1、21.3实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（第（第3课时）课时）九年级上册九年级上册 列一元二次方程解决有关列一元二次方程解决有关“面积问题面积问题”的实际问题的实际问题 学习目标：学习目标：1能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二能正确利用面积关系列出关于几何图形的一元二 次方程；次方程；2进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应进一步深入体会一元二次方程在实际生活中的应 用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提用，经历将实际问题转化为数学问题的过程，提 高数学应用意识高数学应用意识 学习重点：学习重点：利用利用面积面积之间的关系之间的关系建立一元二次方程模型建立一元二次方
2、程模型，解决实解决实际问题际问题例例1、用、用22cm长的铁丝，折成一个面积长的铁丝，折成一个面积为为30cm2的矩形。求这个矩形的长与宽的矩形。求这个矩形的长与宽.整理后，得整理后，得x2-11x+30=0解这个方程，得解这个方程，得x1=5,x2=6(与题设不符，舍去与题设不符，舍去)答：这个矩形的长是答：这个矩形的长是6cm，宽是，宽是5cm。由由x1=5得得6x222 5x222 由由x2=6，得，得解：设这个矩形的长为解：设这个矩形的长为xcm，则宽为，则宽为 （cm）.根据题意，得根据题意，得x222 30)x222(x 例例2、在宽为、在宽为20米、长为米、长为32米的矩形地面上
3、，米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为耕地，要使耕地面积为分作为耕地，要使耕地面积为540米米2，道路，道路的宽应为多少？的宽应为多少？32m20m则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，32m20mx米米分析：此题的相等关系是分析：此题的相等关系是矩形面积减去道路面积等矩形面积减去道路面积等于于540米米2。解法一、解法一、如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，米，32x 米米2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 米米2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x2 米米2所列的方程是不是所列的方程是
4、不是540)2032(2032xx？图中的道路面积不是图中的道路面积不是3220 xx米米2，而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是22032xxx米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：540203220322xxx化简得，化简得，. 2,50, 010052212xxxx其中的其中的 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去.取取x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：22220232 =100 (米米2)耕地面积耕地面积=1002032= 540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2米。米。解法二：解法二： 我们利用我们利用“
5、图形经过移动，它的面图形经过移动，它的面积大小不会改变积大小不会改变”的道理，把纵、横两的道理，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）按原图的位置修路）横向路面为横向路面为 ，32m20mxmxm如图，设路宽为如图，设路宽为x米，米，32x 米米2纵向路面面积为纵向路面面积为 。20 x 米米2耕地矩形的长（横向）为耕地矩形的长（横向）为 ，耕地矩形的宽（纵向）为耕地矩形的宽（纵向）为 。相等关系是：耕地长相等关系是：耕地长耕地宽耕地宽=540米米2(20-x) 米米（
6、32-x) 米米即即.5402032xx化简得：化简得：2,50, 010052212xxxx再往下的计算、格式书写与解法再往下的计算、格式书写与解法1相同。相同。 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽，宽为为20cm,要使制成的长方形框的面积为要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个，求这个长方形框的框边宽。长方形框的框边宽。X XX X30cm30cm20cm20cm解解:设长方形框的边宽为设长方形框的边宽为xcm,依题意依题意,得得3020(302
7、x)(202x)=400整理得整理得 x2 25x+100=0解得解得 x1=20, x2=5当当x=20时时,20-2x= -20(舍去舍去);当当x=5时时,20-2x=10答答:这个长方形框的框边宽为这个长方形框的框边宽为5cm探究探究2分析分析:本题关键是如何用本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积的代数式表示这个长方形框的面积 从一块长从一块长300厘米厘米,宽宽200厘米的铁片中间截厘米的铁片中间截去一个小长方形去一个小长方形,使剩下的长方形方框四周的宽使剩下的长方形方框四周的宽度都一样度都一样,并且小长方形的面积是原来面积的一并且小长方形的面积是原来面积的一半半,求这个
8、宽（求这个宽（只列方程，不解方程只列方程，不解方程）问题问题4回顾前面几节课的学习内容，你能总结一回顾前面几节课的学习内容，你能总结一下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？下建立一元二次方程模型解决实际问题的基本步骤吗？需要注意哪些问题？需要注意哪些问题？4归纳小结归纳小结有关面积问题：有关面积问题：常见的图形有下列几种：常见的图形有下列几种：教科书复习题教科书复习题 21 第第 8 题题5布置作业布置作业 1. 用一根长用一根长22厘米的铁丝，能否折成厘米的铁丝，能否折成一个面积是一个面积是30厘米的矩形？能否折成一个厘米的矩形？能否折成一个面积为面积为32厘米的矩形？说明理由。厘
9、米的矩形？说明理由。当堂训练如图，是宽为如图，是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?分析：分析： 我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实
10、际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米，得得(322 )(20)570 xx035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.32-2X20 -X（2013上海）上海）如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四四周外围环绕着宽度相等的小路周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积已知小路的面积为为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则20
11、15246)215)(220(xx化简得，化简得，01233522xx0)412)(3(xx不合题意，舍去）(241, 321xx答答:小路的宽为小路的宽为3米米.21.3实际问题与一元二次方程实际问题与一元二次方程（第（第4课时）课时）九年级上册九年级上册几何与方程5xx xx （82x）（52x）8 例例1：一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，：一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为它的长为8cm，宽为，宽为5cm如果镜框中央长方形图案的如果镜框中央长方形图案的面积为面积为18cm2 ，则花边多宽，则花边多宽?解：设镜框的宽为xcm ，则镜框中央长方形图案的长为cm, 宽为c
12、m,得 （82x）（52x）m2 宽为cm,得(8 2x) (5 2x) = 18镜框有多宽? 一块四周镶有宽度相等的花边的镜框如下图，它的长为8cm，宽为5cm如果镜框中央长方形图案的面积为18cm2 ，则镜框多宽?解：设镜框的宽为xcm ，则镜框中央长方形图案的长为cm, （8-2x）（5-2x）例1.即2X2 13 X 110解得X11， X25.5(不合题意)答:镜框的宽为1cm.审设答解列1.如图，用长为如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m2,应该应该怎么设计怎么设计?解解:
13、设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则另一边长为另一边长为（18-x18-x）mm,得得81)18( xx化简得，化简得，081182xx0)9(2 x答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的正方形.921xx如图，是宽为如图，是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修筑要修筑同样宽的三条道路同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相垂且互相垂直直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试验要使试验地的面积为地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，
14、米，得得(322 )(20)570 xx035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.32-2X20 -X（2013上海）上海）如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四四周外围环绕着宽度相等的小路周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积已知小路的面积为为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则2015246)215)(220(xx化简得，化简得，01233522xx0)412)(3(xx不合题意，舍去）(
15、241, 321xx答答:小路的宽为小路的宽为3米米.例2如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米.求截去正方形的边长。 x解：设截去正方形的边长 厘米，则图中虚线部分长等于_厘米，宽等于_厘米60-240-2800 xx 依题意得：1210, 40 xx解得：240, 1 , . 0 xx不合题意 应舍去经检验答：截去正方形的边长为10厘米。 60 2x40-2x 例3. 如图，在长为40米，宽为22米的矩形地面上，修筑两条同样宽的互相垂直的道路，余下的铺上草坪，要使草坪的面积为760平方
16、米，道路的宽应为多少？40米22米例例4 学校要建一个面积为学校要建一个面积为150150平方米的长方形自平方米的长方形自行车棚，为节约经费，一边利用行车棚，为节约经费，一边利用1818米长的教学楼米长的教学楼后墙，另三边利用总长为后墙，另三边利用总长为3535米的铁围栏围成，求米的铁围栏围成，求自行车棚的长和宽自行车棚的长和宽. .解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为解：设与教学楼后墙垂直的一条边长为x米，则与教学米，则与教学楼后墙平行的那条边长为楼后墙平行的那条边长为(35 2x)米，根据题意，得米，根据题意，得 x(35 2x) 150解得解得 当当 时，时，35 2x 20 18不合题意
17、，舍去；不合题意，舍去；当当x 10时，时，35 2x 15. 符合题意符合题意.答：自行车棚的长和宽分别为答：自行车棚的长和宽分别为15米和米和10米米.1215,10.2xx152x 3. (2003年,舟山)如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为x米，面积为S米2，（1）求S与x的函数关系式;（2）如果要围成面积为45米2的花圃，AB的长是多少米？【解析】(1)设宽AB为x米，则BC为(24-3x)米，这时面积S=x(24-3x)=-3x2+24x(2)由条件-3x2+24x=45化为：x2-8x+15=0解
18、得x1=5，x2=3024-3x10得14/3x8x2不合题意，AB=5，即花圃的宽AB为5米列一元二次方程解应题 18米2米4、如图，有一面积是、如图，有一面积是150平方米的长方形鸡场，鸡场的平方米的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长一边靠墙（墙长18米），墙对面有一个米），墙对面有一个2米宽的门，另三米宽的门，另三边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长边（门除外）用竹篱笆围成，篱笆总长33米求鸡场的米求鸡场的长和宽各多少米？长和宽各多少米？回味无穷 列方程解应用题的一般步骤是: 1.审:审清题意:已知什么,求什么?已,未知之间有什么关系? 2.设:设未知数,语句要完整,有单位(同一)的要注明单位; 3.列:列代数式,列方程; 4.解:解所列的方程; 5.验:是否是所列方程的根;是否符合题意; 6.答:答案也必需是完事的语句,注明单位且要贴近生活. 列方程解应用题的关键是: 找出相等关系. 关于两次平均增长(降低)率问题的一般关系: a(1x)2=A(其中a表示基数,x表表示增长(或降低)率,A表示新数)小结 拓展
