1、小结与复习九年级数学下（BS） 教学课件第一章 直角三角形的边角关系要点梳理考点讲练课堂小结课后作业要点梳理要点梳理一、锐角三角函数1.如图所示，在RtABC中，C90，a，b，c分别是A，B，C的对边(2)A的余弦：的余弦：cosA；(3)A的正切：的正切：tanA.2.梯子的倾斜程度与tanA、sinA和cosA的关系：tanA的值越大,梯子越陡;sinA的值越大,梯子越陡;cosA的值越小,梯子越陡.3.锐角三角函数的增减性：当角度在090之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _ ； 余弦值随着角度的增大（或减小）而 _ .增大（或减小）减小（或增大）30，45，60角的
2、三角函数值 锐角三角函数304560sin cos tan 12二、特殊角的三角函数合作探究1.解直角三角形的依据(1)在RtABC中，C90，a，b，c分别是A，B,C的对边三边关系： ；三角关系： ；边角关系：sinAcosB，cosAsinB ，tanA，tanB.a2b2c2A90B三、解直角三角形=ab=ba(2)直角三角形可解的条件和解法条件：解直角三角形时知道其中的2个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的3个未知元素解法：一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；知两边：先用勾股定理求
3、另一边，再用边角关系求锐角；斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题1.利用计算器求三角函数值第二步：输入角度值，屏幕显示结果.（有的计算器是先输入角度再按函数名称键）第一步：按计算器 、 、 键，sintancos四、锐角三角函数的计算2.利用计算器求锐角的度数还可以利用 键，进一步得到角的度数.第二步：然后输入函数值屏幕显示答案（按实际需要进行精确）第一种方法：2nd F第一步：按计算器 、 、 键，2nd Fsincostan第一步：按计算器 键，2nd F第二种方法：第二步：输入锐角函数值屏幕显示答案（按实际需要选取精确值）.1.仰角和俯角铅直线水平线视线视线仰角俯角在
4、进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.五、三角函数的应用 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于900的角,叫做方向角.如图所示：3045BOA东西北南2.方向角4545西南O东北东西北南西北东南lh h : l（1）坡角坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 .（2）坡度（或坡比） 坡度通常写成1 m的形式，如1 6. 如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）,即 hl（3）坡度与坡角的关系tanhl坡度等于坡角的正切值坡面水平面3.坡角利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：（
5、1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；（3）得到数学问题的答案；（4）得到实际问题的答案ACMN(1)在测点A安置测倾器，测得M的仰角MCE=；E (2)量出测点A到物体底部N的水平距离AN=l；(3)量出测倾器的高度AC=a，可求出MN的高度.MN=ME+EN=ltan+a1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤：六、利用三角函数测高2.测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？(1)在测点A处安置测倾器，测得此时M的仰角MCE=；ACBDMNE(2)在测点A与物体之间的B处安置测倾器，测得此时M的仰角M
6、DE=；(3)量出测倾器的高度AC=BD=a，以及测点A,B之间的距离AB=b.根据测量数据,可求出物体MN的高度.,tantanMEMEb MNMEa考点一 求三角函数的值考点讲练考点讲练例1 在ABC中，C90，sinA ，则tanB() A. B. C. D.【解析】 根据sinA ，可设三角形的两边长分别为4k,5k，则第三边长为3k，所以tanB 45433435454533.44kkB针对训练1.如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，则ABC的正弦值是_.552.用计算器求下列各式的值：（1）cos6317_；（2）tan27.35_；（3）sin39576
7、_0.450.520.643.已知sin=0.2，cos=0.8，则+=_（精确到1）4824考点二 特殊角的三角函数值例2 【解析】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值解：原式(1) tan30cos45tan60(2) tan30 tan60 cos2304. 计算：3333474323324 3232针对训练考点三 解直角三角形例3.如图，在ABC中，C90，点D在BC上，BD4，ADBC，cosADC= ，求：（1）DC的长；（2）sinB的值53【分析】题中给出了两个直角三角形，DC和sinB可分别在RtACD和ABC中求得，由ADBC，图中CDBCBD，由此可列方程求
8、出CDABCD解:(1)设CDx，在RtACD中，cosADC= ,又 BCCDBD，解得x=6，CD=6.ABCD3535,.53xADxAD5,3ADBCBCx543xx，(2) BC=BD+CD=4+6=10=AD在在RtACD中中在在RtABC中中22221068,ACADCD2264 100 2 41ABACBC8441sin41241ACBABABCD5.如图所示，在RtABC中，C90，AC .点D为BC边上一点，且BD2AD，ADC60.求ABC的周长(结果保留根号).针对训练3解：在RtADC中，BD2AD4.BCBDDC5.在RtABC中，ABC的周长ABBCAC考点四 三
9、角函数的应用例4 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼AB的高度小刚在D处用高1.5 m的测角仪CD，测得教学楼顶端A的仰角为30，然后向教学楼前进40 m到达EF，又测得教学楼顶端A的仰角为60.求这幢教学楼AB的高度 【分析】 设CF与AB交于点G，在RtAFG中，用AG表示出FG，在RtACG中，用AG表示出CG，然后根据CGFG40，可求AG.解：设CF与AB交于点G，在RtAFG中，tanAFG ，FG在RtACG中，tanACG ，又CGFG40，AG ，AB 答：这幢教学楼AB的高度为20 3(20 31.5)(m).(20 31.5)m.6.如图某人站在楼顶观测对面的笔
10、直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离（即CE的长）为8米，测得旗杆顶的仰角ECA为30，旗杆底部的俯角ECB为45 ，则旗杆AB的高度是多少米?CABDE解：如图在RtACE和RtBCE中ACE=30，EC=8米tanACE= ,tanECB=即：AE=8tan30= （米）EB=8tan45=8（米）AE+EB=(8+ )米AEECEBEC8338 33针对训练锐角三角函数特殊角的三角函数解直角三角形简单实际问题cabABC课堂小结课堂小结小结与复习九年级数学下（BS） 教学课件第二章 二次函数要点梳理考点讲练课堂小结课后作业一、二次函数的定义要点梳理要点梳理1一般地，如果yax2bxc(
11、a，b，c是常数，a0)，那么y叫做x的二次函数特别地，当a0，bc0时，yax2是二次函数的特殊形式2二次函数的三种基本形式(1)一般式：yax2bxc(a，b，c是常数，a0)；(2)顶点式：ya(xh)2k(a0)，由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标是(h，k)；(3)交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标二次函数y=a(x-h)2+k yax2bxc开口方向对称轴顶点坐标最值a0a0增减性a0a0a0 开口向上a 0 开口向下x=h(h , k)y最小=ky最大=k在对称轴左边,x y ;在对称轴右边, x y 在对称轴左边,x y ;在对
12、称轴右边, x y2bxa24(,)24bacbaay最小=244acbay最大=244acba二、二次函数的图象和性质三、二次函数yax2bxc的图象特征与系数a，b，c的关系 项目字母 字母的符号图像的特征aa0开口向上a0开口向下bb0对称轴为y轴ab0(a与b同号)对称轴在y轴左侧ab0(a与b异号)对称轴在y轴右侧cc0经过原点c0与y轴正半轴相交c0与y轴负半轴相交b24acb24ac0与x轴有唯一交点(顶点)b24ac0与x轴有两个交点b24ac0与x轴没有交点四、二次函数图象的平移任意抛物线ya(xh)2k可以由抛物线yax2经过平移得到，具体平移方法如下：五、二次函数表达式的
13、求法1一般式：yax2bxc (a 0)若已知条件是图象上三个点的坐标，则设一般式yax2bxc(a0)，将已知条件代入，求出a，b，c的值2顶点式：ya(xh)2k(a0)若已知二次函数的顶点坐标或对称轴方程与最大值或最小值，则设顶点式ya(xh)2k(a0)，将已知条件代入，求出待定系数的值，最后将解析式化为一般式3交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐标，则设交点式ya(xx1)(xx2)(a0)，将第三点的坐标或其他已知条件代入，求出待定系数a的值，最后将解析式化为一般式六、二次函数与一元二次方程的关系 二次函数yax2bxc的图象和x轴交点有三
14、种情况:有两个交点,有一个交点,没有交点.当二次函数yax2bxc的图象和x轴有交点时,交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2bxc=0的根.二次函数yax2bxc的图象和x轴交点一元二次方程ax2bxc=0的根一元二次方程ax2bxc=0根的判别式（b2-4ac）有两个交点有两个交点有两个相异的实数根有两个相异的实数根b b2 2-4-4acac 0 0有一个交点有一个交点有两个相等的实数根有两个相等的实数根b b2 2-4-4acac = 0 = 0没有交点没有交点没有实数根没有实数根b b2 2-4-4acac 0 0七、二次函数的应用2一般步骤：(1)找出问题中的
15、变量和常量以及它们之间的函数关系；(2)列出函数关系式，并确定自变量的取值范围；(3)利用二次函数的图象及性质解决实际问题；(4)检验结果的合理性，是否符合实际意义1二次函数的应用包括以下两个方面 (1)用二次函数表示实际问题变量之间的关系，解决最大化问题(即最值问题)； (2)利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根及一元二次不等式的解集考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值考点讲练考点讲练例1 抛物线yx22x3的顶点坐标为_【解析】方法一： 配方，得yx22x3(x1)22，则顶点坐标为(1,2)方法二： 代入公式 ， ，则顶点坐标为(1,2)2122 1bxa2244 1 3 2244
16、1ac bya (1,2)1对于y2(x3)22的图象下列叙述正确的是()A顶点坐标为(3,2) B对称轴为y3C当x3时，y随x的增大而增大 D当x=3时，y取最大值，为2C针对训练考点二 二次函数的增减性例2 二次函数yx2bxc的图象如图所示，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图象上，且x1x21，则y1与y2的大小关系是() A. y1y2 By1y2【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是直线x1，当x1时，y随x的增大而增大x1x21，y1y2 . 故选B.B 当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小：(1)用含有未知字母的代
17、数式表示各函数值，然后进行比较；(2)在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；(3)根据二次函数的性质，结合函数图象比较.方法总结针对训练2.下列函数中，当x0时，y值随x值增大而减小的是（ ） A. y=x2 B.y=x-1 C. D.y=-3x2 34yxD针对训练例3 如图是二次函数y=ax2+bx+c(a0)图象的一部分，x=-1是对称轴，有下列判断：b-2a=0；4a-2b+cy2.其中正确的是 （ ）23A B C DxyO2x=-1B考点三 二次函数 yax2bxc(a0)的图象与 系数a，b，c的关系3.已知二次函数y=x22bxc，当x1时，y的值随x值的增大而减
18、小，则实数b的取值范围是（ ） Ab1 Bb1 Cb1 Db1解析：二次项系数为10，抛物线开口向下，在对称轴右侧，y的值随x值的增大而减小，由题设可知，当x1时，y的值随x值的增大而减小，抛物线y=x22bxc的对称轴应在直线x=1的左侧而抛物线y=x22bxc的对称轴 ，即b1，故选择D .22 ( 1)bxb D针对训练针对训练考点四 抛物线的几何变换例4 将抛物线yx26x5向上平移 2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线表达式是()Ay(x4)26 By(x4)22Cy(x2)22 Dy(x1)23【解析】因为yx26x5(x3)24，所以向上平移2个单位长度，再向右平
19、移1个单位长度后，得到的表达式为y(x31)242，即y(x4)22.故选B.B4.若抛物线 y=7(x+4)21平移得到 y=7x2，则必须（ ）A.先向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.先向右平移4个单位，再向上平移1个单位C.先向左平移1个单位，再向下平移4个单位D.先向右平移1个单位，再向下平移4个单位B针对训练考点五 二次函数表达式的确定例5:已知关于x的二次函数,当x=1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的表达式.待定系数法解：设所求的二次函数为yax2+bxc, 由题意得：104427abcabcabc，解得, a=2,b=3,c
20、=5. 所求的二次函数表达式为y2x23x5.5.已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状相同,顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5,请写出满足此条件的抛物线的表达式.解:抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=x23x+7的形状 相同 a=1或1. 又顶点在直线x=1上,且顶点到x轴的距离为5, 顶点为(1,5)或(1,5). 所以其解析式为: (1) y=(x1)2+5 (2) y=(x1)25 (3) y=(x1)2+5 (4) y=(x1)25针对训练例6 若二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3，则关于x的方程x2+mx=7的解为（）Ax1=0，x2=6Bx1
21、=1，x2=7Cx1=1，x2=7 Dx1=1，x2=7【解答】二次函数y=x2+mx的对称轴是x=3， =3，解得m=6， 关于x的方程x2+mx=7可化为x26x7=0， 即(x+1)(x7)=0，解得x1=1，x2=7 故选D2m考点六 二次函数与一元二次方程D例7如图，梯形ABCD中，ABDC，ABC90，A45，AB30，BCx，其中15x30.作DEAB于点E，将ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G.(1)用含有x的代数式表示BF的长；(2)设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式；(3)当x为何值时，S有最大值？并求出这个最大值考点七 二次函数的应用解：（
22、1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x,AB=30.BF=2x-30.（2）F=A=45，CBF=ABC=90，BGF=F=45，BG=BF=2x-30.所以SDEF-SGBF= DE2- BF2= x2- (2x-30)2= x2+60 x-450.1212121232（3）S= x2+60 x-450= (x-20)2+150.a= 0,152030，当x=20时，S有最大值， 最大值为150.3232326. 某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元)符合一次函数ykxb，且x65时，y5
23、5；x75时，y45.(1)求一次函数的表达式；(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润，最大利润是多少元？解：(1)根据题意，得65557545kbkb解得k=-1,b=120.故所求一次函数的表达式为y=-x+120.(2)W=(x-60)(-x+120)=-x2+180 x-7200=-(x-90)2+900,抛物线的开口向下， 当x90时，W随x的增大而增大，而60 x60（1+45%），即60 x87,当x=87时，W有最大值，此时W=-(87-90)2+900=891.考点八 二次函数与几何的综合例8 如图，在平面
24、直角坐标系中，点A在抛物线y=x2-2x+3上运动过点A作ACx轴于点C，以AC为对角线作矩形ABCD，连接BD，则对角线BD的最小值为（）A1 B2 C3 D4B7.如图，抛物线y=x2+bx+c经过点（1，-4）和（-2，5），请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；解：（1）由题意，得解得所以，该抛物线的解析式为y=x2-2x-3；14,42 +5,bcb c 2,-3.bc （2）若抛物线与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C在该抛物线上是否存在点D，使得ABC与ABD全等？若存在，求出D点的坐标；若不存在，请说明理由.（2）抛物线y=x2-2x-3的对称轴为x=1，图中点C关于x=
25、1的对称点D即为所求，此时，AC=BD，BC=AD，在ABC和BAD中，ABC BAD（SSS）在y=x2-2x-3中，令x=0，得y=-3，则C（0，-3），D（2，-3）,ABBAACBDBCAD 二次函数图象画法抛物线开口方向抛物线的顶点坐标和对称轴二次函数的性质抛物线的平移最值 确定 解析式 应用课堂小结课堂小结小结与复习九年级数学下（BS） 教学课件第三章 圆要点梳理考点讲练课堂小结课后作业一、圆的基本概念及性质1.定义:平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.2.有关概念:(1)弦、直径(圆中最长的弦)(2)弧、优弧、劣弧、等弧(3)弦心距O要点梳理要点梳理3.不在同一
26、条直线上的三个点确定一个圆.二、点与圆的位置关系A AB BC C点与圆的位置关系点到圆心的距离d与圆的半径r之间的关系点在圆外点在圆上点在圆内O Od dr rd dr rd=rd=rd dr r三、圆的对称性1.圆是轴对称图形,经过圆心的每一条直线都是 它的对称轴.圆有无数条对称轴.2.圆是中心对称图形,并且绕圆心旋转任何一 个角度都能与自身重合,即圆具有旋转不变性.3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦也相等 4.4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、 两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等OABCDMAM=BM, 若 CD是直径 CDAB可
27、推得AC=BC, AD=BD. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.四、垂径定理及推论垂径定理的逆定理CDAB,n由 CD是直径 AM=BM可推得AC=BC, AD=BD. OCD AB平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.M定义:顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.OABC五、圆周角和圆心角的关系BAC= BOC12OBADEC推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.ADB与AEB 、ACB 是同弧所对的圆周角ADB=AEB =ACB推论：直径所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是圆的直径.O
28、ABC推论：圆的内接四边形的对角互补.六、直线和圆的位置关系直线与圆的位置关系圆心与直线的距离d与圆的半径r的关系直线名称直线与圆的交点个数相离相切相交ldr0切线dr2drd=r1割线七、切线的判定与性质1.切线的判定一般有三种方法：a.定义法：和圆有唯一的一个公共点b.距离法： d=rc.判定定理：过半径的外端且垂直于半径2.切线的性质圆的切线垂直于过切点的半径.切线长定理： 从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.切线长： 从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.3.切线长及切线长定理八、三角形的内切圆及内心1.与三角形各
29、边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2.三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.3.三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.ACIDEF三角形的内心到三角形的三边的距离相等.重要结论2Sra b c ；只适合于直角三角形2abcr问题1OCDABM半径R圆心角弦心距r弦a圆心中心角ABCDEFO半径R边心距r中心类比学习圆内接正多边形外接圆的圆心正多边形的中心外接圆的半径正多边形的半径每一条边所对的圆心角正多边形的中心角弦心距正多边形的边心距M九、圆内接正多边形概念1.正n边形的中心角=CDOBEFAP360n3.正n边形的边长a，半径R，边心距r之间的关系：aRr222( ) .2aRr4.边长
30、a，边心距r的正n边形面积的计算：11.22Snarlr其中l为正n边形的周长.2.正多边形的内角=(2)180nn计算公式?S?l?B?A?O（1）弧长公式：）弧长公式：（2）扇形面积公式：）扇形面积公式： 180n Rl 213602n RSlR十、弧长及扇形的面积考点一 圆的有关概念及性质例1 如图，在 O中，ABC=50，则CAO等于（）A30B40C50D60B例2 在图中，BC是O的直径，ADBC,若D=36,则BAD的度数是（ ）A. 72 B.54 C. 45 D.36 ABCDB例3 O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分别是方程x26x80的两根，则点A与O的位置关
31、系是（ ）A点A在O内部 B点A在O上C点A在O外部 D点A不在O上解析：此题需先计算出一元二次方程x26x80的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点A与 O的关系.D1.如图所示，在圆O中弦ABCD，若ABC=50，则BOD等于（）A50B40C100D80C针对训练1352.如图a，四边形ABCD为O的内接正方形，点P为劣弧BC上的任意一点（不与B,C重合），则BPC的度数是 .CDBAPO图a考点二 垂径定理 例4 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm,如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.8mmAB8C
32、DO解析 设圆心为O，连接AO,作出过点O的弓形高CD，垂足为D,可知AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理进行计算，AD=4mm，所以AB=8mm.2AOBCEF图a3.如图a，点C是扇形OAB上的AB的任意一点，OA=2,连接AC,BC,过点O作OE AC,OF BC，垂足分别为E,F，连接EF，则EF的长度等于 .（针对训练3ABCDP O图bDP4.如图b,AB是 O的直径，且AB=2，C,D是同一半圆上的两点，并且AC与BD的度数分别是96 和36 ，动点P是AB上的任意一点，则PC+PD的最小值是 .（例5 如图，在RtABC中，ABC=90，以AB为直径的O交AC于点D，连接B
33、D.考点三 切线的判定与性质解：（1）AB是直径，ADB=90.AD=3，BD=4，AB=5.CDB=ABC，A=A，ADBABC， 即 BC=DDB=,ABBCA34=,5BC20.3（1）若AD=3，BD=4，求边BC的长.又OBD+DBC=90，C+DBC=90，C=OBD，BDO=CDE.AB是直径，ADB=90，BDC=90，即BDE+CDE=90.BDE+BDO=90，即ODE=90.ED与O相切.（2）证明：连接OD，在RtBDC中，E是BC的中点，CE=DE，C=CDE.又OD=OB，ODB=OBD.（2）取BC的中点E，连接ED，试证明ED与O相切. 例6 （多解题）如图，直
34、线AB,CD相交于点O， AOD=30 ,半径为1cm的P的圆心在射线OA上，且与点O的距离为6cm,如果P以1cm/s的速度沿由A向B的方向移动，那么 秒钟后P与直线CD相切.4或8解析： 根本题应分为两种情况：(1)P在直线CD下面与直线CD相切；(2)P在直线CD上面与直线CD相切.ABDCPP2P1E解析 连接BD，则在RtBCD中，BEDE，利用角的互余证明CEDC.例7 如图，在RtABC中，ABC=90，以AB为直径的O交AC于点D，过点D的切线交BC于E.（1）求证：BC=2DE.解：（1）证明：连接BD，AB为直径，ABC=90，BE切O于点B.又DE切O于点D，DE=BE，
35、EBD=EDB.ADB=90，EBD+C=90，BDE+CDE=90.C=CDE，DE=CE.BC=BE+CE=2DE.（2）DE=2，BC=2DE=4.在RtABC中，tan,ABCBCAB=BC =522 5在RtABC中，2222(2 5)46.ACABBC又ABDACB，DAB=,ABACA 即D2 5=,62 5A10AD=.3 （2）若tanC= ,DE=2，求AD的长.52B北6030AC例8 如图，已知灯塔A的周围7海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在B处测得灯塔A在北偏东60的方向，向东航行8海里到达C处后，又测得该灯塔在北偏东30的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触
36、礁的危险？请通过计算说明理由.（参考数据 =1.732）3解析：灯塔A的周围7海里都是暗礁，即表示以A为圆心，7海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心A之间的距离d的大小关系.B北6030ACB北6030ACD解：如图，作AD垂直于BC于D，根据题意，得BC=8.设AD为x.ABC=30，AB=2x.BD= x.ACD=90-30=60， AD=CDtan60，CD= .BC=BD-CD= =8.解得 x=333x2 33x4 34 1.7326.9287.即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.5.如图b，线段AB是直径，点D是O上一点， CDB=20 ,过点C作O的切线交
37、AB的延长线于点E,则E等于 .OCABED图b50针对训练6.如图，以ABC的边AB为直径的 O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC.问：BC与 O是否相切？解：BC与 O相切理由：连接OD，BD，DE切 O于D，AB为直径，EDOADB90.又DE平分CB，DE BCBE.EDBEBD.又ODBOBD，ODBEDB90，OBDDBE90，即ABC90.BC与 O相切127. 已知：如图，PA，PB是 O的切线，A、B为切点，过 上的一点C作 O的切线，交PA于D，交PB于E.(1)若P70，求DOE的度数；AB解：(1)连接OA、OB、OC， O分别切PA、PB、DE于点A、B、C
38、，OAPA，OBPB，OCDE,ADCD,BECE，OD平分AOC，OE平分BOC.DOE AOB.PAOB180，P70，DOE55.12 (2) O分别切PA、PB、DE于A、B、C， ADCD，BECE. PDE的周长PDPEDE PDADBEPE2PA8(cm)(2)若PA4 cm，求PDE的周长例9 如图，四边形OABC为菱形，点B、C在以点O为圆心的圆上, OA=1,AOC=120，1=2，求扇形OEF的面积？解：四边形OABC为菱形 OC=OA=1 AOC=120，1=2 FOE=120 又点C在以点O为圆心的圆上 21201=3603S扇形OEF考点四 弧长与扇形面积 8. 一
39、条弧所对的圆心角为135 ，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为 . 40cm针对训练9. 如图所示，在正方形ABCD内有一条折线段，其中AEEF，EFFC，已知AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.解：将线段FC平移到直线AE上，此时点F与点E重合， 点C到达点C的位置.连接AC，如图所示.根据平移的方法可知，四边形EFCC是矩形. AC=AE+EC=AE+FC=16，CC=EF=8.在RtACC中，得2222AC= AC +CC = 16 +8 =8 5正方形ABCD外接圆的半径为4 5正方形ABCD的边长为ACAB=4 10222=4 54 10=801
40、60S阴影（） （）24 3例10 若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为_.考点五 圆内接正多边形的有关计算10. 如图，正六边形ABCDEF内接于半径为5的 O，四边形EFGH是正方形求正方形EFGH的面积；解：正六边形的边长与其半径相等，EF=OF=5. 四边形EFGH是正方形， FG=EF=5， 正方形EFGH的面积是25.针对训练正六边形的边长与其半径相等，OFE=600.正方形的内角是900，OFG=OFE +EFG=600+900=1500.由得OF=FG，OGF= （1800-OFG） = （1800-1500）=150.1212连接OF、OG，求OGF的度数考点七
41、有关圆的综合性题目 例11 如图，在平面直角坐标系中， P经过x轴上一点C，与y轴分别交于A，B两点，连接AP并延长分别交 P，x轴于点D，E，连接DC并延长交y轴于点F，若点F的坐标为（0，1），点D的坐标为（6，1）.（1）求证：CD=CF；（2）判断 P与x轴的位置关系， 并说明理由；（3）求直线AD的函数表达式.解：（1）证明：过点D作DHx轴于H，则CHD=COF=90，如图所示.点F（0，1），点D（6，-1），DH=OF=1.FCO=DCH，FOCDHC，CD=CF.（2） P与x轴相切.理由如下：连接CP，如图所示.AP=PD，CD=CF，CPAF.PCE=AOC=90. P与
42、x轴相切.（3）由（2）可知CP是ADF的中位线.AF=2CP. AD=2CP，AD=AF.连接BD，如图所示.AD为 P的直径，ABD=90.BD=OH=6，OB=DH=OF=1.设AD=x，则AB=AFBF=ADBF=AD(OB+OF）= x2.在RtABD中，由勾股定理，得AD2=AB2+BD2，即x2=（x2）2+62，解得 x=10.OA=AB+OB=8+1=9. 点A（0，9）.设直线AD的函数表达式为y=kx+b，把点A（0，9），D（6，1）代入，得 解得 直线AD的函数表达式为 .961bkb ，439.kb ，493yx圆圆的有关性质与圆有关的位置关系与圆有关的计算垂径定理添加辅助线连半径，作弦心距，构造直角三角形圆周角定理添加辅助线作弦，构造直径所对的圆周角点与圆的位置关系点在圆环内：r d R直线与圆的位置的关系添加辅助线证切线有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.正多边形和圆转化直角三角形弧长和扇形灵活使用公式课堂小结课堂小结
