1、高等数学高等数学高等数学高等数学100m10m1m0.1m100 10 1 0.1 芝芝 诺诺 悖悖 论论芝诺芝诺(Zeno of Elea) 常数项级数的概念常数项级数的概念高等数学高等数学一、常数项级数的定义一、常数项级数的定义二、常数项级数的敛散性二、常数项级数的敛散性三、应用三、应用四、总结四、总结高等数学高等数学12nuuu给定一个给定一个无穷数列无穷数列12,nu uu将其各项依次将其各项依次相加，构成的相加，构成的表达式表达式叫做叫做(常数项常数项)无穷级数，简称无穷级数，简称(常数项常数项)级数，记为级数，记为121nnnuuuu通通 项项一、常数项级数的定义一、常数项级数的定
2、义高等数学高等数学割圆术：割圆术：“割之弥细，所割之弥细，所失弥少，割之又失弥少，割之又割，以至于不可割，以至于不可割，则与圆周合割，则与圆周合体而无所失矣体而无所失矣”刘徽刘徽高等数学高等数学割圆术：割圆术：11Asu圆的面积圆的面积A高等数学高等数学割圆术：割圆术：A 11Asu212suunA s12nuuu1nniu1limlimnnnnniAsu圆的面积圆的面积A高等数学高等数学1nnu级数级数, 前前n项和项和12nnuuus称为级数的称为级数的部分和部分和, 显然显然, 它构成了一个数列它构成了一个数列s n(1)如果如果, 部分和数列部分和数列s n的的极限极限 存在存在 ,
3、即即limnnss则称无穷级数则称无穷级数1nnu1nnu写成写成121nnnuuuus(2)如果如果s n没有极限没有极限,则称则称 无穷级数无穷级数1nnu收敛收敛. 极限极限 s 叫做叫做的和的和发散发散.注：注：发散级数无和发散级数无和二、常数项级数的敛散性二、常数项级数的敛散性高等数学高等数学例例1123n 讨论级数讨论级数的敛散性的敛散性.解：解： 级数的部分和为级数的部分和为123nsn 显然，显然，(1)2n n(1)limlim2nnnn ns 因此，所给级数是发散的因此，所给级数是发散的.三、应用三、应用高等数学高等数学例例 2 2 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几
4、何级数) ) 20nnnaqaaqaqaq )0( a 的敛散性的敛散性, , 其中其中 q 叫做级数的公比叫做级数的公比. 解：解：21nnSaaqaqaq(1)1naqq，(1)q lim0nnqlim1nnaSq则 limnnqlimnnS 则 收敛收敛发散发散,1|时时当当 q,1|时时当当 q高等数学高等数学，如如果果1| q,1时时当当 q,1时时当当 q+()nSa aanan 发散发散aaaa级数变为,lim 不不存存在在nnS 发散发散20nnnaqaaqaqaq)0( a0,nnSa n为偶数为奇数高等数学高等数学结论：结论：0nnaq1aSq当当1q 时时, ,等比级数收
5、敛等比级数收敛, ,和为和为当当1q 时时, ,等比级数发散等比级数发散例例 2 2 讨论等比级数讨论等比级数( (几何级数几何级数) ) 20nnnaqaaqaqaq )0( a 的敛散性的敛散性, , 其中其中 q 叫做级数的公比叫做级数的公比. 高等数学高等数学100m10m1m0.1m100 10 1 0.1 芝芝 诺诺 悖悖 论论芝诺芝诺(Zeno of Elea) 高等数学高等数学分析：分析：阿基里斯要追赶乌龟的全部路程为阿基里斯要追赶乌龟的全部路程为100 10 1 0.1 这是一个公比为这是一个公比为1110q 的等比级数的等比级数和为和为1001000.19110S 芝芝 诺诺 悖悖 论论高等数学高等数学常数项级数常数项级数121nnnuuuu1nnu的敛散性的敛散性12部分和部分和s n常数项级数常数项级数四、总结四、总结高等数学高等数学
