事共有 N=mn 种不同的方法种不同的方法. 例题例题2 2 书架的第一层放有书架的第一层放有4本不同的计算机书，本不同的计算机书， 第二层放有第二层放有5本不同的文艺书，从书架的
10、第本不同的文艺书，从书架的第1、 2层各取层各取1本书，有多少种不同的取法？本书，有多少种不同的取法？ 分析分析 读题意可知，这是一个分步乘读题意可知，这是一个分步乘 法计数题法计数题. 解：解： 从书架的第从书架的第1，2，各取，各取1本书，可以分成两本书，可以分成两 个步骤完成个步骤完成: 第一步，从第一层取第一步，从第一层取1本计算机书，有本计算机书，有4种种 方法；方法； 第二步，从第二层取第二步，从第二层取1本文艺书，有本文艺书，有5种方种方 法；法； 根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是根据分步乘法计数原理，不同取法的种数是 N=45=20 继续解答继续解答 探究探究 如果完成一
11、件事需要三个步骤，做第如果完成一件事需要三个步骤，做第1步步 有有m1种方法，做第种方法，做第2步有步有m2种方法，做第种方法，做第3步步 有有m3种方法那么完成这件事共有多少种不同种方法那么完成这件事共有多少种不同 的方法？的方法？ 如果完成一件事有如果完成一件事有n种不同方案，在每一种不同方案，在每一 类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？类中都有若干种不同方法，那么如何计数呢？ N=m1m2m3 例题例题3 3 一名同学有一名同学有7枚明朝不同古币和枚明朝不同古币和10枚枚 清朝不同古币清朝不同古币 (1）从中任取一枚，有多少种不同取）从中任取一枚，有多少种不同取 法？法？ (2）从中
12、任取明清古币各一枚，有多）从中任取明清古币各一枚，有多 少种不同取法？少种不同取法？ 分析分析 由于这名同学有明朝清朝两种不同的古币，由于这名同学有明朝清朝两种不同的古币， （1）中要从中任取一枚，符合分类计数原理，）中要从中任取一枚，符合分类计数原理， （2）中要从明清中各取一枚，符合分步计数）中要从明清中各取一枚，符合分步计数 原理原理. 解：解： （1）该题应用分类计数原理，分两类：第）该题应用分类计数原理，分两类：第 一类，取明朝古币有一类，取明朝古币有7种；第二类，取清朝古种；第二类，取清朝古 币有币有10种种. 所以共有所以共有 7+10=17 种不同取法种不同取法. （2）该题应
13、用分步计数原理，分两步：第）该题应用分步计数原理，分两步：第 一步，取明朝古币有一步，取明朝古币有7种；第二步，取清朝古种；第二步，取清朝古 币有币有10种种. 共有共有 710=70 种不同取法种不同取法. 继续解答继续解答 课堂小结课堂小结 1.分类加法计数原理和分步乘法计数分类加法计数原理和分步乘法计数 原理：原理： 是排列组合问题的最基本的原理；是排列组合问题的最基本的原理； 是推导排列数、组合数公式的理论依据；是推导排列数、组合数公式的理论依据； 是求解排列、组合问题的基本思想是求解排列、组合问题的基本思想. 2理解分类加法计数原理与分步理解分类加法计数原理与分步 乘法计数原理，并加
14、区别：乘法计数原理，并加区别： 分类加法计数原理针对的是“分类”分类加法计数原理针对的是“分类” 问题，其中各种方法相对独立，用其中任何问题，其中各种方法相对独立，用其中任何 一种方法都可以完成这件事；一种方法都可以完成这件事； 分步乘法计数原理针对的是“分步”分步乘法计数原理针对的是“分步” 问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各 个步骤都完成后才算做完这件事个步骤都完成后才算做完这件事. 3.运用分类加法计数原理与分步乘法运用分类加法计数原理与分步乘法 计数原理的注意点：计数原理的注意点： 分类加法计数原理：首先确定分类标准，分类加法计数原理：首先确定
15、分类标准， 其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于其次满足：完成这件事的任何一种方法必属于 某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是某一类，并且分别属于不同的两类的方法都是 不同的方法，即不同的方法，即不重不漏不重不漏. 分步乘法计数原理：首先确定分步标准，分步乘法计数原理：首先确定分步标准， 其次满足：必须并且只需连续完成这其次满足：必须并且只需连续完成这n个步骤，个步骤， 这件事才算完成这件事才算完成. 高考链接高考链接 A 1（2008年福建卷年福建卷7）某班级要从）某班级要从4名男生、名男生、2名名 女生中选派女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少人参加某次社区服务，如果要求至
16、少 有有1名女生，那么不同的选派方案种数名女生，那么不同的选派方案种数_ . A. 14 B. 24 C. 28 D. 48 先分类，再分先分类，再分 步！步！ 2（2007年全国年全国卷文科第卷文科第10题）题）5位同学报位同学报 名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中 的一个小组，则不同的报名方法共有的一个小组，则不同的报名方法共有_. A10种种 B20种种 C. 25种种 D . 32种种 D 学生选小组学生选小组N= 5 2 3. (2007年四川文科第年四川文科第9题）用数字题）用数字1，2，3， 4，5可以组成没有重复数字，并且比可以组成
17、没有重复数字，并且比20000大的大的 五位偶数共有五位偶数共有_. A.48个个 B.36个个 C.24个个 D.18个个 分析：分析： 先分类，再分步，据题意，当个位数是先分类，再分步，据题意，当个位数是2 2时，时， 万位数是万位数是3 3，4 4，5 5，其他随意，共有，其他随意，共有 3 33 32 21=181=18种；当个位数是种；当个位数是4 4时，万位数是时，万位数是2 2， 3 3，5 5，其他随意，共有，其他随意，共有3 33 32 21=181=18种种 所以共有所以共有3636种种. . B 课堂练习课堂练习 1.填空填空 （1）从甲地到乙地有）从甲地到乙地有2种走法
18、，从乙地到丙地有种走法，从乙地到丙地有4 种走法，从甲地不经过乙地到丙地有种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则种走法，则 从甲地到丙地的不同的走法共有从甲地到丙地的不同的走法共有 _种种. （2）甲、乙、丙）甲、乙、丙3个班各有三好学生个班各有三好学生3，5，2名，名， 现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校 三好学生代表大会，共有三好学生代表大会，共有_种不同的推选方种不同的推选方 法法. 11 31 2.选择选择 （1）一件工作可以用）一件工作可以用2种方法完成，有种方法完成，有5人人 会用第会用第1种方法完成，另有种方法完成，另有4人
19、会用第人会用第2种方法种方法 完成，从中选出完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选人来完成这件工作，不同选 法的种数是（法的种数是（ ） A.9 B.2 C.20 D.6 （2）从）从A村去村去B村的道路有村的道路有3条，从条，从B村去村去C 村的道路有村的道路有2条，从条，从A村经村经B村去村去C村，不同的村，不同的 路线有路线有 ( )条条. A.3 B.4 C.5 D.6 3.解答题解答题 (1)由数字由数字l，2，3，4，5可以组成多少个允可以组成多少个允 许重复数字的三位数许重复数字的三位数. 解：解： 由于此三位数的数字允许重复，分三步：由于此三位数的数字允许重复，分三步： 百、
20、十、个位数各有百、十、个位数各有5种取法，种取法， 所以可以组成所以可以组成 555=125 个三位数个三位数. （2）电子元件很容易实现电路的通与断、电位）电子元件很容易实现电路的通与断、电位 的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两的高与底等两种状态，而这也是最容易控制的两 种状态种状态. 因此计算机内部就采用了每一位只有因此计算机内部就采用了每一位只有0 或或1两种数字的计数法，即二进制，为了使计算两种数字的计数法，即二进制，为了使计算 机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字机能够识别字符，需要对字符进行编码，每个字 符可以用一个或多个字节来表示，其中字节是计符可以用一个或多个字节
21、来表示，其中字节是计 算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由算机中数据存储的最小计量单位，每个字节由 个二进制位构成，问：个二进制位构成，问： 一个字节（一个字节（8位）最多可以表示多少个不位）最多可以表示多少个不 同的字符？同的字符？ 计算机汉字国标码（计算机汉字国标码（GB码）包含了码）包含了6763 个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进个汉字，一个汉字为一个字符，要对这些汉字进 行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？行编码，每个汉字至少要用多少个字节表示？ 第第1位位 第第2位位 第第3位位 第第8位位 2种种 2种种 2种种 2种种 分析：分析： 如如00000000， 10
22、000000， 11111111. 解：解： 由图可知组成一个字节为分步计数由图可知组成一个字节为分步计数 所以最多可以表示所以最多可以表示 8 2256()个 一个字节有一个字节有256种表示方法，而汉字种表示方法，而汉字 有有6763个，所以每个汉字至少要用个，所以每个汉字至少要用2个字节个字节 来表示来表示. 习题解答习题解答 A组组 1. “一件事情”是“买一台某型号的电视机”一件事情”是“买一台某型号的电视机” 不同的选法有不同的选法有4+7=11（种）（种）. 2. “一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到一件事情”是“从甲地经乙地或经丙地到 丁地去”丁地去”. 所以是“先分类，再分
23、步”，不同的所以是“先分类，再分步”，不同的 路线共有路线共有23+42=14（条）（条）. 3. 对于第一问，“一件事情”是“构成一对于第一问，“一件事情”是“构成一 个分数”由于个分数”由于1，5，9，13是奇数，是奇数，4，8，12， 16是偶数，所以以是偶数，所以以1，5，9，13中任意一个为分中任意一个为分 子，都可以与子，都可以与4，8，12，16中的任意一个构成中的任意一个构成 分数分数. 因此可以分两步来构成分数：因此可以分两步来构成分数： 第一步，选分子，有第一步，选分子，有4种选法；种选法； 第二步，选分母，也有第二步，选分母，也有4种选法种选法. 共有不同的分数共有不同的
24、分数 44=16（个）（个）. 对于第二问，分四类：对于第二问，分四类： 分子为分子为1时，分母可以从时，分母可以从4，8，12，16中中 任选一个，有任选一个，有4个，个， 分子为分子为5时，分母从时，分母从8，12，16中选一个，中选一个， 有有3个；个； 分子为分子为9时，分母从时，分母从12，16中选一个，有中选一个，有2 个；个； 分子为分子为13时，分母只能是时，分母只能是16，有，有1个个. 所以共有真分数所以共有真分数 4+3+2+1=10（个）（个）. 4.”一件事情”是“接通线路”。更具电路的有”一件事情”是“接通线路”。更具电路的有 关知识，容易得到不同的接通线路有关知识
25、，容易得到不同的接通线路有 3+1+22=8（条）（条）. 5.(1)分两步完成：分两步完成： 第一步，从第一步，从A中选横坐标，有中选横坐标，有6种选择；种选择； 第二步，从第二步，从A中选纵坐标，也有中选纵坐标，也有6种选择种选择. 所以共有坐标所以共有坐标 66=36（个）（个） （2）由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相）由于斜率不同截距不同、斜率不同截距相 同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的，同、斜率相同截距不同的直线都是互不相同的， 因此可分两步完成：因此可分两步完成： 第一步，取斜率，有第一步，取斜率，有4种取法；种取法； 第二步，取截距，有第二步，取截距，有4种取法种取法
26、. 所以共有直线所以共有直线 44=16（条）（条）. B组组 1. “一件事情”是“组成一个四位数字号码”一件事情”是“组成一个四位数字号码”. 由由 于数字可以重复，最后一个只能在于数字可以重复，最后一个只能在05这拨个数这拨个数 字中拔，所以有号码字中拔，所以有号码1010106=6000（个）（个）. 2. (1) “一件事情”是“一件事情”是“4名学生分别参加名学生分别参加3个运动个运动 队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动队中的一个，每人限报一个，可以报同一个运动 队”队”. 应该是人选运动队，所以不同报法种数应该是人选运动队，所以不同报法种数 是是 . （2）“一件事情”是“）“一件事情”是“3个班分别从个班分别从5个景点中个景点中 选择一处游览”选择一处游览”. 应该是人选风景，故不同的选应该是人选风景，故不同的选 法种数是法种数是 . 3 5 4 3
