1、7.3空间中的平行关系与垂直关系20102019年高考全国卷考情一览表 考点82考点83考点84考点82空间中的平行关系1.(2019全国1,文19,12分,难度)如图,直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,BAD=60,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.(1)证明:MN平面C1DE;(2)求点C到平面C1DE的距离.考点82考点83考点84(1)证明连接B1C,ME. 由题设知A1B1DC,可得B1CA1D,故MEND,因此四边形MNDE为平行四边形,MNED.又MN平面C1DE,所以MN平面C1DE.(2)解过C作C1E的垂线,垂足为H.由已知可得
2、DEBC,DEC1C,所以DE平面C1CE,故DECH.从而CH平面C1DE,故CH的长即为C到平面C1DE的距离.由已知可得CE=1,C1C=4,考点82考点83考点842.(2017全国2,文18,12分,难度)如图,四棱锥P-ABCD中,侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC= AD,BAD=ABC=90.(1)证明:直线BC平面PAD;(2)若PCD的面积为2 ,求四棱锥P-ABCD的体积.(1)证明在平面ABCD内,因为BAD=ABC=90,所以BCAD.又BC平面PAD,AD平面PAD,故BC平面PAD.考点82考点83考点84(2)解取AD的中点M,连接PM,CM
3、.由AB=BC= AD及BCAD,ABC=90得四边形ABCM为正方形,则CMAD.因为侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,所以PMAD,PM底面ABCD.因为CM底面ABCD,所以PMCM.取CD的中点N,连接PN,则PNCD, 考点82考点83考点843.(2017浙江,19,12分,难度)如图,已知四棱锥P-ABCD,PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形,BCAD,CDAD,PC=AD=2DC=2CB,E为PD的中点.(1)证明:CE平面PAB;(2)求直线CE与平面PBC所成角的正弦值.考点82考点83考点84(1)证明如图,设PA中点为F,连接E
4、F,FB.因为E,F分别为PD,PA中点,所以EFAD且EF= AD,又因为BCAD,BC= AD,所以EFBC且EF=BC,即四边形BCEF为平行四边形,所以CEBF.因此CE平面PAB.(2)解分别取BC,AD的中点为M,N,连接PN交EF于点Q,连接MQ,因为E,F,N分别是PD,PA,AD的中点,所以Q为EF中点.在平行四边形BCEF中,MQCE.由PAD为等腰直角三角形得PNAD.由DCAD,N是AD的中点得BNAD.所以AD平面PBN.由BCAD得BC平面PBN,考点82考点83考点84那么平面PBC平面PBN.过点Q作PB的垂线,垂足为H,连接MH.MH是MQ在平面PBC上的射影
5、,所以QMH是直线CE与平面PBC所成的角.设CD=1.考点82考点83考点844.(2016全国3,文19,12分,难度)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,ADBC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明MN平面PAB;(2)求四面体N-BCM的体积.考点82考点83考点84(1)证明由已知得AM= AD=2.取BP的中点T,连接AT,TN,由N为PC中点知TNBC,TN= BC=2.又ADBC,故TNAM,四边形AMNT为平行四边形,于是MNAT.因为AT平面PAB,MN平面PAB,所以MN平面PAB.(2)解因为PA
6、平面ABCD,N为PC的中点,所以N到平面ABCD的距离为 PA.取BC的中点E,连接AE.考点82考点83考点845.(2016山东,文18,12分,难度)在如图所示的几何体中,D是AC的中点,EFDB.(1)已知AB=BC,AE=EC.求证:ACFB;(2)已知G,H分别是EC和FB的中点.求证:GH平面ABC.考点82考点83考点84证明(1)因为EFDB,所以EF与DB确定平面BDEF.连接DE.因为AE=EC,D为AC的中点,所以DEAC.同理可得BDAC.又BDDE=D,所以AC平面BDEF.因为FB平面BDEF,所以ACFB.(2)设FC的中点为I,连接GI,HI.在CEF中,因
7、为G是CE的中点,所以GIEF.又EFDB,所以GIDB.在CFB中,因为H是FB的中点,所以HIBC.又HIGI=I,所以平面GHI平面ABC.因为GH平面GHI,所以GH平面ABC.考点82考点83考点84 在解决线面、面面平行的判定问题时,一般遵循从“低维”到“高维”的转化,即从“线线平行”到“线面平行”,再到“面面平行”;而在应用性质定理时,其顺序恰好相反,但也要注意,转化的方向是由题目的具体条件而定,决不可过于“模式化”.考点82考点83考点846.(2015全国2,文19,12分,难度)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,点E,F分别在A1
8、B1,D1C1上,A1E=D1F=4,过点E,F的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.(1)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);(2)求平面把该长方体分成的两部分体积的比值.考点82考点83考点84解(1)交线围成的正方形EHGF如图:(2)作EMAB,垂足为M,则AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因为EHGF为正方形,所以EH=EF=BC=10.因为长方体被平面分成两个高为10的直棱柱,所以其体积的比值考点82考点83考点847.(2014全国2,文18,12分,难度)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA平面ABCD,E为PD的中点.(1)证明
9、:PB平面AEC;(2)设AP=1,AD= ,三棱锥P-ABD的体积V= ,求A到平面PBC的距离.考点82考点83考点84(1)证明设BD与AC的交点为O,连接EO.因为ABCD为矩形,所以O为BD的中点.又E为PD的中点,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.作AHPB交PB于H,由题设知BC平面PAB,所以BCAH.故AH平面PBC. 考点82考点83考点848.(2014安徽,文19,12分,难度)如图,四棱锥P-ABCD的底面是边长为8的正方形,四条侧棱长均为2 .点G,E,F,H分别是棱PB,AB,CD,PC上共面的四点,平面GEFH平面ABCD,BC平
10、面GEFH.(1)证明:GHEF;(2)若EB=2,求四边形GEFH的面积.(1)证明因为BC平面GEFH,BC平面PBC,且平面PBC平面GEFH=GH,所以GHBC.同理可证:EFBC,因此GHEF.考点82考点83考点84(2)解连接AC,BD交于点O,BD交EF于点K,连接OP,GK.因为PA=PC,O是AC的中点,所以POAC,同理可得POBD.又BDAC=O,且AC,BD都在底面内,所以PO底面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD,且PO平面GEFH,所以PO平面GEFH.因为平面PBD平面GEFH=GK,所以POGK,且GK底面ABCD,从而GKEF.所以GK是梯形GEFH的
11、高.由AB=8,EB=2,得EBAB=KBDB=14,考点82考点83考点84考点82考点83考点849.(2013全国2,文18,12分,难度)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别是AB,BB1的中点.(1)证明:BC1平面A1CD;(2)设AA1=AC=CB=2,AB=2 ,求三棱锥C-A1DE的体积.考点82考点83考点84(1)证明连接AC1交A1C于点F,则F为AC1中点.又D是AB中点,连接DF,则BC1DF.因为DF平面A1CD,BC1平面A1CD,所以BC1平面A1CD.(2)解因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AA1CD.由已知AC=CB,D为AB的中点,所
12、以CDAB.又AA1AB=A,于是CD平面ABB1A1.考点82考点83考点84考点83空间中的垂直关系1.(2019全国2,文17,12分,难度)如图,长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点E在棱AA1上,BEEC1.(1)证明:BE平面EB1C1;(2)若AE=A1E,AB=3,求四棱锥E-BB1C1C的体积.考点82考点83考点84(1)证明由已知得B1C1平面ABB1A1,BE平面ABB1A1,故B1C1BE.又BEEC1,所以BE平面EB1C1.(2)解由(1)知BEB1=90.由题设知RtABE RtA1B1E,所以AEB=A1EB1=45,故AE=AB=3,A
13、A1=2AE=6.作EFBB1,垂足为F,则EF平面BB1C1C,且EF=AB=3.所以,四棱锥E-BB1C1C的体积V= 363=18.考点82考点83考点842.(2019江苏,16,14分,难度)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为BC,AC的中点,AB=BC.求证:(1)A1B1平面DEC1;(2)BEC1E.考点82考点83考点84证明(1)因为D,E分别为BC,AC的中点,所以EDAB.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABA1B1,所以A1B1ED.又因为ED平面DEC1,A1B1平面DEC1,所以A1B1平面DEC1.(2)因为AB=BC,E为AC的中点,所以B
14、EAC.因为三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,所以C1C平面ABC.又因为BE平面ABC,所以C1CBE.因为C1C平面A1ACC1,AC平面A1ACC1,C1CAC=C,所以BE平面A1ACC1.因为C1E平面A1ACC1,所以BEC1E.考点82考点83考点843.(2018北京,文18,14分,难度)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD平面ABCD,PAPD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点.(1)求证:PEBC;(2)求证:平面PAB平面PCD;(3)求证:EF平面PCD.考点82考点83考点84证明(1)PA=PD,且E为AD的中点,PEAD.底面A
15、BCD为矩形,BCAD,PEBC.(2)底面ABCD为矩形,ABAD.平面PAD平面ABCD,AB平面PAD.ABPD.又PAPD,PAAB=A,PD平面PAB.PD平面PCD,平面PAB平面PCD.(3)如图,取PC的中点G,连接FG,GD.考点82考点83考点844.(2018江苏,15,14分,难度)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB,AB1B1C1.求证:(1)AB平面A1B1C;(2)平面ABB1A1平面A1BC.考点82考点83考点84证明(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.因为AB平面A1B1C,A1B1平面A1B1C,所以AB平面A
16、1B1C.(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,因此AB1A1B.又因为AB1B1C1,BCB1C1,所以AB1BC.又因为A1BBC=B,A1B平面A1BC,BC平面A1BC,所以AB1平面A1BC.因为AB1平面ABB1A1,所以平面ABB1A1平面A1BC.考点82考点83考点845.(2017全国1,文18,12分,难度)如图,在四棱锥P-ABCD中,ABCD,且BAP=CDP=90.(1)证明:平面PAB平面PAD;(2)若PA=PD=AB=DC,APD=90,且四棱锥P-ABCD的体积为 ,
17、求该四棱锥的侧面积.考点82考点83考点84(1)证明由已知BAP=CDP=90,得ABAP,CDPD.由于ABCD,故ABPD,从而AB平面PAD.又AB平面PAB,所以平面PAB平面PAD.(2)解在平面PAD内作PEAD,垂足为E.由(1)知,AB平面PAD,故ABPE,可得PE平面ABCD.考点82考点83考点846.(2017全国3,文19,12分,难度)如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD;(2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.考点82考点83考点84(1)
18、证明取AC的中点O,连接DO,BO.因为AD=CD,所以ACDO.又由于ABC是正三角形,所以ACBO.从而AC平面DOB,故ACBD.(2)解连接EO.由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO.在RtAOB中,BO2+AO2=AB2.又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2,故DOB=90.由题设知AEC为直角三角形,所以EO= AC.又ABC是正三角形,且AB=BD,所以EO= BD.故E为BD的中点,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的 ,四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的 ,即四面体ABCE与四面体ACDE的体积之比为11.考点82考点
19、83考点847.(2017山东,文18,12分,难度)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD.(1)证明:A1O平面B1CD1;(2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.考点82考点83考点84证明(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱,所以A1O1OC,A1O1=OC,因此四边形A1OCO1为平行四边形,所以A1OO1C.又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1,所以A1O平面B1CD1.(2)因为
20、ACBD,E,M分别为AD和OD的中点,所以EMBD,又A1E平面ABCD,BD平面ABCD.所以A1EBD,因为B1D1BD,所以EMB1D1,A1EB1D1.又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E,所以B1D1平面A1EM,又B1D1平面B1CD1,所以平面A1EM平面B1CD1.考点82考点83考点848.(2017江苏,15,12分,难度)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.考点82考点83考点84证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFA
21、D,所以EFAB.又因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.考点82考点83考点849.(2017北京,文18,12分,难度)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求
22、三棱锥E-BCD的体积.考点82考点83考点84(1)证明因为PAAB,PABC,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.(2)证明因为AB=BC,D为AC中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)解因为PA平面BDE,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.因为D为AC的中点,考点82考点83考点8410.(2016全国1,文18,12分,难度)如图,已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形,PA=6.顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G.(1)证明:G是AB的中点
23、;(2)在题图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积.考点82考点83考点84(1)证明因为P在平面ABC内的正投影为D,所以ABPD.因为D在平面PAB内的正投影为E,所以ABDE.所以AB平面PED,故ABPG.又由已知可得,PA=PB,从而G是AB的中点.(2)解在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影.理由如下:由已知可得PBPA,PBPC,又EFPB,所以EFPA,EFPC.因此EF平面PAC,即点F为E在平面PAC内的正投影.连接CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心.考点
24、82考点83考点84由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上, 由题设可得PC平面PAB,DE平面PAB, 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得考点82考点83考点8411.(2016江苏,16,12分,难度)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1DA1F,A1C1A1B1.求证:(1)直线DE平面A1C1F;(2)平面B1DE平面A1C1F.考点82考点83考点84证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C1AC.在ABC中,因为D,E分别为AB,BC的中点,所以DEAC,于是DEA1C1.又因为DE平面A1C
25、1F,A1C1平面A1C1F,所以直线DE平面A1C1F.(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,A1A平面A1B1C1.因为A1C1平面A1B1C1,所以A1AA1C1.又因为A1C1A1B1,A1A平面ABB1A1,A1B1平面ABB1A1,A1AA1B1=A1,所以A1C1平面ABB1A1.因为B1D平面ABB1A1,所以A1C1B1D.又因为B1DA1F,A1C1平面A1C1F,A1F平面A1C1F,A1C1A1F=A1,所以B1D平面A1C1F.因为直线B1D平面B1DE,所以平面B1DE平面A1C1F.考点82考点83考点8412.(2015全国1,文18,12分,难度)如图,四边
26、形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE平面ABCD.(1)证明:平面AEC平面BED;(2)若ABC=120,AEEC,三棱锥E-ACD的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.(1)证明因为四边形ABCD为菱形,所以ACBD.因为BE平面ABCD,所以ACBE.故AC平面BED.又AC平面AEC,所以平面AEC平面BED.考点82考点83考点84(2)解设AB=x,在菱形ABCD中,由ABC=120,可得考点82考点83考点8413.(2015湖南,文18,12分,难度)如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC1的中点.(1)证明:平面AEF平面B1B
27、CC1;(2)若直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45,求三棱锥F-AEC的体积.考点82考点83考点84(1)证明如图,因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以AEBB1.又E是正三角形ABC的边BC的中点,所以AEBC.因此,AE平面B1BCC1.而AE平面AEF,所以,平面AEF平面B1BCC1.(2)解设AB的中点为D,连接A1D,CD.因为ABC是正三角形,所以CDAB.又三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以CDAA1.因此CD平面A1ABB1,于是CA1D为直线A1C与平面A1ABB1所成的角.考点82考点83考点8414.(2015重庆,文20,12分,难度)如图
28、,三棱锥P-ABC中,平面PAC平面ABC,ABC= ,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EFBC.(1)证明:AB平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.考点82考点83考点84(1)证明如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰PDC中DC边的中点,故PEAC.又平面PAC平面ABC,平面PAC平面ABC=AC,PE平面PAC,PEAC,所以PE平面ABC,从而PEAB.因ABC= ,EFBC,故ABEF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB平面PFE.考点82考点83考点84考点82考点83
29、考点8415.(2015福建,文20,12分,难度)如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.(1)若D为线段AC的中点,求证:AC平面PDO;(2)求三棱锥P-ABC体积的最大值;(3)若BC= ,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.考点82考点83考点84(1)证明在AOC中,因为OA=OC,D为AC的中点,所以ACDO.又PO垂直于圆O所在的平面,所以POAC.因为DOPO=O,所以AC平面PDO.(2)解因为点C在圆O上,所以当COAB时,C到AB的距离最大,且最大值为1.考点82考点83考点84(3)解在POB中,PO=OB=
30、1,POB=90, 所以PB=PC=BC,所以CPB=60.在三棱锥P-ABC中,将侧面BCP绕PB旋转至平面BCP,使之与平面ABP共面,如图所示.当O,E,C共线时,CE+OE取得最小值.所以在OCP中,由余弦定理得考点82考点83考点8416.(2014全国1,文19,12分,难度)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO平面BB1C1C.(1)证明:B1CAB;(2)若ACAB1,CBB1=60,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.考点82考点83考点84(1)证明连接BC1,则O为B1C与BC1的交点.因为侧面BB1C1C为菱形,所
31、以B1CBC1.又AO平面BB1C1C,所以B1CAO,故B1C平面ABO.由于AB平面ABO,故B1CAB.(2)解作ODBC,垂足为D,连接AD.作OHAD,垂足为H.由于BCAO,BCOD,故BC平面AOD,所以OHBC.又OHAD,所以OH平面ABC.因为CBB1=60,所以CBB1为等边三角形,考点82考点83考点8417.(2014福建,文19,12分,难度)如图,三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.(1)求证:CD平面ABD;(2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.考点82考点83考点84(1)证明AB平面BCD,CD平面BCD,ABCD.
32、又CDBD,ABBD=B,AB平面ABD,BD平面ABD,CD平面ABD.(2)解由AB平面BCD,得ABBD,考点82考点83考点8418.(2014山东,文18,12分,难度)如图,四棱锥P-ABCD中,AP平面PCD,ADBC,AB=BC= AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(1)求证:AP平面BEF;(2)求证:BE平面PAC.考点82考点83考点84证明(1)设ACBE=O,连接OF,EC.由于E为AD的中点,AB=BC= AD,ADBC,所以AEBC,AE=AB=BC,因此四边形ABCE为菱形,所以O为AC的中点.又F为PC的中点,因此在PAC中,可得APOF.又OF平面BE
33、F,AP平面BEF,所以AP平面BEF.(2)由题意知EDBC,ED=BC.所以四边形BCDE为平行四边形,因此BECD.又AP平面PCD,所以APCD,因此APBE.因为四边形ABCE为菱形,所以BEAC.又APAC=A,AP,AC平面PAC,所以BE平面PAC.考点82考点83考点8419.(2013全国1,文19,12分,难度)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,BAA1=60.(1)证明:ABA1C;(2)若AB=CB=2,A1C= ,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.考点82考点83考点84(1)证明取AB的中点O,连接OC,OA1,A1B.因为CA=CB
34、,所以OCAB.由于AB=AA1,BAA1=60,故AA1B为等边三角形,所以OA1AB.因为OCOA1=O,所以 AB平面OA1C.又A1C平面OA1C,故ABA1C.(2)解由题设知ABC与AA1B都是边长为2的等边三角形,所以OC=OA1= .又A1C= ,则A1C2=OC2+O ,故OA1OC.因为OCAB=O,所以OA1平面ABC,OA1为三棱柱ABC-A1B1C1的高.又ABC的面积SABC= ,故三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=SABCOA1=3.考点82考点83考点8420.(2012全国,文19,12分,难度)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直底面,ACB=90
35、,AC=BC= AA1,D是棱AA1的中点.(1)证明:平面BDC1平面BDC;(2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.考点82考点83考点84(1)证明由题设知BCCC1,BCAC,CC1AC=C,所以BC平面ACC1A1.又DC1平面ACC1A1,所以DC1BC.由题设知A1DC1=ADC=45,所以CDC1=90,即DC1DC.又DCBC=C,所以DC1平面BDC.又DC1平面BDC1,故平面BDC1平面BDC.(2)解设棱锥B-DACC1的体积为V1,AC=1.又三棱柱ABC-A1B1C1的体积V=1,所以(V-V1)V1=11.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比
36、为11.考点82考点83考点8421.(2011全国,文18,12分,难度)如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,DAB=60,AB=2AD,PD底面ABCD.(1)证明:PABD;(2)设PD=AD=1,求棱锥D-PBC的高.考点82考点83考点84(1)证明因为DAB=60,AB=2AD,由余弦定理得BD= AD.从而BD2+AD2=AB2,故BDAD.又PD底面ABCD,可得BDPD.所以BD平面PAD.故PABD.(2)解如图,作DEPB,垂足为E.已知PD底面ABCD,则PDBC.由(1)知BDAD,又BCAD,所以BCBD.故BC平面PBD,BCDE.则DE平面PB
37、C.考点82考点83考点8422.(2010全国,文18,12分,难度)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为等腰梯形,ABCD,ACBD,垂足为H,PH是四棱锥的高.(1)证明:平面PAC平面PBD;(2)若AB= ,APB=ADB=60,求四棱锥P-ABCD的体积.考点82考点83考点84(1)证明因为PH是四棱锥P-ABCD的高,所以ACPH.又ACBD,PH,BD都在平面PBD内,且PHBD=H,所以AC平面PBD,故平面PAC平面PBD.考点82考点83考点84考点84折叠问题和探究性问题中的位置关系1.(2019全国3,文19,12分,难度)图1是由矩形ADEB,RtABC和菱形BF
38、GC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,FBC=60.将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图2. (1)证明:图2中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC平面BCGE;(2)求图2中的四边形ACGD的面积.考点82考点83考点84(1)证明由已知得ADBE,CGBE,所以ADCG,故AD,CG确定一个平面,从而A,C,G,D四点共面.由已知得ABBE,ABBC,故AB平面BCGE.又因为AB平面ABC,所以平面ABC平面BCGE.(2)解取CG的中点M,连接EM,DM.因为ABDE,AB平面BCGE,所以DE平面BCGE,故DECG.由已知,四边形BCGE是菱形,
39、且EBC=60得EMCG,故CG平面DEM.因此DMCG.在RtDEM中,DE=1,EM= ,故DM=2.所以四边形ACGD的面积为4.考点82考点83考点842.(2018全国1,文18,12分,难度)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC;(2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.考点82考点83考点84解(1)由已知可得,BAC=90,BAAC.又BAAD,所以AB平面ACD.又AB平面ABC,所以平面ACD平面ABC.由已
40、知及(1)可得DC平面ABC,所以QE平面ABC,QE=1.因此,三棱锥Q-APB的体积为VQ-考点82考点83考点843.(2018全国3,文19,12分,难度)如图,矩形ABCD所在平面与半(1)证明:平面AMD平面BMC;(2)在线段AM上是否存在点P,使得MC平面PBD?说明理由.考点82考点83考点84解(1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因为M为 上异于C,D的点,且DC为直径,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)当P为AM的中点时,MC平面
41、PBD.证明如下:连接AC交BD于O.因为ABCD为矩形,所以O为AC中点.连接OP,因为P为AM中点,所以MCOP.MC平面PBD,OP平面PBD,所以MC平面PBD.考点82考点83考点844.(2016全国2,文19,12分,难度)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;考点82考点83考点84(1)证明由已知得ACBD,AD=CD. 由此得EFHD,EFHD,所以ACHD. 所以OH=1,DH=DH=3. 故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以A
42、C平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以,OD平面ABC.考点82考点83考点84 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变化量和不变量.一般情况下,折线同一侧线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(2)综合折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.考点82考点83考点845.(2016北京,文18,12分,难度)如图,在四棱锥P-ABCD中,PC平面ABCD,ABDC,DCAC.(1)求证:DC平面PAC;(2)求证:平面PAB平面PAC;(3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA平面CEF
43、?说明理由.考点82考点83考点84(1)证明因为PC平面ABCD,所以PCDC.又因为DCAC,所以DC平面PAC.(2)证明因为ABDC,DCAC,所以ABAC.因为PC平面ABCD,所以PCAB.所以AB平面PAC.所以平面PAB平面PAC.(3)解棱PB上存在点F,使得PA平面CEF.证明如下:取PB中点F,连接EF,CE,CF.又因为E为AB的中点,所以EFPA.又因为PA平面CEF,所以PA平面CEF.考点82考点83考点846.(2015陕西,文18,12分,难度)如图,在直角梯形ABCD中,ADBC,BAD= ,AB=BC= AD=a,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将A
44、BE沿BE折起到图中A1BE的位置,得到四棱锥A1-BCDE.(1)证明:CD平面A1OC;(2)当平面A1BE平面BCDE时,四棱锥A1-BCDE的体积为36 ,求a的值.考点82考点83考点84即在题图中,BEA1O,BEOC,从而BE平面A1OC,又CDBE,所以CD平面A1OC.(2)解由已知,平面A1BE平面BCDE,且平面A1BE平面BCDE=BE,又由(1),A1OBE,所以A1O平面BCDE,即A1O是四棱锥A1-BCDE的高.S=BCAB=a2. 考点82考点83考点847.(2014广东,文18,12分,难度)如图1,四边形ABCD为矩形,PD平面ABCD,AB=1,BC=
45、PC=2.作如图2折叠:折痕EFDC,其中点E,F分别在线段PD,PC上,沿EF折叠后点P叠在线段AD上的点记为M,并且MFCF.(1)证明:CF平面MDF;(2)求三棱锥M-CDE的体积.考点82考点83考点84(1)证明PD面ABCD,且PD面PCD,面PCD面ABCD,交线为CD.又四边形ABCD为矩形,ADCD,AD面ABCD,MD面PCD.又由于CF面PCD,MDCF.MFCF,且MDMF=M,CF面MDF.考点82考点83考点84CF面MDF,DF面MDF,CFDF.在RtPCD中,CD=1,PC=2,PCD=60,且CD=1,考点82考点83考点848.(2013广东,文18,1
46、2分,难度)如图1,在边长为1的等边三角形ABC中,D,E分别是AB,AC上的点,AD=AE,F是BC的中点,AF与DE交于点G.将ABF沿AF折起,得到如图2所示的三棱锥A-BCF,其中BC= .(1)证明:DE平面BCF;(2)证明:CF平面ABF;(3)当AD= 时,求三棱锥F-DEG的体积VF-DEG.考点82考点83考点84(1)证明在等边三角形ABC中,AD=AE, DE平面BCF,BC平面BCF,DE平面BCF.(2)证明在等边三角形ABC中,F是BC的中点,BC=1,AFCF,BF=CF= .在三棱锥A-BCF中,BC= ,BC2=BF2+CF2.CFBF.BFAF=F,CF平
47、面ABF.考点82考点83考点84(3)解由(1)可知GECF,结合(2)可得GE平面DFG.考点82考点83考点849.(2012北京,文16,12分,难度)如图1,在RtABC中,C=90,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点.将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图2.(1)求证:DE平面A1CB;(2)求证:A1FBE;(3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C平面DEQ?说明理由.考点82考点83考点84(1)证明因为D,E分别为AC,AB的中点,所以DEBC.又因为DE平面A1CB,所以DE平面A1CB.(2)证明由已知得ACBC且DEBC,所以DEAC.所以DEA1D,DECD.所以DE平面A1DC.而A1F平面A1DC,所以DEA1F.又因为A1FCD,所以A1F平面BCDE.所以A1FBE.
