1、参考答案及评分标准 （第 1 页 共 4 页） 2017 年年全国全国高中数学联赛高中数学联赛（四川初赛四川初赛）试题试题 参考答案及评分标准参考答案及评分标准 说明说明： 1、评阅试卷时评阅试卷时，请依据评分标准请依据评分标准. .选择题和填空题只设选择题和填空题只设 5 分和分和 0 分两档分两档；其它各题的其它各题的评阅评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次不要再增加其它中间档次. . 2、如果考生的解答题方法和本解答不同如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理只要思路合理，步骤正确步骤正确，在评阅时可参在评阅时可参考
2、本评分标准适当划分档次评分考本评分标准适当划分档次评分，5 分一个档次分一个档次，不要再增加其它中间档次不要再增加其它中间档次. . 一一、选择题选择题（本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 30 分分） 1. A 2. B 3. C 4. C 5. B 6. A 二二、填空题填空题（本大题共本大题共 6 个小题个小题，每小题每小题 5 分分，共共 30 分分） 7. 1008 8. 0 9. 2 10. 6,22 11. 2 12. 243 三三、解答题解答题（本大题共本大题共 4 个小题个小题，每小题每小题 20 分分，共共 80 分分） 13. 已知数列na满
3、足：1aa，1581nnnaaa*()nN. (1) 若3a ,求证：数列24nnaa成等比数列，并求出数列na的通项公式； （2）若对任意的正整数n，都有3na ,求实数a的取值范围. 证明： （1）因为115822123584441nnnnnnnnaaaaaaaa， 所以，数列24nnaa成等比数列. 5 分 于是1111223344nnnnaaaa ，解得114 3231nnna. 即数列na的通项公式114 3231nnna. 10 分 （2）法 1: 因为3na 对任意的正整数n都成立, 故13aa. 由(1)知122344nnnaaaa，记24aba，则12431nnab. 当34
4、a时，则0b .注意到103131nnbb ， 参考答案及评分标准 （第 2 页 共 4 页） 则1223131nnbb， 于是1nnaa，即数列na单调递增. 从而3na .因此34a. 15 分 当4a 时，由条件可知4na 满足条件； 当4a 时，240aa，则1b ， 注意到1131331nnnbab，而1310nb ，故3na ，满足条件. 综上，所求实数a的取值范围(3,) . 20 分 法 2: 因为3na 对任意的正整数n都成立, 故13aa. 下面用数学归纳法证明: 当3a 时，对任意的正整数 n，都有na3. 当1n 时，结论成立； 假设(1)nk k时，结论成立. 当1n
5、k时，注意到15825311kkkkkaaaaa，15 分由3ka 知，250,10kkaa ，从而13ka.于是结论对1nk也成立.由归纳原理知，对任意的正整数 n，都有na3. 综上，所求实数a的取值范围(3,) . 20 分 14. 1993 年，美国数学家 F. Smarandache 提出许多数论问题，引起国内外相关学者的关注，其中之一便是著名的 Smarandache 函数.正整数n的 Smarandache 函数定义为 !|,|min)(*mnmmnSN，比如：3)6(, 3)3(, 2)2(SSS. （1）求)16(S和)2016(S的值； （2）若( )7S n ，求正整数n
6、的最大值； （3）证明：存在无穷多个合数n，使得pnS)(，其中p为n的最大质因数. 解： （1）因为416=2，故6)16(S. 5 分 由732201625知)7(),3(),2(max)2016(25SSSS. 参考答案及评分标准 （第 3 页 共 4 页） 又7)7(S，8)2(, 6)3(52SS，故8)2016(S. 10 分 （2）由( )7S n 知| 7!n，从而7!n . 又(7!)7S.所以， 正整数n的最大值是7!5040. 15 分 （3）因为对任意奇质数p，取2np，都有pnS)(. 所以，存在无穷多个合数n，使得pnS)(，其中p为n的最大质因数. 20 分 15
7、. 如图，点A与点A在x轴上，且关于 y 轴对称，过点A垂直于 x 轴的直线与抛物线22yx交于两点 B，C，点D为线段AB上的动点，点E在线段AC上，满足|CEADCAAB. （1）求证：直线 DE 与此抛物线有且只有一个公共点； （2）设直线 DE 与此抛物线的公共点为 F，记BCF与ADE 的面积分别为12,S S.求12SS的值. 解： （1）设2( 20)Aa，2(20)Aa，所以可得2(22 )Baa，2(22 )Caa，-， 设11(,)D x y， ADAB ，则CECA . 于是2211(2)(42 )xayaa，故 D 的坐标为(42) a2,2a) . 设 E(x2,y2
8、)，由CE CA 得，(x22a2,y22a)(4a2,2a)， 所以 E 的坐标为(24)a2,(22) a) .当1=2时，直线DE为y轴，结论显然成立；当12时，直线DE的斜率存在，且斜率为：kDE 22(84)aa1(42)a，5 分所以直线 DE 的方程是 y2a1(42)a(x(42)a2)， 化简得，(42)ay2a(42)ax(42) a2 即，x2a(21) y2a2(21)2 与抛物线方程联立，得 y22 2a(21) y2a2(21)2， 即 y24a(21)y4a2(21)20， 此时，方程有两个相等的根：y2a(21)， EDCBAAFxy参考答案及评分标准 （第 4
9、 页 共 4 页） 代入，得 x2a2(21)2.所以直线 DE 与此抛物线有且只有一个公共点 F(2a2(21)2，2a(21) . 10 分 （2）1S SBCF 12BCh124a(2a2xF)4a3(442) . 15 分 设直线 DE 与 x 轴交于点 G，令 y0，代入方程，x2a(21)y2a2(21)2， 解得 x2a2(21)2，故|AG|2a22a2(21)22a2(442) . 于是2S SADE SADG SAEG 12|AG|yDyE|a2(442)|2a(22)a|2a3(442) . 所以12=2SS. 20 分 16.设, 为实数， 若对任意的实数, ,x y
10、z， 有222()()xyyzzxMxyz恒成立，其中 222222222222Mxxyyyyzzyyzzzzxxzzxxxxyy. 求的最大值和的最小值. 解：取1xyz，有393，则3，3. （1）先证：3()Mxyyzzx对任意的实数, ,x y z成立. 因为2222222233() ()2424yyxxyyyyzzxyzy 23| ()() |224yyxzy 23()()224yyxzy 21122xzxyyzy. 5 分 所以，222211()2()()22Mxzxyyzyxyyzzxxyz 2()()3()xyyzzxxyyzzxxyyzzx. 10 分 （2）再证： 2223()Mxyz对任意的实数, ,x y z成立. 因为222222222()()()Mxxyyyyzzzzxx 2222222()()3()xyzxyyzzxxyz. 15 分 综上可知，的最大值是 3，的最小值是 3. 20 分
