1、作业：作业：第四版：第四版：3-23-2，3-313-31，3-483-482022-4-291第四章第四章导热问题的数值解法导热问题的数值解法Numerical Method forHeat Conduction2022-4-293主要内容（重点掌握）：导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想内外节点内外节点离散方程的离散方程的建立建立非稳态非稳态导热问题的数值解法导热问题的数值解法 Friday, April 29, 20224特点：特点： (1) 分析法分析法 a 能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比较依据；能获得所研究问题的精确解，可以为实验和数值计算提供比
2、较依据； b 分析解具有普遍性，各参数的物理意义及影响清晰分析解具有普遍性，各参数的物理意义及影响清晰 c 局限性很大，对复杂的问题无法求解；局限性很大，对复杂的问题无法求解；前述前述2、3章对导热问题的求解思路：章对导热问题的求解思路：导热微分方程导热微分方程+边界条件边界条件+初始条件初始条件稳态问题：直接积分法稳态问题：直接积分法非稳态问题：分离变量法非稳态问题：分离变量法解析解（解析解（analytical solution）局限性：局限性：简单几何形状及边界条件简单几何形状及边界条件工程实际中面临的大部分问题几何形状和边界条件要复杂的多，由于数学上工程实际中面临的大部分问题几何形状和
3、边界条件要复杂的多，由于数学上的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依的困难还不能给出解析解，导致目前解析解只能作为某些简单问题的参照依据，不能解决实际问题。据，不能解决实际问题。研究传热学问题的三种基本方法：研究传热学问题的三种基本方法：(1)理论分析法；理论分析法； (2)实验法；实验法；(3)数值计算法数值计算法Friday, April 29, 20225(2) 实验法实验法: 是传热学的基本研究方法：是传热学的基本研究方法：a 偏向于机理研究；偏向于机理研究；b.受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复现研究对象，受场地，燃料动力源等因素的影响，无法完全复
4、现研究对象，具有时间具有时间、空间上的局限性空间上的局限性c.费用昂贵费用昂贵(3) 数值方法数值方法数值方法：把数值方法：把原来在原来在时间和空间连续的物理量的场时间和空间连续的物理量的场，用，用有限个离散点上的值有限个离散点上的值的集合的集合来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的来代替，通过求解按一定方法建立起来的关于这些值的代数方程代数方程，从，从而获得而获得离散点上被求物理量的值离散点上被求物理量的值；并称之为数值解；并称之为数值解a. 在在很大程度上弥补了分析法的很大程度上弥补了分析法的缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其缺点；适应性强，特别对于复杂问题更显其优越性；优越
5、性；b. 与实验与实验法相比成本低法相比成本低数值数值解法解法：有限差分法有限差分法（finite-difference）、）、 有限元法有限元法（finite-element） 、 边界元法边界元法（boundary- element）、）、 分子动力学分子动力学模拟（模拟（MD） Friday, April 29, 202264-1 4-1 导热问题数值求解的基本思想导热问题数值求解的基本思想建立控制方程及定解条件确定节点（建立网格系统）针对所有节点建立某物理量的代数方程设立温度场的迭代初值求解代数方程解的分析是改进初场否是否收敛步骤：步骤：Friday, April 29, 20227研
6、究对象：研究对象：二维，稳态，常物性，无内热源导热问题二维，稳态，常物性，无内热源导热问题1.建立控制方程，给出定解条件：B.C.Friday, April 29, 202282.区域离散化-建立网格系统相邻节点之间的距离相邻节点之间的距离步长步长（step length）节点（节点（node）：）：网格线的交点，是需要确定温度值的点，是每个子区域的代表。网格线的交点，是需要确定温度值的点，是每个子区域的代表。网格线：网格线：一系列与坐标轴平行且相互交叉的网格线，将求解区域划分成许多子区域一系列与坐标轴平行且相互交叉的网格线，将求解区域划分成许多子区域元体（元体（element）或或控制容积控
7、制容积（control volume）：）：相邻两相邻两节点中锤线构成的区域。节点中锤线构成的区域。xyxyn=1mm=Mn=Nm=1(m,n)Friday, April 29, 202293.建立物理量的代数方程建立物理量的代数方程节点(m,n)上物理量的代数方程物理量的代数方程称为离散方程（discretization equation），是数值求解的重要环节。4.设立迭代初场设立迭代初场代数方程组的解法分为直接解法和迭代法，有限差分解法有限差分解法主要采用迭代法迭代法。其中每一个未知数都需要给定一个初值，其合集称之为初场（initial field）5.求解代数方程组求解代数方程组各项系
8、数（l等）经确定后，在求解过程中不发生变化线性问题r，c，l，e随温度变化各项系数在每次迭代中更新非线性问题6.解的分析解的分析获得温度场不是最终目的，根据傅里叶定律获取界面处的热流q，热应力，热变形等。若把矩形看成肋片，最终目的可能是求其肋效率等。Friday, April 29, 202210建立离散方程的常用方法：建立离散方程的常用方法：4-2 4-2 离散方程的建立方法离散方程的建立方法Friday, April 29, 202211Friday, April 29, 202212a，b相加得：略去无穷小量有：Friday, April 29, 202213同理，在y轴方向有：这种使用
9、被离散点本身、前后两点作近似的差分方法称为中心差分传热学中常用到的一阶二阶导数的差分表达式如下表所示（均分网格）：Friday, April 29, 202214Friday, April 29, 202215思路：思路：类似于导热微分方程的推导，利用傅里叶定律，直接写出每个控制体的能量守恒方程。均分网格：直接将能量守恒原理与傅里叶定律应用于节点所代表的控制体。物理概念清晰，直接将能量守恒原理与傅里叶定律应用于节点所代表的控制体。物理概念清晰，推导过程简洁，应予以重点掌握！推导过程简洁，应予以重点掌握！非均网格只需对界面面积做适当处理即可(m,n)Friday, April 29, 20221
10、64-3 4-3 边界节点离散方程的建立及代数方程的求解边界节点离散方程的建立及代数方程的求解第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中，第一类边界条件：已知全部边界的温度，作为已知值加入到内节点的离散方程中，组成封闭的代数方程组，直接求解。组成封闭的代数方程组，直接求解。xyn=1mm=Mn=Nm=1wsen(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)封闭第二类边界条件或第三类边界第二类边界条件或第三类边界条件：部分边界温度未知。条件：部分边界温度未知。不封闭(m,n)Friday, April 29, 2022171.1.边界节点离散方程的建立：边界
11、节点离散方程的建立：qwxyqw(1) 平直边界上的节点平直边界上的节点(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)Friday, April 29, 202218(2) 内部角点内部角点xyqw(m,n)(m,n-1)(m,n+1)(m-1,n)(m+1,n)Friday, April 29, 202219(3) 外部角点外部角点xy(m,n)(m,n-1)(m-1,n)qwFriday, April 29, 202220热流边界热流边界qw分为三种情况讨论：分为三种情况讨论：(2)第三类边界条件：第三类边界条件：(3) 辐射边界条件：辐射边界条件：Friday, April 29,
12、 202221 迭代法：给出初场，在迭代中不断改进，直至满足收敛条件为止。 直接求解：矩阵求逆，高斯消元法等经过有限次运算获得代数方程的精确解。Friday, April 29, 202222Friday, April 29, 202223Friday, April 29, 202224当有温度t接近于零的时，选此准则较好迭代次数，表示第k次迭代表示第k次迭代所得计算域内的最大值Friday, April 29, 202225例题：Friday, April 29, 202226Friday, April 29, 202227 4-4 4-4 非稳态导热问题的数值解法非稳态导热问题的数值解法
13、Friday, April 29, 202228Friday, April 29, 202229向前差分向前差分当前（当前（i i）时）时层层左侧导入热量右侧导入热量Friday, April 29, 202230Friday, April 29, 202231内部节点温度方程的隐式差分格式内部节点温度方程的隐式差分格式 Friday, April 29, 202232Friday, April 29, 202233向前差分向前差分前前一时层（一时层（i）Friday, April 29, 202234Friday, April 29, 202235Friday, April 29, 202236作业：作业：第四版：第四版： 4-34-3，4-104-10，4-154-15Friday, April 29, 202237xyn=1mm=Mn=Nm=1wsen(m-1,n)(m,n-1)(m+1,n)(m,n+1)(m,n)
