1、 鹰的重生鹰的重生二二.数学基本思想数学基本思想 的的整体整体认识和分析认识和分析三三.对几个数学基本思想的对几个数学基本思想的具体分析具体分析一一.简述数学简述数学课程标准课程标准的的含义及其内容含义及其内容四四.如何在如何在教学中渗透教学中渗透数学思想方法数学思想方法一、简述小数数学课程标准的含义以一、简述小数数学课程标准的含义以及内容及内容1.课程标准的含义：课程标准的含义：是国家课程的基本是国家课程的基本纲领性文件，是国家对基础教育课程的纲领性文件，是国家对基础教育课程的基本规范和质量要求。国家基本规范和质量要求。国家课程标准课程标准是是教材编写、教学、评估和考试命题的依教材编写、教学
2、、评估和考试命题的依据，是评价管理和评价课程的基础据，是评价管理和评价课程的基础。小学数学课程标准的内容小学数学课程标准的内容前言前言基本概念基本概念设计思路设计思路课程目标课程目标总体目标总体目标四基四基基本思想基本思想学段目标学段目标内容标准内容标准数与代数数与代数图形与几何图形与几何统计与概率统计与概率综合与实践综合与实践实施建议实施建议教学建议教学建议评价建议评价建议教材编写建议教材编写建议课程资源开发与利用建议课程资源开发与利用建议课程性质课程性质第一条：第一条： 使学生获得使学生获得“四基四基”即：通过义务教育阶段数学学习，即：通过义务教育阶段数学学习，学生能：获得适应社会生活和进
3、学生能：获得适应社会生活和进一步发展所必需的一步发展所必需的数学的基础知数学的基础知识、基本技能、识、基本技能、基本思想、基本基本思想、基本活动经验。活动经验。数学课程目标为何要：数学课程目标为何要： 从从“双基双基”发展到发展到“四基四基”?从双基拓展为四基双基拓展为四基，主要体现了对于对于数数学课程价值学课程价值的全面认识全面认识，学生不仅获得必需的知识和技能，还要积累经验、获得数学发展和处理问题的思想；同时体现了以学生为本的基本理念。n早在近代科学的黎明时期早在近代科学的黎明时期, ,德国数学家德国数学家莱布莱布尼兹尼兹（LeibnizLeibniz，1646164617161716）就
4、指出：）就指出： 数学的本质不在于它的对象数学的本质不在于它的对象, ,而在于它的思想方法。而在于它的思想方法。1.什么是数学学习中最本质的东西？什么是数学学习中最本质的东西？数学基本思想才是数学的本质数学基本思想才是数学的本质2.何为数学基本思想？何为数学基本思想？ 区别几个概念区别几个概念n所谓数学思想，是指人们对数学理论所谓数学思想，是指人们对数学理论与内容的与内容的本质认识本质认识。n所谓数学方法，是指人们所谓数学方法，是指人们解决数学问解决数学问题的方法题的方法，即解决数学具体问题时所，即解决数学具体问题时所采用的采用的方式、途径和手段方式、途径和手段。3.数学基本思想的本质数学基本
5、思想的本质n“数学发展所依赖的思想在本质上有三个：数学发展所依赖的思想在本质上有三个：抽象、推理和模型抽象、推理和模型。通过抽象，在现实生活通过抽象，在现实生活中得到数学的概念和运算法则，通过推理得中得到数学的概念和运算法则，通过推理得到数学的发展，然后通过模型建立数学与外到数学的发展，然后通过模型建立数学与外部世界的联系部世界的联系”（史宁中，（史宁中，数学思想概论数学思想概论第一辑，第一辑，东北师范大学出版社，东北师范大学出版社，2008.62008.6，第一页）。，第一页）。抽象抽象推理推理模型模型本本质质思思想想分类、集合、数形结合、分类、集合、数形结合、 “变中有变中有不变不变” ，
6、符号表示、对称、对应、，符号表示、对称、对应、有限与无限的思想等有限与无限的思想等 归纳、演绎、公理化、转换化归、归纳、演绎、公理化、转换化归、联想类比、逐步逼近、代换、特联想类比、逐步逼近、代换、特殊与一般的思想等等。殊与一般的思想等等。 简化、量化、函数、方程、优化、简化、量化、函数、方程、优化、随机、抽样统计的思想等等随机、抽样统计的思想等等 数学基本思想层次性和多样性数学基本思想层次性和多样性三三.对其中几个对其中几个数学基本思想数学基本思想 的具体分析的具体分析抽象抽象 推理推理模型模型数形结合数形结合分类分类化归化归（一）数学抽象思想（一）数学抽象思想n数学和其他学科一样，都具有抽
7、象性。即数学和其他学科一样，都具有抽象性。即都是把物体、现象、生活的一个方面抽象都是把物体、现象、生活的一个方面抽象化。化。数学数学研究的是从具体内容中抽象出来研究的是从具体内容中抽象出来的的形式、结构和数量关系。形式、结构和数量关系。n抽象是数学最本质的特征。抽象是数学最本质的特征。1.什么是数学抽象思想什么是数学抽象思想从结果看：全部数学都是抽象的产物从结果看：全部数学都是抽象的产物 例：一个概念（分数），一个算式（例：一个概念（分数），一个算式（3X2=6种），一个数（种），一个数（3），一种运算（乘法），一条），一种运算（乘法），一条法则一个定律（加法交换律），一个数量关系法则一个定律
8、（加法交换律），一个数量关系（速度（速度X时间时间=路程）等。路程）等。从过程与方法看：数学的学习与发展就是一个抽从过程与方法看：数学的学习与发展就是一个抽象的过程，抽象是数学活动最基本的方法。象的过程，抽象是数学活动最基本的方法。例例1：100以内数的写法和读法；以内数的写法和读法；2.为什么抽象是数学最本质的特征为什么抽象是数学最本质的特征十十 个个位位 位位13表示表示1个十个十 看图写数。看图写数。表示表示3个一个一 在十位上写在十位上写1在个位上写在个位上写3例例2：搭配问题（分三步）：搭配问题（分三步）（1）从实际生活引入课题，体验按顺序搭配。）从实际生活引入课题，体验按顺序搭配。
9、从生活中的搭配衣服引入课题。从生活中的搭配衣服引入课题。先让学生先让学生用实物图片搭配用实物图片搭配，体验按顺序搭配的好处。，体验按顺序搭配的好处。（2）然后从）然后从实物图片抽象到符号表示实物图片抽象到符号表示，感知符号表示的简洁，感知符号表示的简洁明了。明了。（3）最后从符号表示通过推理抽象到算式，培养孩子的理性）最后从符号表示通过推理抽象到算式，培养孩子的理性思考。思考。（二）（二）推理思想推理思想1.数学家对推理的认识数学家对推理的认识数学的主要方法就是逻辑的推理。数学的主要方法就是逻辑的推理。陈省身陈省身数学创造性工作的结果是证明推理，是一个数学创造性工作的结果是证明推理，是一个证明
10、，但证明是由合情推理，是由猜想来发证明，但证明是由合情推理，是由猜想来发现的。现的。波利亚（波利亚（美籍匈牙利数学家）几何学总是利用一长串简单的推理完成最艰几何学总是利用一长串简单的推理完成最艰难的证明。难的证明。笛卡尔笛卡尔(法. 哲学家、数学家、物理学家）2.什么是推理？什么是推理？n推理是指从一个或几个已知判断推出一个新的判推理是指从一个或几个已知判断推出一个新的判断的思维方式。断的思维方式。 例：用长例：用长6cm、8cm、12cm的三根小棒能围成的三根小棒能围成三角形吗？三角形吗？n推理的种类推理的种类 演绎推理合情推理类比推理归纳推理不完全归纳推理完全归纳推理2.1什么演绎推理什么
11、演绎推理n演绎推理演绎推理是从是从一般性原理得出特殊结论一般性原理得出特殊结论的推理方法，的推理方法，即从即从一般到特殊一般到特殊的推理方法。的推理方法。n演绎推理的特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件演绎推理的特点是：在推理的形式合乎逻辑的条件下，运用它从真实的前提一定能推出真实的结论。下，运用它从真实的前提一定能推出真实的结论。因此，演绎推理是一种必然的推理，演绎法是一种因此，演绎推理是一种必然的推理，演绎法是一种严格的逻辑证明方法。严格的逻辑证明方法。演绎推理的逻辑基础：三段论演绎推理的逻辑基础：三段论n这种推理是分为大前提、小前提、结论这这种推理是分为大前提、小前提、结论这样三段来进行的
12、，可用公式表示如下：样三段来进行的，可用公式表示如下： （大前提）（大前提） （小前提）（小前提） 所以所以 （结论）（结论） 65？例例1：MPSMSP求三角形未知角的度数求三角形未知角的度数2.2什么合情推理什么合情推理n是指根据已有的事实和证明的结论、实验和是指根据已有的事实和证明的结论、实验和实践的结果，凭借实践的结果，凭借经验和直觉经验和直觉，通过归纳和通过归纳和类比类比推测推测某些结果的某些结果的 推理过程。推理过程。归纳、类比归纳、类比是合情推理常用的思维方式。是合情推理常用的思维方式。合情推理有分为：分为归纳推理和类比推理合情推理有分为：分为归纳推理和类比推理2.3.1 归纳推
13、理归纳推理按照它的考查的对象是否完全而又分为：按照它的考查的对象是否完全而又分为： 完全归纳推理完全归纳推理 不完全归纳推理（也叫简单枚推理）不完全归纳推理（也叫简单枚推理）归纳推理：归纳推理：由某类事物的由某类事物的部分对象部分对象所所具有具有的的某些特征某些特征推出推出该类事物该类事物也具有这些特征也具有这些特征的推理。的推理。例：乘法分配律律，三角形的内角和定理。例：乘法分配律律，三角形的内角和定理。n根据某类中根据某类中每一个每一个个体个体都具有（或不具有）某都具有（或不具有）某种性质，推出种性质，推出该类该类具有（或不具有）某种性质具有（或不具有）某种性质的归纳推理称为的归纳推理称为
14、完全归纳推理完全归纳推理。n在数学中，在数学中，完全归纳推理完全归纳推理又可分为又可分为穷举归纳穷举归纳和和分类归纳分类归纳两种。两种。 设考察的对象含有有限个对象，表示为：设考察的对象含有有限个对象，表示为： 考察内容是判定考察内容是判定 是否有性质是否有性质 ，则，则穷举归穷举归纳纳的逻辑形式可表示如下：的逻辑形式可表示如下：1,2, iSS inSP完全归纳推理完全归纳推理n若考查的对象有无限多个，显然就无法穷举若考查的对象有无限多个，显然就无法穷举，这时，可将无限多个对象分成有限多个类，这时，可将无限多个对象分成有限多个类来研究，这就是来研究，这就是分类归纳推理分类归纳推理。1212(
15、,)nSPSPS SSSSP是 类全部个体n分类归纳推理分类归纳推理的逻辑形式为：的逻辑形式为：12nAPAPAPSP例：三角形的内角和定理例：三角形的内角和定理不完全归纳推理不完全归纳推理n根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，根据考察的一类事物的部分对象具有某一属性，而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推而作出该类事物都具有这一属性的一般结论的推理方法称为理方法称为不完全归纳推理不完全归纳推理n小学数学中基本用的是不完全归纳推理。小学数学中基本用的是不完全归纳推理。n其逻辑形式：其逻辑形式：1212(,)nSPSPS SSSSP是 类的部分对象例例1：乘法分配律律：乘法分配律律n例
16、例2 2：费尔玛素数猜想：费尔玛素数猜想： （费尔玛数）当（费尔玛数）当n=0n=0，1 1，2 2，3 3，4 4时，分别为时，分别为3 3，5 5，1717，257257，6653766537，于是，于是，费尔玛猜想费尔玛猜想“所有的所有的 都是素数。都是素数。”事隔半事隔半个世纪之后，擅长计算的欧拉成功地将其分个世纪之后，擅长计算的欧拉成功地将其分解为两个因数之积：解为两个因数之积： 这就推翻了这就推翻了费尔玛素数猜想费尔玛素数猜想。221nnF nF54294967297641 6700417F n但不完全归纳可以促使人们通过观察分析，但不完全归纳可以促使人们通过观察分析，去发现结论，
17、提出猜想，然后加以证明。在去发现结论，提出猜想，然后加以证明。在数学中，发现结论往往比证明结论更重要。数学中，发现结论往往比证明结论更重要。n通过观察下列等式：通过观察下列等式： 由不完全归纳推理可能推测：任何大于由不完全归纳推理可能推测：任何大于2的偶数都可以表为两个素数之和，这正是著的偶数都可以表为两个素数之和，这正是著名的名的哥德巴赫猜想哥德巴赫猜想。42263 3 835 10 3 7 12 5 7 14 11 3通过通过归纳推理归纳推理发现规律发现规律n在小学教材中很多结论都是通过归纳在小学教材中很多结论都是通过归纳推理得到的。推理得到的。n如：关于数的如：关于数的交换律、结合律、分
18、配交换律、结合律、分配率率、关于、关于分数的基本性质分数的基本性质、关于、关于圆面圆面积公式积公式等等等等n很多数学问题也可以通过很多数学问题也可以通过归纳归纳去寻求去寻求规律和解题的捷径。规律和解题的捷径。 如图所示，在正六边形如图所示，在正六边形A A周围画出周围画出6 6个同样的正个同样的正六边形六边形( (阴影部分阴影部分) )，围成，围成第第1 1圈圈；在第；在第1 1圈外面再圈外面再画出画出1212个同样的正六边形，围成个同样的正六边形，围成第第2 2圈圈 。按。按这个方法继续画下去，当画完这个方法继续画下去，当画完第第1111圈圈时，图中共时，图中共有有 个与个与A A相同的正六
19、边形。相同的正六边形。n图中第图中第1 1格内放着一格内放着一 个立方体木块，木个立方体木块，木 块六个面上分别写块六个面上分别写 着着A A，B B，C C，D D，E E， F F六个字母，其中六个字母，其中A A 与与D D，B B与与E E，C C与与F F 相对。如果将木块相对。如果将木块 沿着图中方格滚动，沿着图中方格滚动， 当木块滚动到第当木块滚动到第2121 个格时，个格时，木块向上木块向上 的面写的字母是：的面写的字母是： 第第5 5，9 9，1313，17,2117,21格与第一格相同，故为格与第一格相同，故为 A A 由此，还可作更一般的推广。由此，还可作更一般的推广。类
20、比推理类比推理根据两类不同的对象之间存在某些方面的相同或相似，推测出它们在其它方面也有可能相似或相同的推理，它是从特殊到特殊的推理。它是从特殊到特殊的推理。其逻辑形式如下：其逻辑形式如下： Aabcd对象具有属性 、 、 、Babc对象具有属性 、 、Bd对象也可能具有属性。（三）（三）模型思想模型思想n所谓数学模型，所谓数学模型，就是根据特定的研究目的和就是根据特定的研究目的和问题，采用形式化的数学语言，去抽象地，问题，采用形式化的数学语言，去抽象地，概括地描述所研究对象的主要特征、数量关概括地描述所研究对象的主要特征、数量关系和空间形式所形成的系和空间形式所形成的 一种数学结构。一种数学结
21、构。1.什么是数学模型什么是数学模型2.模型思想的重要意义模型思想的重要意义 促进概括能力的发展； 例：运算律的概括 培养学生的应用意识和解决问题的能力 例：根据S=vt解决行程问题 感受数学与实际生活的联系； 例：理解“单价X数量=总价” 的数学意义和实际意义数的表示，自然数列：0,1,2,用数轴表示数用数字和图形表示规律数的运算：a+b=c，ca =b, cba，abc(a0,b0)， ca=b, cba用字母表示运算定律，方程ax+b=c 数量关系：时间、速度和路程：s=vt 数量、单价和总价：a=np 正比例关系：y/x=k 反比例关系：xy=k用表格表示数量间的关系，用图象表示数量间
22、的关系用字母表示周长、面积和体积公式用图表示空间和平面结构用统计图表描述和分析各种信息用分数表示可能性的大小。数学建模数学建模就是通过建立模型的方法来求得就是通过建立模型的方法来求得问题解决的数学活动过程。问题解决的数学活动过程。观察实际情境观察实际情境发现提出问题发现提出问题抽象成数学模型抽象成数学模型 得到数学结果得到数学结果可用结果可用结果检验检验合乎实际合乎实际不合乎实际不合乎实际修改修改4.如何建模？如何建模？标准标准从义务教育数学课程的实际情况出发，从义务教育数学课程的实际情况出发，将这一过程进一步简化为这样三个环节：将这一过程进一步简化为这样三个环节：从现实生活或具体情境中抽象数
23、学问题从现实生活或具体情境中抽象数学问题用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律问题中的数量关系和变化规律通过模型去求出结果，并用此结果去解释、通过模型去求出结果，并用此结果去解释、讨论它在现实问题中的意义讨论它在现实问题中的意义6.6.模型思想模型思想的培养的培养精心设计教学活动，使学生经历精心设计教学活动，使学生经历“问题情境问题情境建立模型建立模型求解验证求解验证”的数学活动过程。的数学活动过程。如：长方形面积公式的推导：经历摆如：长方形面积公式的推导：经历摆发现发现归归纳纳用字母表示的过程。用字母表示的过程。7.7.
24、模型与情景的关系模型与情景的关系紧密结合紧密结合由模型反述问题情境由模型反述问题情境 教学楼有四层。五（教学楼有四层。五（1）班的）班的同学第一节课到同学第一节课到3楼上数学课，第楼上数学课，第二节课到二节课到2楼上美术课，第三节课楼上美术课，第三节课到到4楼上音乐课，第四节课回到楼上音乐课，第四节课回到3楼上语文课，中午到一楼食堂吃饭。楼上语文课，中午到一楼食堂吃饭。下面哪一幅图比较准确地描述了这下面哪一幅图比较准确地描述了这一过程？一过程？时间时间楼层楼层时间时间楼层楼层楼层楼层时间时间由情境选模型由情境选模型 案例：案例：香港教材：香港教材：“公说公有理，婆说婆有理公说公有理，婆说婆有理
25、” 某企业有5个股东，100个工人，9092年间收益情况如下： 年份年份 股东红利（元）股东红利（元） 工资总额（元）工资总额（元） 1990年 5万 10万 1991年 7.5万 12.5万 1992年 10万 15万 将它画成图表（如图）：将它画成图表（如图）： 同一模型的多重情境同一模型的多重情境 9091921000150010000200009091929091925万10万15万（1）股东画：两条平）股东画：两条平行线，表明劳资双方行线，表明劳资双方“有福同享，有难同当有福同享，有难同当” （2）工会领导人画：差）工会领导人画：差 距越来越大，应加速增距越来越大，应加速增加工资。加
26、工资。 （3）工人画：以股东和）工人画：以股东和 工人的个人所得计算，工人的个人所得计算，收入相差悬殊。收入相差悬殊。同一情境中同一情境中的多种模型的多种模型100%150%200%5个股东，100个工人（四）（四）分类思想分类思想1.分类的含义分类的含义 是依据一定的标准，将对象区分为不同种类的是依据一定的标准，将对象区分为不同种类的逻辑方法。逻辑方法。 标准标准：“分类是一种重要的数学思想。分类是一种重要的数学思想。学习数学的过程中经常会遇到分类问题，学习数学的过程中经常会遇到分类问题，如如数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类、图形的分类、代数式的分类、函数的分类等数的分类等。在
27、研究数学问题中，常常需要。在研究数学问题中，常常需要通过分类讨论解决问题通过分类讨论解决问题。” ” 7212=6例例1：商不变的性质商不变的性质把结果不变的算式分为一类，再探究你发现了什么？例2：给一本书编页码，一共用去给一本书编页码，一共用去732个数字，个数字，这本书一共有多少页？这本书一共有多少页？分析与解：按照每个页码所用数字的个数分按照每个页码所用数字的个数分类：类：只用一个数字的有只用一个数字的有19页，共用了页，共用了9个数个数字；字；用二个数字的有用二个数字的有1099页，共用了页，共用了2（999）=180（个）数字；（个）数字；余下的（余下的（7321809）个数字用来编
28、三）个数字用来编三位数的页码，可以编（位数的页码，可以编（7321809）3=181（个）页码。于是可以求出这本书（个）页码。于是可以求出这本书一共有一共有990181=280（页）。（页）。2.分类应特别注意两点：分类应特别注意两点： 一是统一标准。一是统一标准。例：在例：在1-20中找出既是奇数又是合数的数，这个标准就中找出既是奇数又是合数的数，这个标准就含有奇数和合数两个因素。含有奇数和合数两个因素。 二是不重复、不遗漏。二是不重复、不遗漏。例：同一平面内，两条直线的位置关系例：同一平面内，两条直线的位置关系（五）数形结合的思想（五）数形结合的思想1.数学研究的主要对象：数量关系和空间形
29、式数学研究的主要对象：数量关系和空间形式数量关系数量关系空间形式空间形式“数”（抽象）“形”（直观）数和形是数学的两个基本方面皮亚杰说：儿童的思维特点是形象思维。皮亚杰说：儿童的思维特点是形象思维。如何解决抽象与直观这对矛盾呢？如何解决抽象与直观这对矛盾呢？数形结数形结合，用形象直观的图形理解抽象的数及数量关合，用形象直观的图形理解抽象的数及数量关系。系。2.数形结合思想方法的意义数形结合思想方法的意义数形集合的思想方法：就是抓住数与形之间的数形集合的思想方法：就是抓住数与形之间的本质联系，用形直观形象地表达数，用数精确本质联系，用形直观形象地表达数，用数精确地刻画形。借助几何直观地刻画形。借
30、助几何直观把复杂的数学问题变把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。预测结果。数缺形时少直观，数缺形时少直观，形少数时难入微。形少数时难入微。数形结合百般好，数形结合百般好，隔离分家万事休。隔离分家万事休。华罗庚：华罗庚：（1）形刻画数）形刻画数a.用形刻画数概念，形象直观用形刻画数概念，形象直观例例1：例例2：b.用形刻画算理与算法用形刻画算理与算法例：异分母分数加减法c.用形刻画数量间的关系用形刻画数量间的关系 例：例：甲、乙两人分别站在一个圆形跑道的直径的两端，甲、乙两人分别站在一个圆形跑道的直径的两端，然后两人沿圆周相
31、向而行。已知乙在走了然后两人沿圆周相向而行。已知乙在走了100100米后与甲米后与甲第一次相遇，相遇后两人继续各自以原速度向前行走，第一次相遇，相遇后两人继续各自以原速度向前行走，乙在走过了距甲起点乙在走过了距甲起点6060米的地方与甲再次相遇。问圆米的地方与甲再次相遇。问圆形跑道总长多少形跑道总长多少? ? n第一次相遇，两人共行圆周的一半；再次相遇时，第一次相遇，两人共行圆周的一半；再次相遇时，两人又共同行走了一个整圆，即是第一次所行路程两人又共同行走了一个整圆，即是第一次所行路程的的2倍在各自速度不变的情况下，乙第二次行走倍在各自速度不变的情况下，乙第二次行走的路程也应该是第一次所走的路
32、程也应该是第一次所走100米的米的2倍即乙所行倍即乙所行总路程为总路程为100+2X100300(米米)，所以圆周长为，所以圆周长为(30060)X2480(米米)用形刻画函数关系用形刻画函数关系用形刻画运算定律用形刻画运算定律验证乘法分配律：求大长方形的面积验证乘法分配律：求大长方形的面积abc(a+b)Xc=ac+bc（2）用数刻画形）用数刻画形用准确的数去刻画几何图形，对形的性质、形用准确的数去刻画几何图形，对形的性质、形的特征理解得更加透彻。的特征理解得更加透彻。例例1：用：用“三条边相等，三个角也相等三条边相等，三个角也相等”来刻画来刻画等边三角形的特征。等边三角形的特征。60615
33、9606060例例2 2：用：用“同一圆内，所有的半径都相等同一圆内，所有的半径都相等”来刻画圆的来刻画圆的本质特征，即本质特征，即“一周同长也一周同长也”，以及圆的饱满之美。，以及圆的饱满之美。 3.3.数形结合思想数形结合思想的培养的培养n在教学中应有这样的导向：在教学中应有这样的导向：能画图时尽量画，能画图时尽量画，其实质是将相对抽象的思考对象其实质是将相对抽象的思考对象“图形化图形化”，尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得尽量把问题、计算、证明等数学的过程变得直观。直观。图形化是抽象与图形化是抽象与具体之间的转化具体之间的转化让学生学会从让学生学会从“数数”与与“形形”两个角度认识数
34、学，两个角度认识数学，体会化归思想。体会化归思想。例：例：一杯可乐，第一次喝了一半，以后每次一杯可乐，第一次喝了一半，以后每次都喝剩下的一半，次一共喝了这杯可乐的都喝剩下的一半，次一共喝了这杯可乐的多少？多少？ ？ 通常算法是：把次可乐加起来求和通常算法是：把次可乐加起来求和.即：即：1/2+1/4+1/8+1/16+1/32 还可推广次还可推广次喝了多少？喝了多少？例：例：一道典型习题一道典型习题 大鲸鱼对小鲸鱼说：我像大鲸鱼对小鲸鱼说：我像你现在这么大的时候，你才你现在这么大的时候，你才1岁；小鲸鱼对大鲸鱼说：我岁；小鲸鱼对大鲸鱼说：我像你这么大的话，你都像你这么大的话，你都31岁岁了。问
35、：大、小鲸鱼现在多了。问：大、小鲸鱼现在多大？大？大鲸鱼大鲸鱼小鲸鱼小鲸鱼1 1岁岁3131岁岁？年龄差年龄差关键是求年龄差：关键是求年龄差： （311）310（岁）（岁）小鲸鱼：小鲸鱼：1+10=11（岁）（岁） 大鲸鱼：大鲸鱼：11+10=21（岁）（岁） 让图形动起来让图形动起来图形的运动变化蕴含着丰富的思想图形的运动变化蕴含着丰富的思想n对称、旋转、折叠、展开、拆分、对称、旋转、折叠、展开、拆分、组合、拉伸、压缩组合、拉伸、压缩,充分利用充分利用图形的变化来分析、解决问题图形的变化来分析、解决问题例例 用一张斜边长为用一张斜边长为29的红色直角三角形纸片，一张斜的红色直角三角形纸片，一
36、张斜边长为边长为49的蓝色直角三角形纸片，一张黄色正方形纸的蓝色直角三角形纸片，一张黄色正方形纸片拼成如图的一个直角三角形。问红、蓝两张三角形纸片拼成如图的一个直角三角形。问红、蓝两张三角形纸片面积之和是多少片面积之和是多少?49X2927105（六）化归思想（转化）（六）化归思想（转化）1.化归思想的含义：化归思想的含义： 就是根据学生已有的知识经验，通过观察、就是根据学生已有的知识经验，通过观察、联想、类比等手段把未解决的、复杂的问题归联想、类比等手段把未解决的、复杂的问题归结到能解决、简单的问题中去，从而获得对原结到能解决、简单的问题中去，从而获得对原问题的解决。问题的解决。2.化归的方
37、向化归的方向 方向：方向： 由新到旧，由未知到已知，由复杂到由新到旧，由未知到已知，由复杂到简单，由困难到容易。简单，由困难到容易。 作用作用1：新知转化为旧知新知转化为旧知小数乘法转化为整数乘法小数乘法转化为整数乘法3.化归思想的作用化归思想的作用20求下图阴影部分的面积4545204545作用作用2：难的转化为简单的：难的转化为简单的321根据所学的知识，你能想办法求出下列图形的内角和吗？1802=3601803=5401804=7204.化归思想在教材中的应用化归思想在教材中的应用四四.如何在教学中渗透数学思想方法如何在教学中渗透数学思想方法1.1.善于善于挖掘挖掘教材中的数学思想教材中
38、的数学思想2.2.在在知识的形成知识的形成和和巩固巩固中渗透数学思想及方法中渗透数学思想及方法3.3.精心设计精心设计教学活动教学活动4.4.在在解决问题解决问题的教学中的教学中突出数学思想方法突出数学思想方法5.5.渗透数学思想方法应渗透数学思想方法应适时显性化适时显性化6.6.发掘发掘“做数学做数学”的课堂教育价值的课堂教育价值（一）善于挖掘教材中的数学思想（一）善于挖掘教材中的数学思想在我们的小学数学教材中，有许多的数学基数学基本思想及方法本思想及方法，不过它不是显性的，呈隐形状，它是教材中的一条暗线暗线，蕴含在知识技知识技能能这条明线明线中，需要我们教师做个有心人，用心去挖掘，有机地渗
39、透。例例1：用字母表示数用字母表示数例例1：“用字母表示数用字母表示数”的教学片断的教学片断渗透了函数思想渗透了函数思想1只青蛙只青蛙 1 张嘴，张嘴，2只眼睛只眼睛 4 条腿；条腿；听一听：听一听：数青蛙数青蛙教师借助课件演示数青蛙，学生探究得出数青蛙任意只数可以用字母来表示，教师借助课件演示数青蛙，学生探究得出数青蛙任意只数可以用字母来表示，眼睛数和腿数可用含有字母的式子来表示，如：用眼睛数和腿数可用含有字母的式子来表示，如：用a表示青蛙的只数，就用表示青蛙的只数，就用a2表示眼睛数，表示眼睛数，aX4表示腿数。接下来的片断，通过师生交流，有机渗透表示腿数。接下来的片断，通过师生交流，有机
40、渗透了函数思想。了函数思想。师：刚才经过同学们探究发现，当不能用具体的数来表示青蛙只数的时候，师：刚才经过同学们探究发现，当不能用具体的数来表示青蛙只数的时候，我们可以用字母、文字或符号来表示，数学上通常用字母来表示。我们可以用字母、文字或符号来表示，数学上通常用字母来表示。师：当师：当a是是1时，表示数了几只青蛙？时，表示数了几只青蛙？生：生：1只。只。师：有几只眼睛？几条腿？师：有几只眼睛？几条腿？生：生：12=2（只）眼睛，（只）眼睛，2X4=8（条）腿。（条）腿。师：当师：当a是是8时，表示数了几只青蛙？时，表示数了几只青蛙？生：生：8只。只。师：有几只眼睛？几条腿？师：有几只眼睛？几
41、条腿？生：生：82=16（只）眼睛，（只）眼睛，8X4=32（条）腿。（条）腿。师：大家可以清楚地发现当青蛙只数变了，眼睛数也要变，但这其中有没有师：大家可以清楚地发现当青蛙只数变了，眼睛数也要变，但这其中有没有 不变的东西？不变的东西？生生1：不管是数几只，其中的每一只青蛙都有：不管是数几只，其中的每一只青蛙都有2只眼睛，只眼睛，4条腿。条腿。生生2：不管是数几只青蛙，眼睛的只数都是青蛙只数的：不管是数几只青蛙，眼睛的只数都是青蛙只数的2倍，腿数总是青蛙数倍，腿数总是青蛙数 的的4倍。倍。师：了不起，你们的发现很有价值。师：了不起，你们的发现很有价值。例例3： “交换律”的教学片断渗透了合情
42、推理思想首先，教师引导学生通过猜想、举例验证，归纳首先，教师引导学生通过猜想、举例验证，归纳得出了加法交换律。然后，教师提问：加法有交得出了加法交换律。然后，教师提问：加法有交换律，你马上猜想到了什么呢？启发学生类比迁换律，你马上猜想到了什么呢？启发学生类比迁移猜想：乘法、减法、除法也有交换律吗？然后移猜想：乘法、减法、除法也有交换律吗？然后请学生进行举例验证。请学生进行举例验证。 在验证减法的时候，课堂生成了这样一个片断：生：我验证过了减法也有交换律，比如：1-1=1-1，3-3=3-3师：好象说得有道理呀！你认为对吗？生：不对，那是被减数、减数相同的情况下，这样是a-a=a-a。举个反例，
43、2-1不等于1-2。一个反例就足以说明减法没有交换律。师：真了不起！是呀，数学中有很多的假象，只要找到一个反例就能将假象推翻，这是一种很好的思考问题的方法，也是解决问题的重要手段。师：回想一下，刚才我们是怎么得到结论的？生：先猜想、再举例验证再总结。 （二）在（二）在知识的形成知识的形成和和巩固巩固中渗透数学思想中渗透数学思想数学思想方法蕴含在数学知识之中，尤其蕴含于数学知识的形成过程中。在学习每一数学知识时，尽可能提炼出蕴含其中的数学思想方法，即在数学知识产生形成过程中，让学生充分体验。教学中不直接点明所应用的数学思想方法，而应该引导学生在数学活动过程中潜移默化地体验蕴含其中的数学思想方法，
44、切忌生搬硬套、和盘托出。下面我们分别举一个新授和练习的例子加以说明。例例1：圆的面积圆的面积新授新授例例2:6的乘法口诀的乘法口诀练习课练习课知识的形成知识的形成和和巩固巩固例：例：创设情境：创设情境：体会体会圆的数学意义圆的数学意义抽象的思想抽象的思想丰富的数学思想丰富的数学思想估计与猜测：估计与猜测： 逐步逼近的思想逐步逼近的思想 合情推理的思想合情推理的思想剪一剪：剪一剪：体会无限的思想体会无限的思想拼一拼拼一拼 ：转化的思想转化的思想n多种转化多种转化 的方式的方式 推理推理 归纳思想归纳思想 （归纳归纳出一般结论）出一般结论） 模型思想模型思想经历知识的巩固与应用，渗透数学思想方法经
45、历知识的巩固与应用，渗透数学思想方法数学知识的巩固，技能的形成，智力的开发，能力的培养等需要适量的练习才能实现。练习课的练习不同于新授课的练习，新授课中的练习主要是为了巩固刚学过的新知，习题侧重于知识方面；而练习课中的练习则是为了在形成技能的基础上向能力转化，提高学生运用知识解决实际问题的能力，发展学生的思维能力。因此教师要有数学思想方法教学意识，在练习课的教学中不仅要有具体知识、技能训练的要求，而且要有明确的数学思想方法的教学要求。例例2:6的乘法口诀练习课的乘法口诀练习课（三）精心设计教学活动（三）精心设计教学活动nR.柯朗柯朗 H.罗宾：罗宾： “只有靠了数学自身的经验，才只有靠了数学自
46、身的经验，才能把握数学思想是什么？能把握数学思想是什么？”杜威：杜威： “一盎司经验胜过一吨理论一盎司经验胜过一吨理论”关键是提供一个好的数学活动：关键是提供一个好的数学活动：n要为每一个学生进行活动，创设良好的学习环要为每一个学生进行活动，创设良好的学习环境和问题情境境和问题情境n要为学生获得更多的活动经验提供广阔的探索要为学生获得更多的活动经验提供广阔的探索空间空间n数学活动要引导学生经历发现、提出、分析、数学活动要引导学生经历发现、提出、分析、解决问题的全过程解决问题的全过程一个教学活动案例一个教学活动案例n如何结合课堂教学如何结合课堂教学 使学生积累数学活动经验使学生积累数学活动经验案
47、例：案例：角的度量角的度量（四上）（四上） 北京海淀北京海淀 区管老师区管老师两种方式，采用哪一种？两种方式，采用哪一种？n重在传授度量技能：重在传授度量技能： 点重合点重合 边重合边重合 读刻度读刻度n重在提供多元化的活动：重在提供多元化的活动：探索度量方探索度量方法，积累度量经验法，积累度量经验活动一：活动一：创设情境（大炮射击游戏）创设情境（大炮射击游戏）打击目标打击目标引出角的引出角的度量问题度量问题活动二：活动二：让学生按自己的方让学生按自己的方 法去度量角的大小法去度量角的大小学生采用的方法：学生采用的方法： 使用直尺使用直尺 量边的长短量边的长短 量边之间的距离量边之间的距离学生
48、的作法虽然不正确，但教学生的作法虽然不正确，但教师看到了两点值得肯定的地方：师看到了两点值得肯定的地方：一是试图用数来说明角的大小；一是试图用数来说明角的大小；二是能自觉使用度量工具二是能自觉使用度量工具活动三：活动三：设计拼角活动帮助学生寻找测量设计拼角活动帮助学生寻找测量标准，积累数学活动经验，发展数学思维标准，积累数学活动经验，发展数学思维 老师向学老师向学生提供一些生提供一些大小一样的大小一样的小角小角(单位单位角），让学角），让学生用小角去生用小角去度量刚才那度量刚才那个角。个角。这里也有类比这里也有类比 通过小组活动通过小组活动寻找用小角度量寻找用小角度量角的方法角的方法这样拼行吗
49、？学生充分讨论度量方法学生充分讨论度量方法n寻找度量标准寻找度量标准 经历量角器形成过程经历量角器形成过程 内化量角方法内化量角方法活动四：活动四：用量角器进行度量活动用量角器进行度量活动观察观察交流交流辨析辨析在完善测量工具的过程中，在完善测量工具的过程中，积累经验，掌握测量的方法积累经验，掌握测量的方法归纳归纳小结小结本课设计思路：本课设计思路：解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取解题的过程就是在数学思想的指导下，合理联想提取相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及相关知识，调用一定数学方法加工、处理题设条件及知识，逐步缩小题设与结论间的差异的过程，也可以知识，逐步缩小题设
50、与结论间的差异的过程，也可以说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是说是运用化归思想的过程，解题思想的寻求就自然是运用思想方法分析解决问题的过程。运用思想方法分析解决问题的过程。（四）在解决问题的教学中（四）在解决问题的教学中 突出数学思想方法突出数学思想方法例例1:转化思想转化思想 如图（如图（1）有红、黄、绿三张大小一样的正方形纸片，）有红、黄、绿三张大小一样的正方形纸片，放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合，已知露在放在一个正方形盒内，它们之间互相叠合，已知露在外面的部分中，红色面积是外面的部分中，红色面积是20，黄色面积是，黄色面积是14，绿，绿色面积是色面积是10，那么正方形盒
