1、第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.理解一元二次方程的概念理解一元二次方程的概念. 2.掌握一元二次方程的一般形式掌握一元二次方程的一般形式. （重点）（重点）3.了解一元二次方程的根的概念了解一元二次方程的根的概念. （重点）（重点）4.能根据实际问题列一元二次方程能根据实际问题列一元二次方程. （重点、难点）（重点、难点）学习目标新课导入知识回顾判断下列式子是否是一元一次方程：20.35x =+ +96.52x=+ +112x=+-+-一元一次方程（1）只有一个一个未知
2、数（2）未知数的指数是一次一次（3）方程的两边都是整式整式新课导入情境导入 在设计人体雕像时， 使雕像的上部 (腰以上)与下部(腰以下) 的高度比， 等于下部与全部(全身)的高度比， 可以增加视觉美感按此比例，如果雕像的高为2 m，那么它的下部应设计为多高?解：如图，雕像的上部高度解：如图，雕像的上部高度AC与下部高度与下部高度BC应有关应有关系：系： AC BCBC 2，即，即BC22AC.设雕像下部高设雕像下部高 x m，可得方程，可得方程x22(2x).整理，得整理，得x22x40.ACB新课导入x22x40这个方程与我们学过的一元一次方程不同，其中未知数x的最高次数是2. 思考（1）如
3、何解这类方程?（2）如何用这类方程解决一些实际问题?新课讲解 知识点1 一元二次方程的定义合作探究 问题一：如图，有一块矩形铁皮，长100 cm，宽50 cm在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒如果要制作的无盖方盒的底面积是3 600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形?新课讲解 设切去的正方形的边长是设切去的正方形的边长是 x cm，则盒底，则盒底的长为的长为(1002x)cm，宽为，宽为(502x)cm.根据方盒的底面积为根据方盒的底面积为3 600cm2，得，得 (1002x)(502x)3 600.整理，得整理，得 4x2300 x1 40
4、0=0.化简，得化简，得 x275x350=0.解上面方程即可得出所切正方形的具体尺寸解上面方程即可得出所切正方形的具体尺寸.x cm(100-2x) cm(50-2x) cm化简后的方程中未化简后的方程中未知数的个数和最高知数的个数和最高次数各是多少？次数各是多少？分析：分析：新课讲解 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？全部比赛场数为全部比赛场数为 47=28.设应邀请设应邀请 x 个队参赛，每个队要与其他个队参赛，每个队要与其他 (x1) 个队各赛一场，个队各赛一场，因为甲队对
5、乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共以全部比赛共 场场.列方程列方程 .整理，得整理，得 . 解上面方程即可得出参赛队数解上面方程即可得出参赛队数.()x x112-()x x11282-=xx256-=分析：分析：（2）方程中只含有 未知数，未知数的最高次数是 （1）这些方程的两边都是 整式2观察由上面的问题得到的方程有什么特点？新课讲解讨论 等号两边都是等号两边都是整式整式，只含有，只含有一个未知数一个未知数(一元一元)，并且未知，并且未知数的数的最高次数是最高次数是2(二次二次)的方程，叫做一元二次方程的方程，叫做
6、一元二次方程结论x2x=56 x275x+350=0 x2+2x4=0 一个新课讲解例 1 下列方程：x2y60；x2 2；x2x20； x225x36x0； 2x23x2(x22)，其中是一元二 次方程的有 个. 1x1含有两个未知数含有两个未知数.不是整式方程不是整式方程.未知数的最高次数不是未知数的最高次数不是2.整理后未知数的最高次数不是整理后未知数的最高次数不是2.符合一元二次方程的符合一元二次方程的“三要素三要素”.分析：分析：典例分析新课讲解练一练如果方程(m3)xm27x 30是关于x一元二次方程，那么m的值为()A3 B3 C3 D以上都不对下列关于x的方程一定是一元二次方程
7、的是()Aax2bxc0 Bx21x20Cx2 2 Dx2x201xDC12新课讲解 知识点2 一元二次方程的一般形式为什么要为什么要限制限制a 0， b， c可以可以为为0吗？吗？ 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax+bx+c=0 (a0) 这种形式叫做一元二次方程的一般形式 .新课讲解 a x 2 + b x + c = 0(a 0)二次项系数一次项系数二次项一次项常数项指出方程各项的指出方程各项的系数时要带上前系数时要带上前面的符号面的符号哟哟. 二次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项：新课讲解例 2 将方程3x(x1)5(x2)化成一元二次方
8、程的一般形式，并 写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项典例分析解：解：去括号，得去括号，得3x23x5x10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x28x100.所以二次项系数为所以二次项系数为3，一次项系数为，一次项系数为8，常数项为常数项为10.新课讲解知识点3 一元二次方程的解使方程使方程左右两边相等左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方的未知数的值就是这个一元二次方程的程的解解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根根.练一练下面哪些数是方程 x2 4x +3 = 0 的解? -2，0 ，1
9、，2，3，4.解解：1和和3.新课讲解例 3 已知a是方程 x2+2x-2=0 的一个实数根，求 3a2+6a+ 2 019的值. 典例分析解：解： 由题意，得由题意，得a2+2a-2=0，即，即a2+2a=2. 3a2+6a+2 019=3(a2+2a)=32 +2 019=2 025.已知方程的解求已知方程的解求代数式的值代数式的值，一般先一般先把已知解把已知解代入方程，代入方程，得到等式，得到等式，将所求代数式的将所求代数式的一部分看作一个整体，再用一部分看作一个整体，再用整体思想整体思想代入求代入求值值课堂小结一元二次方程一元二次方程只含有一个未知数只含有一个未知数未知数的最高次数是未
10、知数的最高次数是2 2是整式方程是整式方程ax2+bx+c=0(a0)一元二次方程的概念一元二次方程的概念一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式一元二次方程的解（根）一元二次方程的解（根）二次项系数二次项系数一一次项系数次项系数常数项常数项1. 一元二次方程3x2=5x的二次项系数和一次项系数分别 是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，-5 D. 5，0C当堂小练2. 下列哪些数是方程x2+x-12=0的根？ 4， 3， 2， 1， 0， 1， 2， 3， 4.解：解：4， 3.当堂小练3. 根据下列问题列方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. 有一根1 m长的铁丝，怎样用它
11、围一个面积为0.06 m2的平 方的长方形?解：解：设长方形的长为设长方形的长为x m，则宽为，则宽为(0.5-x)m. 根据题意，得根据题意，得x(0.5-x)=0.06. 整理，得整理，得50 x2-25x+3=0.D拓展与延伸1. 若a+b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 . 2. 若a-b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 . 3. 若4a+2b+c=0，则一元二次方程ax2+bx+c必有一解为 . 1-1221.2 解一元二次方程21.2.1配方法 课时2 配方法第二十一章 一元二次方程目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课
12、堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程理解配方的基本过程，会运用配方法解一元二次方程. （重点）（重点） 2.经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，经历探索利用配方法解一元二次方程的过程，体会转化的数学思想体会转化的数学思想. 学习目标新课导入知识回顾解下列方程：(1)2x=8 (2)(x+3)-25=0(3)9x+6x+1=4直接开平方法新课导入知识回顾因式分解的完全平方式，你还记得吗?.2;2)()(222222babababaabab完全平方式新课导入课时导入(1)x+10 x+ =(x+ )(2)x-12x+ =(x- )(3)
13、x+5x+ =(x+ )(4)x- x+ =(x- )(5)4x+4x+ =(2x+ )32655611新课导入课时导入 移项两边加上两边加上3 32 2, ,使左边配成使左边配成完全平方式完全平方式左边写成完全平方的形式左边写成完全平方的形式开平方开平方变成了变成了(x+h)2=k的形式的形式想一想如何解方程？想一想如何解方程？x2+6x+4=0新课导入思考 以上解法中,为什么在方程 两边加9?加其他数行吗?像上面那样,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,这个方程怎样解？变形为的形式（为非负常数）变形为x28x10(x4)2=15x2-8x+16=-1+16叫做配方法.新课讲解知识点
14、1 一元二次方程配方的方法 例1 用利用完全平方式的特征配方，并完成填空 (1)x210 x_(x_)2； (2)x2(_)x 36x(_)2； (3)x24x5(x_)2_25512629导引：配方就是要配成完全平方，根据完全平方式的结构特征，当二次项系数为1时， 常数项是一次项系数一半的平方例新课讲解归纳 当二次项系数为当二次项系数为 1 1 时时， 已知一次项的系数，已知一次项的系数，则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则则常数项为一次项系数一半的平方；已知常数项，则一次项系数为常数项的平方根的两倍一次项系数为常数项的平方根的两倍注意有两个注意有两个新课讲解练一练1.填空：(1)
15、x210 x_(x_)2；(2)x212x_(x_)2；(3)x25x_(x_)2；(4)x2 x_(x_)2.2.将代数式a24a5变形，结果正确的是()A(a2)21 B(a2)25C(a2)24 D(a2)2923255366 D新课讲解3.将代数式 x210 x5 配方后，发现它的最小值为()A 30 B 20 C 5 D04.不论x，y为何实数，代数式 x2y22x4y7的值()A总不小于2 B总不小于7 C可为任何实数 D可能为负数BA新课讲解知识点2 用配方法解一元二次方程x26x40(x3)25这种方程这种方程怎样解？怎样解？ 变形为变形为2 a的形式(a为非负常数)变形为变形
16、为新课讲解解： 常数项移到“”右边2 解方程：3x26x40.移项，得 3x26x4二次项系数化为1，得配方，得因为实数的平方不会是负数，所以 x取任 何实数时， (x1)2 都是非负数， 上式都不成立， 即原方程无实数根x22x .43 x22x 12 12.43 (x1)2 .13 两边同时除以3两边同时加上二次项系数一半的平方例新课讲解3 解下列方程 (1)x28x10； (2)2x213x. (1) 方程的二次项系数为1，直接运用配方法 (2) 先把方程化成2x23x10.它的二次项系数 为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1， 为此方程的两边都除以2.分析：分析： 例解： (1)
17、移项，得x28x1. 配方，得x28x42142，(x4)215. 由此可得415,x ,.12415415xx新课讲解新课讲解(2) 移项，得 2x23x1. 二次项系数化为1，得 配方，得 由此可得=.x231416 231.22xx 2223313.2424xx 31,44x 1211,2xx课堂小结用配方法解一元二次方程的步骤:w1.化1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数);w2.移项:把常数项移到方程的右边;w3.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方;w4.变形:方程左边分解因式,右边合并同类项;w5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方;w6.求解:解一元一次
18、方程;w7.定解:写出原方程的解.当堂小练1. 用配方法解下列方程，其中应在方程左右两边同时加 上4的是()Ax24x5 B2x24x5Cx22x5 Dx22x52.用配方法解方程x28x90，变形后的结果正确的 是()A(x4)29 B (x4)27C(x4)225 D (x4)27AD当堂小练3.下列用配方法解方程2x2x60，开始出现错误的步骤是() 2x2x6， ， ， A B C D2132xx21113244xx2113.24xC当堂小练4.解下列方程： (1)x2x 0; (2)x(x4)8x12.74222拓展与延伸 般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成 (xn)2p 的形
19、式，那么就有：(1)当p0时，方程有两个不等的实数根 (2)当p0时，方程有两个相等的实数根x1x2n；(3)当p 0 时，方程有两个不相等的实数根； 当 0 时，方程有两个相等的实数根； 当 0. 方程有两个不等的实数根1211,.5xx 24( 4)3646.22 510bbacxa 即即新课讲解 (3)方程化为x28x170. a1，b8，c17. b24ac(8)2411740. 方程无实数根课堂小结公式法求解一元二次方程的步骤：一元二次方程化成 ax2+bx+c=0(a0) 的形式a=？ b=？ c=？求b24ac0？无实数根否套公式求解是当堂小练1.一元二次方程 的根是()A B
20、C D 22 260 xx122,3 2xx 122,3 2xx 122xx120,2 2xx C当堂小练2.已知4个数据： ，2 ，a，b，其中a，b是方程x22x10的两个根，则这4个数据的中位数是()A1 B. C2 D.2122122 A当堂小练3.关于 x 的一元二次方程 (k+1)x2-2x+1=0 有两个实数根，则 k 的取值范围是( )Ak0 Bk0 Ck0，12797797,44xx (3) 因式分解，得(3x2)3 (3x2)50， 即 (3x1)(3x3)0， x1 ，x21.13课堂小结因式分解法概 念步 骤简记歌诀：右化零 左分解两因式 各求解如果 a b =0，那么
21、a=0或b=0.原 理将方程左边因式分解，右边=0.因式分解的方法有ma + mb + mc = m(a+ b+ c);a2 2ab+b2=(a b)2；a2 -b2=(a + b)(a-b).课堂小结解一元二次方程的方法的选择技巧 若一元二次方程可化为 (mx+n)2=p(m0，p0) 的形式，则宜选用直接开平方法； 若一元二次方程的二次项系数为 1，一次项系数为偶数，则宜选用配方法； 若一元二次方程整理后右边为 0，且左边能进行因式分解，则宜选用因式分解法； 若直接开平方法、配方法、因式分解法都不简便，则宜选用公式法。当堂小练1.一元二次方程(x-3)(x-5)=0的两根分别为（ ） A.
22、3，-5 B.-3，-5 C.-3，5 D.3，52.一元二次方程x(x-2)=2-x的根是（ ） A.-1 B.2 C.1和2 D.-1和23.方程x2-3x+2=0的根是 .4. 方程 的根是 .DDx1=1, x2=2122 3xx 24 312 0 xx当堂小练5. 用适当方法解下列方程：（1）(2x+3)2-25=0; （2）x2+5x+7=3x+11；解：化简，得 4x2+12x+9-25=0 x2+3x-4=0 分解因式，得 (x-1)(x+4)=0 x1=1, x2=-4解：化简，得 x2+2x=4 x2+2x+1=5 (x+1)2=5121515,15xxx 拓展与延伸一元二
23、次方程解法的比较方法理论依据适用方程关键步骤主要特点直接开平方法平方根的定义(ax+b)2=n(a0，n0)型方程开平方求解迅速、准确，但只适用于一些特殊结构的方程因式分解法若ab=0，则 a=0或b=0能化为一边为0，另一边为两个因式乘积的形式的方程分解因式求解迅速、准确，但适用范围小配方法完全平方公式所有一元二次方程配方解法烦琐，当二次项系数为1时用此法比较简单公式法配方所有一元二次方程代入求根公式计算量大，易出现符号错误21.2 解一元二次方程21.2.4一元二次方程的根与系数的关系第二十一章 一元二次方程目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练
24、6 拓展与延伸7 布置作业1.探索一元二次方程的根与系数的关系探索一元二次方程的根与系数的关系. （难点）（难点） 2.不解方程的情况下利用一元二次方程的根与不解方程的情况下利用一元二次方程的根与系数的关系解决问题系数的关系解决问题. （重点）（重点） 学习目标新课导入知识回顾1. 写出一元二次方程的一般式：2. 一元二次方程求根公式.1,2242bbacxa ax2bxc0(a0)新课导入课时导入 方程ax2bxc0(a0)的求根公式 不仅表示可以由方程的系数a，b，c决定根的值，而且反映了根与系数之间的联系， 一元二次方程根与系数之间的联系还有其他表现方式吗? 2,42bbacxa新课讲解
25、知识点1 一元二次方程的根与系数的关系 【思考1】 从因式分解法可知，方程(xx1)(xx2)0 ( x1，x2为已知数 ) 的两根为 x1 和 x2，将方程化为x2pxq0的形式，你能看出x1，x2与p，q之间的关系吗?方程两个根的和、积与系数分别有如下关系： x1x2p，x1x2q.新课讲解 【思考2】 一般的一元二次方程ax2bxc0中，二次项系数a未必是1， 它的两个根的和、积与系数又有怎样的关系呢?新课讲解知识点知识点 由求根公式知1222 4422bbacbbacxxaa 12224422bbacbbacxxaa 22bbaa 12224422bbacbbacx xaa 22222
26、)()(4444cabbacacaa 新课讲解方程的两个根x1，x2和系数a，b，c有如下关系：这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为： 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比1212,.bcxxx xaa 满足上述关系的前提条件b2-4ac0.新课讲解1 根据一元二次方程的根与系数的关系，求 下列方程两个根x1，x2的和与积： (1) x26x150 (2) 3x27x90； (3) 5x14x2. 解： (1)x1x2(6)6，x1x215. (3)方程化为4x25x10，121279(2)3.33xxx x ，121.4x x 125
27、5=44xx ，例新课讲解练一练1若x1，x2是一元二次方程x2 4x50的两根，则x1x2的值为()A5 B5 C4 D4已知x1，x2是一元二次方程x22x0的两个实数根，则下列结论错误的是()Ax1 x2 B x122x10 Cx1x2 2 D x1 x2 22AD新课讲解3不解方程，求下列方程两个根的和与积：(1) x23x15； (2) 3x2214x；(3) 5x214x2x；(4) 2x2x23x1.解： 150， x1x2(3)3，x1x215.新课讲解新课讲解知识点2 一元二次方程根与系数关系的应用2 已知一元二次方程x26xq0有一个根为2， 求方程的另一个根和 q 的值导
28、引：利用两根之和与积求解例新课讲解解： 设这个方程的另一个根为m，则 m26，2mq. m4， q8. 当q 8时，=(-6)2-48=40， 另一个根为4，q的值为8. 课堂小结若方程ax2+bx+c=0(a0)的两个根分别为x1，x2，则若方程x2+px+q=0有两个实根x1，x2，则x1+x2= -p, x1x2=q.1212,.bcxxx xaa 当堂小练1. 早期，甲肝流行，传染性很强，曾有 2 人同时患上甲肝.在一天内，一人平均能传染 x 人，经过两天传染后 128 人患上甲肝，则 x 的值为( )A.10 B.9 C.8 D.7D分析：依题意得 2+2x+x(2+2x)=128，
29、解得 x1=7，x2=-9(不合题意，舍去)故 x 的值为7当堂小练2. 参加足球联赛的每两队之间都进行了两次比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共有多少个队参加了比赛？解：设共有x个队参加了比赛. 依题意x(x-1)=90. 解得x1=10, x2=-9(舍去).答：共有10个队参加了比赛.当堂小练3.两个相邻偶数的积是168.求这两个偶数的和解：设较小的偶数为 x，则另一个偶数为 (x+2)，依题意，得 x(x+2)=168，解得 x1=12，x2=-14，x+2=14或 x+2=-12，x+(x+2)=26答：这两个偶数的和为26拓展与延伸一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 的根
30、与系数的关系数学语言文字语言一元二次方程的两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两个根的积等于常数项与二次项系数的比.使用条件1.方程是一元二次方程，即二次项系数不为 0；2.方程有实数根，即 0.重要结论1.若一元二次方程 x2+px+q=0 的两根为 x1，x2，则 x1+x2=-p，x1x2=q.2.以实数 x1，x2 为两根的二次项系数为1的一元二次方程是 x2-(x1+x2)x+x1x2=0. 21.3 实际问题与一元二次方程课时1传播问题、循环问题和数字问题第二十一章 一元二次方程目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展
31、与延伸7 布置作业1.会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程会分析实际问题中的数量关系并会列一元二次方程. （重点）（重点）2.正确分析问题中的数量关系正确分析问题中的数量关系. （难点）（难点）3.会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题会找出实际问题中的相等关系并建模解决问题. 学习目标新课导入知识回顾1.解一元二次方程有哪些方法？直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法2.列一元二次方程解应用题的步骤？审题，设出未知数， 找等量关系，列方程， 解方程， 验根，答. 新课导入课时导入 同一元一次方程、二元一次方程(组)等一样，一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型
32、本节继续讨论如何利用一元二次方程解决实际问题新课讲解知识点1 传播问题1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人 患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人?分析：设每轮传染中平均一个人传染了x个人. 我们把传染源记作A，则其传染示意图如下： 例新课讲解小明第1轮第1轮传染后人数x+1第2轮传染后人数x(x+1)+x+1小明12x第2轮新课讲解知识点知识点x1= , x2= 根据示意图，列表如下： 10-12 (不合题意,舍去).10解:设每轮传染中平均一个人传染了x 个人.(1+x)2=121传染源人数第1轮传染后的人数第2轮传染后的人数 11+x=(1+x)11+x+x(1+x)=
33、(1+x)2注意:列一元二次方程解应用题要注意检验方程的根是否符合题意，要把不符合题意的根舍去.新课讲解传染源新增患者人数本轮结束患者总人数第一轮 1 1x=x 1+x第二轮 1+x (1+x)x 1+x+(1+x)x=第三轮 第 n 轮如果按这样的传染速度，n 轮传染后有多少人患了流感？(1+x)2(1+x)n(1+x)3经过n轮传染后共有 (1+x)n 人患流感.(1+x)2(1+x)2x(1+x)2+(1+x)2x=(1+x)n-1(1+x)n-1x新课讲解练一练早期，甲肝流行，传染性很强，曾有2人同时患上甲肝在一天内，一人平均能传染x人，经过两天传染后128人患上甲肝，则x的值为()A
34、10B9C8D7D1新课讲解某生物实验室需培育一群有益菌现有60个活体样本，经过两轮培植后，有益菌总和达24 000个，其中每个有益菌每一轮可分裂出若干个相同数目的有益菌(1)每轮分裂中每个有益菌可分裂出多少个有益菌?(2)按照这样的分裂速度，经过三轮培植后共有多 少个有益菌?2新课讲解解：(1) 设每轮分裂中每个有益菌可分裂出x个有益菌， 根据题意，得 60(1x)224 000. 解得x119，x221(不合题意，舍去) 答：每轮分裂中每个有益菌可分裂出19个有益菌 (2) 60(119)360203480 000(个) 答：经过三轮培植后共有480 000个有益菌新课讲解知识点2 循环问
35、题2 要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排15场比赛，应邀请多少个球队参加比赛 ?例新课讲解设应邀请x个球队参加比赛，可得到方程可化为x2x30=0解得 x1=6, x2=5 (舍去)所以应邀请6个球队参加比赛.解：(1)15,12x x 新课讲解知识点3 数字问题3 有一个两位数等于其各位数字之积 的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数.例新课讲解解： 设这个两位数个位数字为x，则十位数字为 (x2)，这个两位数字是10 (x2) + x.根据题意，得10 (x2) +x=3x (x2)整理，得3x217x+20=0解得， x1=4, x2= (不合题
36、意，舍去)当x=4时，x2=2，这个两位数是24.53课堂小结建立一元二次方程方程实际问题分析数量关系 设未知数实际问题的解解一元二次方程一元二次方程的根检 验运用一元二次方程方程解决实际问题的步骤：答当堂小练1. 生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向 本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182 件，如果全组有x名同学，那么根据题意列出 的方程是( ) A. x(x+1)=182 B. x(x-1)=182 C. 2x(x+1)=182 D. x(1-x)=1822B当堂小练2. 参加足球联赛的每两队之间都进行了两次 比赛（双循环比赛），共要比赛90场，共 有多少个队参加了比赛？解：设共有x
37、个队参加了比赛. 依题意x(x-1)=90. 解得x1=10, x2=-9(舍去).答：共有10个队参加了比赛.当堂小练3. 一个数字和为10的两位数,把个位与十位数字对 调后得到一个两位数,这两个两位数之积是2296, 则这个两位数是多少？解：设这个数十位上数字为x,则个位数字为(10-x), 原数为10 x+(10-x)=9x+10. 对调后得到的数为10(10-x)+x=100-9x. 依题意(9x+10)(100-9x)=2296. 解得 x1=8, x2=2. 当x=8时，这个两位数是82；当x=2时，这个两位数是28.答：这个两位数是82或28.拓展与延伸 列方程解实际问题时要注意
38、以下两点：列方程解实际问题时要注意以下两点： (1) (1)求得的结果需要检验，看是否符合问题求得的结果需要检验，看是否符合问题的实际意义的实际意义. . (2)(2)设未知数可直接设元，也可间接设元设未知数可直接设元，也可间接设元. .21.3 实际问题与一元二次方程课时2变化率问题和利润问题第二十一章 一元二次方程目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题掌握建立数学模型以解决增长率与降低率问题. （重点）（重点） 2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程正确分析问题中的数量
39、关系并建立一元二次方程模型模型. （难点）（难点） 学习目标新课导入知识回顾列一元二次方程解决实际问题的步骤？审题，设出未知数， 找等量关系，列方程， 解方程， 验根，答. 新课导入课时导入第三年种的水稻平均每公顷的产量为 . 第一年平均每公顷产8 000 kg第二年种的水稻平均每公顷的产量为 ； 新课讲解知识点1 有关增长/下降率的问题1 两年前生产1t甲种药品的成本是5000元，生产1t乙种药品的成本是6000元，随着生产技术的进步，现在生产1t甲种药品的成本是3000元，生产1t乙种药品的成本是3600元，哪种药品成本的年平均下降率较大?下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关
40、系？下降率是什么意思？它与原成本、终成本之间有何数量关系？例新课讲解下降率是下降额与原成本的比值；下降率= 100% 原成本终成本原成本新课讲解知识点知识点如果甲种药品成本平均每年的下降率为x，则下降一次后的成本变为 ，再次下降后的成本变为 .（用代数式表示）设甲种药品成本平均每年的下降率为x，由等量关系 可得方程 ，解这个方程，得到方程的两根，根据问题的实际意义，应选择哪个根呢？为什么？5000(1-x)5000(1-x) 2终成本=原成本(1下降率)25000(1-x)2=3000新课讲解 应选择x1=0.225.因为根据问题的实际意义，成本的年平均下降率应是小于1的正数.22215000
41、 1300031515150.225,1.7()()75xxxxx 解解： 新课讲解 设乙种药品成本平均每年的下降率为 y ， 则由等量关系 可得方程 . 解方程，得 y10.225，y21.775.根据问题的实际意义，乙种药品成本的年平均下降率约为22.5%.综上所述，甲乙两种药品成本的年平均下降率相同，都是22.5%.终成本=原成本(1下降率)26000(1-y)2=3600新课讲解思考：经过计算，你能得出什么结论？成本下降额大的药品， 它的成本下降率一定也大吗? 应怎样全面地比较几个 对象的变化状况?答：甲乙两种药的平均下降率相同；成本下降额较大的药 品， 它的成本下降率不一定较大.不但
42、要考虑它们的 平均下降额，而且要考虑它们的平均下降率.新课讲解练一练某种品牌运动服经过两次降价，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是()A560(1x)2315 B560(1x)2315C560(12x)2315 D560(1x2)315B1新课讲解某商场第一季度的利润是82.75万元，其中一月份的利润是25万元，若利润平均每月的增长率为x，则依题意列方程为()A25(1x)282.75B2550 x82.75C2525(1x)282.75D251(1x)(1x)282.75D2新课讲解知识点2 销售利润
43、问题 2 某特产专卖店销售核桃,其进价为每千克40元， 按每千克60元出售,平均每天可售出100千克, 后来经过市场调查发现,单价每降低2元,则平均每天的销售可增加20千克,若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元,请回答:在平均每天获利不变的情况下,为尽可能让利于顾客,赢得市场, 该店应按原售价的几折出售?例新课讲解解： 设每千克核桃应降价x元，则每千克利润(60-40-x) 元，此时可销售(100+20 )千克 ， 根据题意,得 (60-40-x)(100+ 20 )=2240. 化简,得 x2-10 x+24=0, 解得x1=4， x2=6 每千克核桃应降价4元或6元 要尽可能让
44、利于顾客， 每千克核桃应降价6元. 此时,售价为60-6=54(元) ， 100%=90%.答: 该店应按原售价的九折出售.2x2x5460课堂小结平平均均变变化化率率问问题题增长率问题增长率问题a a(1+(1+x x) )2 2= =b b，其中，其中 a a 为增长前的量，为增长前的量，x x 为为增长率，增长率，2 2 为增长次数，为增长次数，b b 为增长后的量为增长后的量. .降低率问题降低率问题a a(1-(1-x x) )2 2= =b b，其中，其中 a a 为降低前的量，为降低前的量，x x 为降低率，为降低率，2 2 为降低次数，为降低次数，b b 为降低为降低后的量后的
45、量. .注意注意 1 1 与与 x x 位置不可调换位置不可调换. .当堂小练1. 某厂今年一月的总产量为500吨,三月的总产量为720吨, 平均每月增长率是x,列方程为( ) A.500(1+2x)=720 B.500(1+x)2=720 C.500(1+x2)=720 D.720(1+x)2=5002. 受全球金融危机的影响，2015年某家电商城的销售额 由第二季度的800万元下降到第四季度的648万元，则 该商城第三、四季度的销售额平均下降的百分率为( ) A.10% B.20% C.19% D.25%BA当堂小练3.英国伦敦成功申办了第 30 届奥运会，伦敦市政府积极改善城市容貌，绿化
46、环境，计划从 2010年到 2012年两年时间，绿地面积增加 44%，这两年平均每年绿地面积的增长率是( )B分析：设这两年平均每年绿地面积的增长率为 x，根据题意得 (1+x)2=1+44%，解得 x1=-2.2(舍去)，x2=0.2所以这两年平均每年绿地面积的增长率为20%，故选BA.19% B.20%C.21% D.22%当堂小练4. 商店里某种商品在两个月里降价两次，现在该商品每件的价格比两个月前下降了36，问平均每月降价百分之几？解：设平均每月降价的百分率为x. 依题意，(1-x)2=1-36% 解得x1=0.2，x2=1.8(舍去)答：平均每月降价20%.拓展与延伸 列一元二次方程
47、解决利润问题的“一二三”1.一个相等关系:单件利润销售数量=总利润.2.两个量:单件利润、销售数量是较难表示的两个量.3.三检验:列方程后检验每项意义、检验方程根求解 是否正确、作答前验根是否符合实际.21.3 实际问题与一元二次方程课时3几何图像的面积问题第二十一章 一元二次方程目 录CONTENTS1 学习目标2 新课导入3 新课讲解4 课堂小结5 当堂小练6 拓展与延伸7 布置作业1.掌握面积法建立一元二次方程的数学模型掌握面积法建立一元二次方程的数学模型. （难点）（难点） 2.能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题能运用一元二次方程解决与面积有关的实际问题. （重点）（重点） 学
48、习目标新课导入知识回顾新课导入课时导入 很多实际问题可以通过一元二次方程建模来解决，前面我们已经学习了利用一元二次方程解决传播、增长率、营销问题等，本节课我们继续学习利用一元二次方程解决几何相关问题.新课讲解知识点1 规则图形的应用 1 等腰梯形的面积为160cm2，上底比高多4cm，下底比 上底多16cm，求这个梯形的高.导引： 本题可设高为x cm，上底和下底都可以用含 x 的代 数式表示出来. 然后利用梯形的面积 公式来建立方 程求解.例新课讲解 解： 设这个梯形的高为 x cm，则上底为（x+4）cm， 下底为(x+20)cm. 根据题意得 整理，得 解得 x1=8 , x2=20 (
49、 不合题意，舍去 ) 答：这个梯形的高为8cm. 14201602x xx2121600 xx新课讲解知识点知识点归纳 利用一元二次方程解决规则图形问题时，一般要熟悉几何图形的面积公式、周长公式或体积公式，然后利用公式进行建模并解决相关问题.新课讲解练一练某校准备修建一个面积为180平方米的矩形活动场地，它的长比宽多11米，设场地的宽为x米，则可列方程为()Ax(x11)180 B2x2(x11)180Cx(x11)180 D2x2(x11)180C1新课讲解解： 设一条直角边的长为x cm，则另一条直角边的长 为(14x) cm.可得到12x(14x)24， 方程可化为x214x480，解得
50、x16，x28. 当x6时，14x1468； 当x8时，14x1486. 所以两条直角边的长分别为8 cm和6 cm.一个直角三角形的两条直角边的和是14 cm，面积是24 cm2.求两条直角边的长。2新课讲解知识点2 不规则图形的应用 如图，要设计一本书的封面，封面长27 cm，宽21 cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度(结果保留小数点后一位)?2 例新课讲解分析：封面的长宽之比是27 219 7，中央的矩 形的长宽之比也应是9 7.设中央的矩形的长 和宽分别是9a cm和7
