1、湖北省湖北省 20222022 届高三下学期届高三下学期 4 4 月调研（二模）月调研（二模） 数学试题数学试题 一、选择题本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1设21 ,230Ax xBx xx ，则RAB（ ） A1x x B11xx C1xxx D13xx 2若复数 z 的满足1 2i34iz (i是虚数单位)，则复数 z的实部是（ ） A1 B2 Ci D2i 3函数( )cos()0,|2f xx的部分图象如图所示，则函数( )f x的解析式是（ ） A( )cos6f xx B( )cos6f xx C( )cos
2、 26f xx D( )cos 26f xx 4已知平行四边形ABCD中，3,6,2,2ABADECDE FCBFuuu ruuu r uuu ruuu r，则EF ACuuu r uuu r（ ） A9 B9 C18 D18 5已知212nxnNx的展开式中各项的二项式系数之和为 64，则其展开式中3x的系数为（ ） A160 B160 C60 D60 6在四棱锥PABCD中，PA平面,2ABCD AP ，点 M是矩形ABCD内（含边界）的动点，且1,3ABAD，直线PM与平面ABCD所成的角为4记点 M的轨迹长度为，则tan（ ） A33 B1 C3 D2 7已知1F、2F是双曲线2222
3、:1(0,0)xyCabab的左，右焦点，过1F的直线 l与双曲线 C 交于 M，N 两点，且11223,FNFM F MF Nuuuu ruuuu r，则 C 的离心率为（ ） A2 B5 C7 D3 8已知函数( )lg(| 1)22xxf xx，则使不等式(1)(2 )f xfx成立的 x的取值范围是（ ） A, 1(),)1 ( B( 2, 1) C1,(1,)3 U D(, 2)(1,) U 二、选择题本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分 9已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（ ） A甲组数据的极差大于乙组数据的极差 B若
4、甲，乙两组数据的平均数分别为12,x x，则12xx C若甲，乙两组数据的方差分别为2212,ss，则2212ss D甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数 10定义空间两个非零向量的一种运算：| sin,aba ba brrrrr r，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（ ） A()()ababrrrr Babbarrrr C若0abrr，则abrr D| |aba brrrr 11设动直线:230()l mxymmR交圆22:(4)(5)12Cxy于 A，B两点（点 C为圆心） ，则下列说法正确的有（ ） A直线 l过定点(2,3) B当|AB取得最小值时，1m C当ACB最小时，
5、其余弦值为14 DAB ACuu u r uuu r的最大值为 24 12 在棱长为 1 的正方体1111ABCDABC D中， 已知E为线段1BC的中点， 点F和点P分别满足111DFDCuuuu ruuuur，11D PD Buuuu ruuuu r，其中，0，1，则（ ） A当12时，三棱锥PEFD的体积为定值 B当12时，四棱锥PABCD的外接球的表面积是94 C若直线CP与平面ABCD所成角的正弦值为23，则13 D存在唯一的实数对( , ) ，使得DP 平面EFP 三、填空题三、填空题 13若随机变量23,XN:，且50.2P X ，则15PX等于_ 14九连环是我国从古至今广泛流
6、传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜用na表示解下9,n nnN个圆环所需的最少移动次数若11a ，且122,21 ,nnnanaan为奇数为偶数则解下 6 个圆环所需的最少移动次数为_ 15已知函数( )ln(1), ( )lnf xxxg xxx，若 21212ln ,f xt g xt ，则122lntx xx的最大值为_ 四、双空题四、双空题 16设抛物线22(0)ypx p的焦点为 F，准线为 l，过第一象限内的抛物线上一点 A 作 l的垂线，垂足为B设(2 ,0),CpAF与BC相交于点 D若| |CFAF，且ACD的面积为922，则直线AC的斜率k _，抛物线的方程
7、为_ 五、解答题五、解答题 17如图，在平面四边形ABCD中，,1,3,2ABAD ABADBC (1)若2CD ，求sinADC； (2)若45C，求四边形ABCD的面积 18已知正项等差数列 na满足：33nnaanN，且1382 ,1,a aa成等比数列 (1)求 na的通项公式； (2)设1121212nnnanaac，nR是数列 nc的前 n项和， 若对任意nN均有nR恒成立， 求的最小值 19某企业使用新技术对某款芯片进行试生产，在试产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分
8、别为123111,1098PPP (1)求该款芯片生产在进人第四道工序前的次品率； (2)如果第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行人工抽查检验在芯片智能自动检测显示合格率为 90%的条件下，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率 20如图在斜三棱柱111ABCABC中，1112,60AAABACBCAAC，侧面11ACC A 底面ABC，点 M，N分别为1,AB BC的中点，点 D 为线段AC上一点，且13ADAC (1)求证：/ /AM平面1ADN； (2)求二面角MANC的正弦值 21在平面直角坐标系中xOy，椭圆2222:
9、1(0)xyCabab的离心率为32，点13,2在椭圆 C上 (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P，Q为椭圆上异于 A，B 的两动点，记直线AP的斜率为1k，直线QB的斜率为2k，已知127kk 求证：直线PQ恒过 x 轴上一定点； 设PQB和PQA的面积分别为12,S S，求12SS的最大值 22已知函数( )e1, ( )(ln)xf xxg xaxx (1)若不等式( )( )f xg x恒成立，求正实数 a 的值； (2)证明：2e(2)ln2sinxxxxx 1 页 参考答案：参考答案： 1B 2A 3D 4D 5B 6C 7C 8D 9B
10、D 10BD 11AD 12ABC 130.6#35 1464 16 2 24 3yx 17 (1) 连接BD，在RtABD中，222BDABAD， 且3tan3ABADBAD，0,2ADB，所以6ADB 在BCD中，由余弦定理得2224423cos22 2 24BDCDBCBDCBD CD ， 所以237sin144BDC 所以7331213sinsinsincoscossin66642428ADCBDCBDCBDC 2 页 (2) 在BCD中，由余弦定理得2222cos4BDCDBCCD BC， 即2220CDCD，解得13CD 或13CD （舍去） ， 所以四边形ABCD的面积为111s
11、in32242ABCDABDBCDSSSAB ADBC CDVV 18 (1) 解：设等差数列的公差为d，由33nnaa得11(31)3(1)andand，则1ad， 所以1(1)naandnd 因为12a、31a 、8a成等比数列，所以231812aa a，即2(31)28ddd， 所以27610dd ，解得1d 或17d ， 因为 na为正项数列，所以0d ，所以1d ，所以nan (2) 解：由（1）可得1111122112121212121212nnnannnnaannc， 所以1223111111111122121212121212312nnnnRL， 因为对任意nN均有23nR ，
12、所以23，所以实数的最小值为23 19 (1) 解：因为前三道工序的次品率分别为123111,1098PPP， 所以该款芯片生产在进入第四道工序前的次品率为 3 页 123987311111109810PPPP (2) 解：设该款芯片智能自动检测合格为事件A，人工抽检合格为事件B， 由已知得9( )10P A ，37()111010P ABP ， 记工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件B A， 所以 71071099P ABP B AP A 20 (1) 连接CM交AN于 G，连接DG 因为 M，N 分别为1,AB BC的中点，所以点 G 为1ACBV的重心， 所以2CGG
13、M，又2CDDA，所以AMDG， 因为AM 平面1,ADN DG 平面1ADN， 所以AM/平面1ADN (2) 在平面11ACC A内作1AOAC于点 O 因为1112,60AAAAC，所以1cos606AOAA， 则点 O 为AC中点，所以BOCO 因为侧面11ACC A 底面ABC，而侧面11ACC A I底面ABCAC， 11,AOAC AO侧面11ACC A，所以1AO 底面ABC， 所以1,OB OC OA两两垂直 以 O 为坐标原点，1,OB OC OA为, ,x y z轴建立如图所示的空间直角坐标系 4 页 则1(0, 6,0), (0,6,0), (6 3,0,0),(0,0
14、,6 3)ACBA， 因为 M，N 分别为1,AB BC的中点，所以(3 3,0,3 3),(3 3,3,0)MN 设( , , )nx y zr为平面AMN的一个法向量，(3 3,6,3 3),(3 3,9,0)AMANuuuu ruuu r， 则0,0,n AMn AN uuuu vvuuu vv即3 363 30,3 390,xyzxy取1z 得(3,3,1)n r 又(0,0,1)m u r为平面ANC的一个法向量，所以1cos,| |13n mn mnm r u rr u rru r， 所以12 39sin,11313n m r u r， 故二面角MANC的正弦值2 3913 21
15、(1) 由题意可得222223,2311,4,caababc解得2241ab，所以椭圆 C 的方程为2214xy (2) 方法一：第三定义转化 依题意，点( 2,0), (2,0)AB，设1122,P x yQ xy， 因为若直线PQ的斜率为 0，则点 P，Q 关于 y 轴对称，必有APBQkk ，不合题意 所以直线PQ斜率必不为 0，设其方程为(2)xtyn n ，与椭圆 C 联立2244xyxtyn 5 页 整理得：2224240tymyn， 所以222244440t ntn，且12221222,44.4tnyytny yt 因为点11,P x y是椭圆上一点，即221114xy， 所以2
16、1211122111111422444APBPxyyykkxxxx ， 所以174APBQBPkkk ，即281BPBQkk 因为1212122212121212282828282222(2)(2)BPBQy yy yy ykkxxtyntynt y yt nyyn 2222222222228428(2)28(2)714414(2)24(2)2(2)42(2)(2)44nnnntnntntnt nntt n nntt ， 所以32n ，此时2221644 470tnt， 故直线PQ恒过 x轴上一定点3,02D 方法二：非对称韦达 依题意，点( 2,0), (2,0)AB，设1122,P x y
17、Q xy 因为若直线PQ的斜率为 0，则点 P，Q 关于 y 轴对称，必有APBQkk ，不合题意 所以直线PQ斜率必不为 0，设其方程为(2)xtyn n ，与椭圆 C 联立得：2244xyxtyn 所以整理得：2224240tytnyn， 所以222244440t ntn，且12221222,44,4tnyytny yt 依题意，7APBQkk，即2121121121212222(2)722(2)APBQxytynykty ynykxytynyty yny 算法 1：和积关系转化法 因为2121242nty yyyn， 6 页 所以212112112121221221224(2)(2)2(
18、2)22274(2)2(2)22(2)2nyynynyynyty ynynnnnty ynynnyynynyynyn， 所以解得：32n 算法 2：韦达定理代入消元 因为12224tnyyt ， 所以2222221212122222242(2)(2)(2)(2)24447(2)(2)24(2)(2)44t ntntnnynyty ynyntttt nty ynynt nnynytt， 所以解得：32n 方法三：分设两线再联立 依题意，点( 2,0), (2,0)AB，设( 2,0), (2,0)AB，设1122,P x yQ xy，并设直线1:2AP xt y，直线2:2BQ xt y， 因为
19、联立直线AP与椭圆 C 得：122244xt yxy 所以整理得：2211440tyt y，解得：112144tyt 因为联立直线BQ与椭圆 C 得：222244xt yxy 所以整理得：2222440tyt y，解得：222244tyt 因为7APBQkk，且211211,7APBQkktttt，此时21222214284494ttytt ， 设直线PQ与 x 轴交于点0,0D x，则由 P，D，Q 三点共线易知102012xxxxyy， 22111221121221220121212222t yyt yytty yyyx yx yxyyyyyy 2111112222211111211122
20、11112428724494449412 74328 744284494ttttttttttttttt ， 即线段PQ过点3,02D 7 页 由得21212222347,4444tnyyy yttt ， 所以12121212131332222222SSyyyyyy 221212233 47424tyyy yt 2222222244949323394244344ttttt （当且仅当23243t即212t 时等号成立） ， 所以12SS的最大值为 2 22 (1) 令( )( )( )e(ln) 1xh xf xg xxaxx， 则(1)e1( )(1)e1(0)xxxxah xxaxxx， 设
21、( )e(0)xxxa a，则( )(1)e0 xxx对任意0 x 恒成立， 所以( )x在(0,)上单调递增， 又(0)0, ( )ec10aaaaaa ，存在唯一实数00(0, ),0 xax， 所以当00,xx时，(1)( )( )0, ( )xxh xh xx单调递减； 当0,xx时，(1)( )( )0, ( )xxh xh xx单调递增； 所以00mi00n0( )eln1xh xh xxa xx 因为0000e0 0 xg xxaxa，所以0exxa，且00lnln (0)xxa a 所以min( )ln10h xaaa ，设( )ln1(0)F aaaaa， 因为( )1 (1
22、 ln )lnF aaa ，所以( )F a在(0,1)上单调递增，(1,)上单调递减 所以( )(1)0F aF，而依题意必有( )0F a ，所以( )0F a ，此时1a ， 所以若不等式( )( )f xg x恒成立，则正实数a的值为 1 (2) 方法一：借助第（1）问结论 8 页 由（1）得，当1a 时，( )e(ln )1xf xxxx对任意0 x 恒成立 所以(0,), eln1xxxxx ， （当且仅当1x 时等号成立） ， 则22eln(0)xxxxxx x 所以要证明2e(2)ln2sin (0)xxxxx x，只需证2ln(2)ln2sin (0)xxxxxxx x， 即
23、证22ln2sin (0)xxxx x 设( )ln1xxx，则11( )1(0), ( )xxxxxx 在(0,1)上单调递增，(1,)上单调递减 所以(0,), ( )(1)0 xx ，即ln1(0)xxx 所以只需证22(1)2sinxxxx，即证222sinxxx 当1x 时，22(1)222sinxxx xx，不等式成立 当01x时，2217772,2sin2sin12sin324434xxxx，不等式成立 所以22e32(2)ln2sin (0)xxxxxxx x，证毕， 方法二：分别放缩 设( )sinxxx，则( )1 cos0 xx 恒成立，( )x在(0,)上单调递增， (0,), ( )(0)0 xx ，所以sin (0)xx x 设( )ln1xxx，则11( )1(0), ( )xxxxxx 在(0,1)上单调递增，(1,)上单调递增， (0,), ( )(1)0 xx ，所以ln1(0)xxx，所以lnee1xx，即e1xx 所以当,()0 x时，2(2)ln2sin(2)(1)232xxxxxxxx 又因为2222e32(1) (1)2(1)(1) (2)0 xxxxxxx xxxx， 所以22e32(2)ln2sin (0)xxxxxxx x
