1、3.1.43.1.4空间向量的正交空间向量的正交 分解及其坐标表示分解及其坐标表示1211212212e eaaeee e 如果 ，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，有且只有一对实数 ， ，使 。（ 、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。）平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示xyoaijaxiy j(1,0),(0,1),0(0,0).ij复习：复习：在空间中，能得出类似的结论在空间中，能得出类似的结论:任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。一、空间向量基本定理：一、空间向量基
2、本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使, ,a b c p .pxaybzc 都叫做都叫做基向量基向量, ,a b c （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。注：注：对于对于基底基底a,b,c,除了应知道除了应知道a,b,c不共面，不共面， 还还应明确应明确： （2） 由于可视由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是它们都不是 。00（3）一个基底一
3、个基底是指一个向量组，是指一个向量组，一个基向量一个基向量是指基是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。xyzOijkQPp .OPOQzk .OQxiy j.OPOQzkxiy jzk 由此可知，如果由此可知，如果 是空间两是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一两垂直的向量，那么，对空间任一向量向量 ，存在一个有序实数组，存在一个有序实数组 x,y,z使得使得 我们称我们称 为向量为向量 在在 上的分向量。上的分向量。, ,i j k p .pxiy jzk ,xi y j zk, ,i j k p , ,i j k 特殊的： 两两垂直时这种
4、分解我们把它叫做空间向这种分解我们把它叫做空间向量的正交分解量的正交分解.二、空间直角坐标系下二、空间直角坐标系下空间向量的直角坐标空间向量的直角坐标 单位正交基底：单位正交基底：如果空间的一个基底的如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个，则这个基底叫做基底叫做单位正交基底单位正交基底,常用常用e1 , e2 , e3 表示表示xyzOA(x,y,z)e1e2e3 空间向量的直角坐标：空间向量的直角坐标： 给定一个空间坐标系和向给定一个空间坐标系和向量量 ,且设且设e1,e2,e3为坐标向量，为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯由空间向量基本定
5、理，存在唯一的有序实数组一的有序实数组(x,y, z)使使 p = xe1+ye2+ze3 有有序数组序数组( x, y, z)叫做叫做p在空间在空间直角坐标系直角坐标系O-xyz中的坐标，中的坐标，记作记作.P=(x,y,z)其中其中x叫做点叫做点A的的横坐标，横坐标，y叫做点叫做点A的的纵坐标纵坐标，z叫做点叫做点A的的竖坐标竖坐标.pC1DA1OBCxy(A)D1B1解解: (1)因为因为AB=2,BC=3,AA1=5 所以所以C1为为(3,2,5)kjiAC523)5 , 2 , 3(1从而(2)因为点因为点D1为为(3,0,5)5 , 0 , 3(1AD所以ikzijyii xikz
6、jyi xiakzjyi xa)(,那么设00, 1|2ikjijiiii同理而由于zkayjaxia,同理所以,.a ix a jy a kzaxyz 我们把分别称为向量 在 轴轴 轴正方向上的投影.,cos|,00上的投影在向量为向量称的单位向量为若一般地babaababb.标轴正方向上的投影向量的坐标等于它在坐AD1C1B1A1DCB例例2.如图如图,已知单位正方体已知单位正方体ABCD- -A1B1C1D1,求求;) 1 (1上的投影在向量CBCA1|cos|;) 1 ( :111CBCBACACBCA上的投影在向量解AD1C1B1A1DCB例例2.如图如图,已知单位正方体已知单位正方
7、体ABCD- -A1B1C1D1,求求.,)2(111上的投影在求向量且垂直于平面是单位向量BCCAAABBBC1|)cos(|)2( :111CBCBACABCCA上的投影为在向量解(1)(1)不共线的向量不共线的向量 叫做这一平面内所有向量叫做这一平面内所有向量 的一组基底的一组基底; ; 12,e e 平面向量基本定理平面向量基本定理:(4)基底给定时基底给定时,分解形式唯一分解形式唯一. 如果如果 是同一平面内的两个不共线向量是同一平面内的两个不共线向量,那么那么对这一平面内的任一向量对这一平面内的任一向量 ,有且只有一对实数有且只有一对实数 , 使使1 12 2aee12, 12,e
8、 e a(3) 任一向量任一向量 都可以沿两个不共线的方向（都可以沿两个不共线的方向（ 的的 方向）分解成两个向量（方向）分解成两个向量（ ）和的形式；）和的形式；a12,e e 1 12 2,ee说明：说明：例题讲解例题讲解空间向量运算的坐标表示Oxyz 从空间某一个定点从空间某一个定点O O引三条引三条互相垂直且有相同单位长度的互相垂直且有相同单位长度的数轴，这样就建立了空间直角数轴，这样就建立了空间直角坐标系坐标系O-xyzO-xyz点点O O叫作叫作坐标原点，坐标原点，x x，y y，z z轴统称为轴统称为坐标轴，坐标轴，这三条坐标轴中每两条确定一个坐标平面，分别这三条坐标轴中每两条确
9、定一个坐标平面，分别称为称为x xO Oy y平面、平面、 y yO Oz z平面和平面和 x xO Oz z平面平面空间直角坐标系空间直角坐标系右手系：右手系：伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四伸出右手，让四指与大拇指垂直，并使四指先指向指先指向x x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转 指向指向y y轴正方向，此时大拇指的指向即为轴正方向，此时大拇指的指向即为z z轴正向轴正向. .我们也称这样的坐标系为右手系我们也称这样的坐标系为右手系说明说明: : 本书建立的坐标系本书建立的坐标系 都是右手直角坐标系都是右手直角坐标系. .o90 xyozxoy面面y
10、oz面面zox面面空间直角坐标系共有八个卦限空间直角坐标系共有八个卦限, 则则设设123123(,),(,)aa a abb b b ababa a b /ab ab112233(,)ab ab ab112233(,)ab ab ab123(,)()aaaR 1 12233a ba ba b112233,()ab ab abR 1 12 23 30.( ,)aba ba ba b 都都不不是是零零向向量量一、向量的直角坐标运算一、向量的直角坐标运算若若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则则AB = OB- -OA=(x2,y2,z2)- -(x1,y1,z1) =(=(x2 2
11、- -x1 1 , , y2 2- -y1 1 , , z2 2- -z1 1) )空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标终点的坐标减去起点的坐标. .二、距离与夹角的坐标表示二、距离与夹角的坐标表示1. 1.距离公式距离公式（1 1）向量的长度（模）公式）向量的长度（模）公式注意：此公式的几何意义是表示长方体的对注意：此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度。角线的长度。| ABABAB AB212121(,)xxyyzz222212121()()()xxyyzz222,212121(
12、)()()A Bdxxyyzz在空间直角坐标系中，已知、在空间直角坐标系中，已知、，则，则111(,)A xyz222(,)B xyz（2）空间两点间的距离公式）空间两点间的距离公式2.2.两个向量夹角公式两个向量夹角公式注意：注意：（1）当）当 时，同向；时，同向；（2）当）当 时，反向；时，反向；（3）当）当 时，。时，。cos,1 a b与 abcos,1 a b与 abcos,0 a bab1122330aba ba ba b112233/,()abab ab abR332211/babababab行时，与三个坐标平面都不平当例例1已知已知 (2, 3,5),( 3,1, 4),|,8
13、 ,abab ab aa a b 求(2, 3,5)( 3,1, 4)(5, 4,9)ab (2, 3,5)( 3,1, 4)( 1, 2,1)ab 222| |2( 3)538a 88(2, 3,5)(16, 24,40)a (2, 3,5) ( 3,1, 4)2 ( 3) ( 3) 1 5 ( 4)29a b 解解:三、应用举例三、应用举例三、应用举例三、应用举例例例2已知、，求：已知、，求：（1）线段的中点坐标和长度；）线段的中点坐标和长度；(3,3,1)A(1,0,5)BAB解：设是的中点，则解：设是的中点，则(, )M xy zAB113()(3,3,1)1,0,52,3 ,222
14、OMOAOB点的坐标是点的坐标是.M32,32222,(13)(03)(5 1)29 .A BdOABMF1E1C1B1A1D1DABCyzxO解：设正方体的棱长为解：设正方体的棱长为1，如图建，如图建立空间直角坐标系，则立空间直角坐标系，则Oxyz13(1,1, 0) ,1,1,4BE11(0 , 0 , 0) ,0 , 1.4DF，1311,1(1,1, 0)0 ,1,44BE 例例3如图如图, 在正方体中，在正方体中，求与所成的角的余弦值，求与所成的角的余弦值.1111ABCDA B C D 11B E 11114A BD F1BE1DF1110, 1 (0,0,0)0, 1 .44DF
15、 ，1111150 01 1,4416BE DF 111717|,|.44BED F 111111151516cos,.17| |171744BE DFBE DFBEDF 证明证明: 设正方体的棱长为设正方体的棱长为1,1,.DAi DCj DDk 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系11( 1,0,0),(0, 1),2ADD F 则则11( 1,0,0) (0, 1)0.2AD D F 1.ADD F 1(0,1, ),2AE 又又111(0,1, ) (0, 1)0.22AE D F 1.AED F 又又ADAE=A,ADAE=A,1.D FADE 平平面面xyzA1D1C1B1ACBDFE:,.FAD AEAD 1 1另另证证 可可以以用用三三垂垂线线定定理理证证D D得得证证
