1、1、教材：信号与系统、教材：信号与系统 郑君里郑君里 杨为理杨为理 应启珩编应启珩编2、信号与系统、信号与系统 Signals & Systems ALAN V.OPPENHEIM ALANS. WILLSKY 清华大学出版社（英文影印版）清华大学出版社（英文影印版） （中译本）刘树棠（中译本）刘树棠 西安交通大学出版社西安交通大学出版社3、信号与系统例题分析及习题、信号与系统例题分析及习题 乐正友乐正友 杨为理杨为理 应启珩编应启珩编4、信号与系统习题集、信号与系统习题集 西北工业大学西北工业大学本课的主要内容本课的主要内容第一章绪论第一章绪论 信号与系统的概念、分类、分析方法信号与系统的概
2、念、分类、分析方法第二章连续时间系统的时域分析第二章连续时间系统的时域分析第三章第三章离散时间系统的时域分析离散时间系统的时域分析第四章拉氏变换（第四章拉氏变换（S域分析）域分析）第五章第五章付里叶变换（频域分析、付里叶变换（频域分析、相关、能量谱和功相关、能量谱和功率谱（第六章的部分内容率谱（第六章的部分内容）第六章第六章Z变换（变换（Z域分析、序列的付里叶变换域分析、序列的付里叶变换）第七章第七章 （付里叶变换应用于通信系统（付里叶变换应用于通信系统-滤波、调制滤波、调制与抽样）与抽样）第八章系统的状态变量分析第八章系统的状态变量分析信息通过信号表现，信号蕴含着信息的具体信息通过信号表现，
3、信号蕴含着信息的具体内容。即：信号广泛地出现在各个领域中，内容。即：信号广泛地出现在各个领域中，以各种各样的表现形式携带着特定的消息。以各种各样的表现形式携带着特定的消息。古战场：以击鼓鸣金传达前进或撤退命令古战场：以击鼓鸣金传达前进或撤退命令近代：广泛应用于力、热、声、光、电等方面。近代：广泛应用于力、热、声、光、电等方面。人们寻求各种方法，以实现信号的传输。人们寻求各种方法，以实现信号的传输。（1）古代用烽火传送疆警报，这是最原始的光通信）古代用烽火传送疆警报，这是最原始的光通信系统。系统。（2）利用击鼓鸣金报送时刻或传达命令，这是最早）利用击鼓鸣金报送时刻或传达命令，这是最早的声信号的传
4、输。的声信号的传输。（3）19世纪初，人们开始研究利用电信号传送消息。世纪初，人们开始研究利用电信号传送消息。1837年莫尔斯（年莫尔斯（F.B.Morse)发明了电报，采用发明了电报，采用点、划、空组合的代码表示字母和数字，这种代点、划、空组合的代码表示字母和数字，这种代码称为莫尔斯电码。码称为莫尔斯电码。 1876年贝尔年贝尔(A.G.Bell)发明了电话，直接将声发明了电话，直接将声信号（语音）转变为电信号沿导线传送。信号（语音）转变为电信号沿导线传送。（）世纪末，人们研究用电磁波传送无线电信号。（）世纪末，人们研究用电磁波传送无线电信号。赫兹（赫兹（.Hertz）波波夫、马可尼等作出贡
5、献。）波波夫、马可尼等作出贡献。1901年马可尼成功地实现了横渡大西洋的无线电通信。年马可尼成功地实现了横渡大西洋的无线电通信。（5）光纤通信）光纤通信从此，传输电信号的通信方式得到广泛应用和迅速发展。从此，传输电信号的通信方式得到广泛应用和迅速发展。如今：（）卫星通信技术为基础如今：（）卫星通信技术为基础“全球定位系统全球定位系统（Global Positioning System, 缩写为缩写为GPS）用无）用无线电信号的传输，测定地球表面和周围空间任意目标线电信号的传输，测定地球表面和周围空间任意目标的位置，其精度可达数十米之内。的位置，其精度可达数十米之内。（）个人通信技术：无论任何人
6、在任何时候和任何地方（）个人通信技术：无论任何人在任何时候和任何地方都能够和世界上其他人进行通信。都能够和世界上其他人进行通信。（）（）“全球通信网全球通信网”是信息网络技术的发展必然趋势。是信息网络技术的发展必然趋势。目前的综合业务数字网（目前的综合业务数字网（Integrated Services Digital Network,缩写为缩写为ISDN),Internet或称因特或称因特网，以及其他各种信息网络技术为全球通信网奠定了网，以及其他各种信息网络技术为全球通信网奠定了基础。基础。现代通信的通信方式不是任意两点之间现代通信的通信方式不是任意两点之间信号的直接传输，而是要利用某些集中转
7、接信号的直接传输，而是要利用某些集中转接设施组成复杂的信息网络，即经设施组成复杂的信息网络，即经“交换交换”的的功能以实现任意两点之间的传输。功能以实现任意两点之间的传输。对信号进行某种加工或变换。其目的是：削弱信号中对信号进行某种加工或变换。其目的是：削弱信号中的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；或者将信号变的多余内容；滤除混杂的噪声和干扰；或者将信号变换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特换成容易分析与识别的形式，便于估计和选择它的特征参量。征参量。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。信号处理的应用已遍及许多科学技术领域。（1）从月球探测器发来的电视信号可能被淹没在噪声之）从月球探
8、测器发来的电视信号可能被淹没在噪声之中，可利用信号处理技术予以增强，在地球上得到清中，可利用信号处理技术予以增强，在地球上得到清晰的图像。晰的图像。（2）石油勘探、地震测量以及核试验监测中所得数据的）石油勘探、地震测量以及核试验监测中所得数据的分析都依赖于信号处理技术的应用。分析都依赖于信号处理技术的应用。（3）心电图、脑电图分析、语音识别与合成、图像数据）心电图、脑电图分析、语音识别与合成、图像数据压缩、工业生产自动控制以及经济形势预测（股票分压缩、工业生产自动控制以及经济形势预测（股票分析）等各领域广泛应用。析）等各领域广泛应用。它们之间相互密切联系（可认为交换是属于传输的组它们之间相互密
9、切联系（可认为交换是属于传输的组成部分），又各自形成了相对独立的学科体系。它们成部分），又各自形成了相对独立的学科体系。它们共同的理论基础之一是研究信号的基本性能（进行信共同的理论基础之一是研究信号的基本性能（进行信号分析），包括信号的描述、分解、变换、检测、特号分析），包括信号的描述、分解、变换、检测、特征提取以及为适应指定要求而进行信号设计。征提取以及为适应指定要求而进行信号设计。系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。的具有特定功能的整体。通常，利用通信系统、控制系统和计算机系统进行通常，利用通信系统、控制系统和计算机
10、系统进行信号的传输、交换与处理。实际上，往往需要将多信号的传输、交换与处理。实际上，往往需要将多种系统共同组成一个综合性的复杂整体。如宇宙航种系统共同组成一个综合性的复杂整体。如宇宙航行系统。行系统。通常，组成通信、控制和计算机系统的主要部件中通常，组成通信、控制和计算机系统的主要部件中包括大量的多种类型的电路。称之。包括大量的多种类型的电路。称之。研究系统所关心的问题是：对于给定信号形式与传研究系统所关心的问题是：对于给定信号形式与传输、处理的要求，系统能否与其相匹配，它应具有输、处理的要求，系统能否与其相匹配，它应具有怎样的功能和特性。怎样的功能和特性。离开了信号，电路与系统将失去意义。离
11、开了信号，电路与系统将失去意义。信号作为待传输消息的表现形式，可以看作运载消信号作为待传输消息的表现形式，可以看作运载消息的工具。息的工具。电路或系统则是为传送信号或对信号进行加工处理电路或系统则是为传送信号或对信号进行加工处理而构成的某种组合。而构成的某种组合。研究电路问题着眼在于：为实现系统功能与特性应研究电路问题着眼在于：为实现系统功能与特性应具有怎样的结构和参数。具有怎样的结构和参数。有时认为系统是比电路更复杂、规模更大的组合体。有时认为系统是比电路更复杂、规模更大的组合体。确切地说：系统与电路二词的主要差异在于：观察确切地说：系统与电路二词的主要差异在于：观察事物的着眼点或处理问题的
12、角度方面。系统问题注事物的着眼点或处理问题的角度方面。系统问题注意全局，而电路问题则关心局部。意全局，而电路问题则关心局部。在电路分析中，注意研究其各支路、回路的电流或在电路分析中，注意研究其各支路、回路的电流或电压；而从系统的观点来看，可以研究它如何构成电压；而从系统的观点来看，可以研究它如何构成具有微分或积分功能的运算器。具有微分或积分功能的运算器。由于大规模集成化技术的发展，系统、网络、电路由于大规模集成化技术的发展，系统、网络、电路及器件这些名词划分发生了困难，它们互相渗透，及器件这些名词划分发生了困难，它们互相渗透，需要统一分析、研究和处理。在本书中三个名词通需要统一分析、研究和处理
13、。在本书中三个名词通用。用。系统可分为系统可分为与与以及以及物理系统：包括通信系统、电力系统、机械系统等；物理系统：包括通信系统、电力系统、机械系统等；非物理系统：政治结构、经济组织、生产管理等；非物理系统：政治结构、经济组织、生产管理等；人工系统：计算机网、交通运输网、水利灌溉网以人工系统：计算机网、交通运输网、水利灌溉网以及交响乐队等；及交响乐队等；自然系统：小至原子核，大如太阳系，可以是无生自然系统：小至原子核，大如太阳系，可以是无生命的，也可是有生命的（如动物的神经网络）。命的，也可是有生命的（如动物的神经网络）。在系统或网络理论研究中，进行在系统或网络理论研究中，进行与与（网络分析与
14、网络综合）两方面。（网络分析与网络综合）两方面。：研究在给定系统的条件下，系统对于输：研究在给定系统的条件下，系统对于输入激励信号所产生的输出响应。入激励信号所产生的输出响应。：按某种需要先提出对于给定激励的响应，：按某种需要先提出对于给定激励的响应，而后根据此要求设计（综合）系统。而后根据此要求设计（综合）系统。分析与综合二者关系密切，但又有各自的体系和研分析与综合二者关系密切，但又有各自的体系和研究方法，一般讲，学习分析是学习综合的基础。究方法，一般讲，学习分析是学习综合的基础。本书讨论范围：着重系统分析，以通信系统和控制本书讨论范围：着重系统分析，以通信系统和控制系统的基本问题为主要背景
15、，研究信号经系统传输系统的基本问题为主要背景，研究信号经系统传输或处理的一般规律；着重基本概念和基本分析方法。或处理的一般规律；着重基本概念和基本分析方法。第二节第二节信号的描述、分类信号的描述、分类和典型示例和典型示例( )sinf tt时域分析数学表达式时间的函数如f(t)t(j )F信号波形表示函数的图像如或1(),( )1F jF sj频谱分析数学表达式频率的函数如信号一般可表示为一个或多个变量的函数。即描述信号的基本方法是写出它的数学表达式。所以通常把信号与函数两名词通用。2021)(gsintttt与门函数如正弦函数101t)(tf确定信号，周期信号确定信号，非周期信号t对于某一时
16、刻 有一相应确定函数值；确定性与随机性实际传输的信号有不确定性（1）T以一定时间间隔 周而复始且无始无终；周期与非周期在时间上不具有周而复始性（2）本课程着重讨论确定信号（周期与非周期）分析。15 . 110.5-0.5x(n)01)(21211与抽样信号如矩形脉冲ttorttttttGt除若干不连续点外，对于任意时刻 定义了函数值（时间和幅值均连续模拟信号）；连续与离散时间仅在某些不连续的规定瞬时定义了函数值（幅值连续抽样信号，均否数字信号）（3） 0 1 2 3 t (-0.5) (-1) f(t) (1.5) (1) (0.5) 连续信号离散信号信号可以表示为一个或多个变量的函数。语音信
17、号可表示为声压随时间变化的函数，这是一维信号一维信号。一张黑白图像每个点（像素）具有不同的光强度，任一点又是二维平面坐标中两个变量的函数，这是二维信号二维信号。实际上，还可能出现更多维数变量的信号。如电磁波在三维空间传播，如再考虑时间变量就构成四维信号。四维信号。还可将信号分为能量受限信号能量受限信号与功率受限信号功率受限信号；调制信号调制信号、载波信号载波信号和已调信号已调信号等。（4）一维信号与多维信号1(1)f(t),Katae实指数信号：（对时间的微、积分仍是指数）K0a0a0a)(tf0t0a信号将随时间而增长0a信号将随时间而衰减；0a信号不随时间而变化，为直流信号:指数信号的时间
18、常数，越大，指数信号增长或衰减的速率越慢。（对时间的微、积分仍是同频率正弦）1sin()21cos()2j tj tj tj ttjteeee欧拉公式K为振幅w为角频率为初相角101t)(tfTK正弦信号是周期信号，其周期T与角频率w 和频率f满足下列关系式：fwT12（2）正弦信号：)sin()(wtKtf0Kt)(tfK衰减的正弦信号(3)f(t),cos()sin()KstttKtjjKsteee复指数信号：（实际不存在，但可描述各种基本信号）时，直流信号；且时，实指数信号；信号；时，等幅振荡正、余弦信号；时，衰减振荡正、余弦信号；时，增幅振荡正、余弦000000 实部、虚部都为正（余）
19、弦信号，指数因子实部表征实部与虚部的正、余弦信号的振幅随时间变化的情况，表示信号随角频率变化的情况。Sa(tsin(4)tt抽样信号：0,( )0;( );( )2(0)1tnSa tSa t dtSa t dtSa 时，- 0 t )(tSa2Sa(t)具有以下性质：与Sa(t)函数类似的有sinc(t) 函数：tttc)sin()(sin此时t与Sa(t)中差一，两符号通用。2(5)(t)tEfe钟形信号：0.78 ,f(t)E0.782fEE为由时占据的时间宽度 （高斯函数） 0 t f(t) E 0.78E eE22钟形信号在随机信号分析中占有重要地位。信号的运算分类在信号的传输与处理
20、过程中需要进行信号的运算，在信号的传输与处理过程中需要进行信号的运算，它可分为：它可分为：1.信号的相加信号的相加2.信号的相乘信号的相乘3.信号的反褶（折）信号的反褶（折）4.信号的移位信号的移位5.信号的尺度变换（压缩与扩展）（倍乘）信号的尺度变换（压缩与扩展）（倍乘）6.信号的微分信号的微分7.信号的积分信号的积分12312(1)(t)(t)(t)(t)(t)fffff 相加相加：、相加同一瞬时两函数值对应 -1 0 1 t -1 f1(t) 1 -1 0 1 t -1 f2(t) 1 -1 0 1 t -1 f3(t) 1 例子： ttf)(1其它0111)(2ttf其它ttttf11
21、1)(3 0 t f5(t) 1 0 t f6(t) 1 t -1 f7(t) 1 )sin()(5ttf)8sin()(6ttf)8sin()sin()(7tttf12412(2)(t)(t)(t)(t)(t)fffff 相乘相乘：、 -1 0 1 t -1 f1(t) 1 -1 0 1 t -1 f2(t) 1 -1 0 1 t -1 f4(t) 1 0 t f5(t) 1 0 t f6(t) 1 t -1 f8(t) 1 ttf)(1其它0111)(2ttf其它011)(4tttf)sin()(5ttf)8sin()(6ttf)8sin()sin()(8tttf例子：454(3)(t)(
22、t)(- ) tfff 反折反折：（如倒转磁带来播放）为轴反转所有函数值）的纵坐标（以)(ftftt -1 0 1 t -1 f5(t) 1 -1 0 1 t -1 f4(t) 1 时间轴反转如传输中常有）右移时，函数值在时间轴上左移时，函数值在时间轴上(t0t00000tt0565(4)(t)tt(t)()fff 移位移位： -2 -1 0 t -1 f6(t) 1 -1 0 1 t -1 f5(t) 1 左移左移:) 1()(56tftf 在雷达、声纳以及地震信号检测等问题中容易找到信号移在雷达、声纳以及地震信号检测等问题中容易找到信号移位现象的实例。如在通信系统中，长距离传输电话信号中，
23、可位现象的实例。如在通信系统中，长距离传输电话信号中，可能听到回波，这是幅度衰减的话音延时信号。能听到回波，这是幅度衰减的话音延时信号。676(5)(t)(t)( t)afff 尺度变换尺度变换：如加快或减慢播放）展，函数值在时间轴上扩扩展时缩，函数值在时间轴上压压缩时(1)(11)(1aaaa -2 -1 0 t -1 f6(t) 1 -2 -1 0 t -1 f6(t) 1 76(t)=f (2 )ft例子：压缩，此磁带以二倍速度加快播放的结果。)2()(7tftf问题：？3212102t)(tf（1）反折）反折3212102t)( tf （2）尺度变换）尺度变换3212102t)2(tf
24、 （3）时移）时移3212102t) 12( tf)212(tf1)2tf(突出显示函数变化部分7787f ( )(6)(t)(t)(t)dftfdtf 微分微分： 若f(t)是一幅黑白图像信号，那么经微分运算后将其图形的边缘轮廓突出。)(tft54120微分运算微分运算dttdf)(t541202例子：例子：18988(7)(t)(t)(t)f ( )tfdff 积分（ ）积分： 信号经积分运算后其效果与微分相反，信号的突变部分可变得平滑，利用这一作用可削弱信号中混入的毛刺（噪声）的影响。例子：例子：积分运算积分运算)(tft100t1tdf)(t0t10信号与系统分析中，常遇到函数本身有不
25、连续点信号与系统分析中，常遇到函数本身有不连续点（跳变点）或其导数与积分有不连续点的情况，（跳变点）或其导数与积分有不连续点的情况，这类函数称为奇异函数或奇异信号。这类函数称为奇异函数或奇异信号。通常将实际信号按某种条件理想化，即可运用理通常将实际信号按某种条件理想化，即可运用理想模型进行分析。想模型进行分析。奇异信号分类：奇异信号分类：（1）斜变信号）斜变信号（2）阶跃信号（最重要）阶跃信号（最重要）（3）冲激信号（最重要）冲激信号（最重要）（4）冲激偶信号）冲激偶信号1.斜变信号斜变信号斜变信号也称斜升信号。斜变信号也称斜升信号。它是从某一时刻开始随时间正比例增长的信号。它是从某一时刻开始
26、随时间正比例增长的信号。如果增长的变化率是如果增长的变化率是1，就称为单位斜变信号。，就称为单位斜变信号。000)(ttttf如果将起始点移至如果将起始点移至t0,则可写成则可写成00000)(ttttttttft)(tf110t)(0ttf0t1010t在时间在时间 以后斜变波形被切平，如图所示信号波形。以后斜变波形被切平，如图所示信号波形。tkttfktf)()(1t)(1tfk0三角形脉冲信号也可用斜变信号表示。三角形脉冲信号也可用斜变信号表示。tttfktf0)()(2t)(2tfk0单位阶跃信号的波形如图所示，通常以符号单位阶跃信号的波形如图所示，通常以符号u(t)表示。表示。010
27、0)(tttu在跳变点在跳变点t=0处，函数值未定义，或在处，函数值未定义，或在t=0处规定函数值处规定函数值21)0(u单位阶跃函数单位阶跃函数的物理背景：在的物理背景：在t=0(或或t0)时刻对某一电路接入单位时刻对某一电路接入单位电源（直流电压源或直流电流源），并且无限持续下去。电源（直流电压源或直流电流源），并且无限持续下去。例子：例子：1)(tut0V11)(0ttut00t单位阶跃信号单位阶跃信号延时的单位阶跃信号延时的单位阶跃信号矩形脉冲信号可用阶跃及其延时信号之差表示。矩形脉冲信号可用阶跃及其延时信号之差表示。)()()(TtututRTt)(tRTT10下标下标T表示矩形脉冲
28、出现在表示矩形脉冲出现在0到到T时刻之间。时刻之间。如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用如果矩形脉冲对于纵坐标左右对称，则可用GT(t)表示。表示。)2()2()(TtuTtutGT下标下标T表示其矩形脉冲宽度。表示其矩形脉冲宽度。t)(tGT2T12T0阶跃信号鲜明地表现信号的单边特性。即信号在某接入阶跃信号鲜明地表现信号的单边特性。即信号在某接入时刻时刻t0以前的幅度为零。以前的幅度为零。)(sin)(1tuttf)()()(02ttutuetftt)(1tfT101例子：例子：t)(2tf0t10t)(3tfTE0TT203)()()(nnTtunTtuEtf14)()()(nnTtu
29、EttuTEtft)(4tfTE0T3T2简写作简写作sgn(t),可用阶跃信号表示。可用阶跃信号表示。0101)sgn(tttt)sgn( t101与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不予定义，或与阶跃函数类似，对于符号函数在跳变点也可不予定义，或规定规定sgn(0)=0.显然，阶跃信号来表示符号函数显然，阶跃信号来表示符号函数1)(2)sgn(tut某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的函数模某些物理现象需要用一个时间极短，但取值极大的函数模型来描述。型来描述。例如：力学中瞬间作用的冲击力，电学中的雷击电闪，数例如：力学中瞬间作用的冲击力，电学中的雷击电闪，数字通信中的抽样脉冲字
30、通信中的抽样脉冲等等。等等。冲激函数可有不同的定义方式：冲激函数可有不同的定义方式：（）由矩形脉冲演变为冲激函数。（）由矩形脉冲演变为冲激函数。（）由三角形脉冲演变为冲激函数。（）由三角形脉冲演变为冲激函数。（）还可利用指数函数、钟形函数、抽样函数、（）还可利用指数函数、钟形函数、抽样函数、狄拉克狄拉克(Dirac)函数等函数等单位冲激函数：记作单位冲激函数：记作 (t),又称为又称为“ 函数函数”。t)(t0冲激函数的表示：用箭头表示。表明，冲激函数的表示：用箭头表示。表明， (t)只在只在t=0点有一点有一“冲激冲激”，在，在t=0点以点以外各处，函数值都是零。外各处，函数值都是零。宽度为
31、宽度为 ，高为，高为1/ 的矩形脉冲，当保持矩形脉冲面积的矩形脉冲，当保持矩形脉冲面积不变，而使脉宽不变，而使脉宽 趋近于零时，脉冲幅度趋近于零时，脉冲幅度1/ 必趋于无穷大，必趋于无穷大，此极限情况即为单位冲激函数。此极限情况即为单位冲激函数。)2()2(1lim)(0tututt)(tf10一组底宽为一组底宽为 ，高为，高为1/ 的三角形脉冲，若保持其面积的三角形脉冲，若保持其面积不变，而使不变，而使 趋近于零时，幅度趋近于零时，幅度1/ 必趋于无穷大，此极必趋于无穷大，此极限情况即为单位冲激函数。限情况即为单位冲激函数。)2()()1 (11lim)(0tututtt)(tf10tet2
32、1lim)(0t)(tf2102)(01lim)(tett)(tf10)(lim)(0ktSaktkK越大，函数的振幅越大，且离开原点时函数振荡越快，越大，函数的振幅越大，且离开原点时函数振荡越快，衰减越迅速。曲线下的净面积保持。当衰减越迅速。曲线下的净面积保持。当k时，得到时，得到冲激函数。冲激函数。 t)(tfk0 tkk)0(0)(1)(ttdtt当也称也称 函数函数为为狄拉克狄拉克(Dirac)函数函数。t)(t0描述在任一点描述在任一点t=t0处出现的冲激，可定义处出现的冲激，可定义 (t-t0)函数：函数：)(0)(1)(000ttttdttt当t)(0tt 00t1)0()()0
33、()0()()()(fdttfdtftdttft单位冲激信号单位冲激信号 (t)与一个在与一个在t=0点连续（且处处有界）点连续（且处处有界）的信号的信号f(t)相乘相乘，则其乘积仅在，则其乘积仅在t=0处得到处得到f(0) (t),其余各其余各点之乘积均为零。点之乘积均为零。 t)(tf0) 0 ( f对于延迟对于延迟t0的单位冲激信号有的单位冲激信号有)()()()()(0000tfdttfttdttfttt)(tf0)(0t f0t（a)抽样特性（筛选特性）抽样特性（筛选特性）)0()()0()()()()()()(fdfdfdttft证毕证毕。证明：证明：)()(tt（b) (t)是是
34、偶函数偶函数ttud)()(可知：可知：tttdtd00)(01)(当当（c)冲激函数的积分是阶跃函数冲激函数的积分是阶跃函数反之：阶跃函数的微分应等冲激函数反之：阶跃函数的微分应等冲激函数)()(tdttdut)(t0)(tu0t积分t0t)(tu0微分)(tadttadttaadaadaa1)(1)(1)()(1)(0证明：证明：)(1)(taat（d)冲激函数的尺度变换冲激函数的尺度变换aadaadaa1)()(1)(0),.,2 , 1(0)( )()( )()( 1)(1nitf，tttftftttftfiiiniii且处的导数在表示其中（e) (t)冲激函数的复合函数的性质（见书冲
35、激函数的复合函数的性质（见书77页）页）)(22at 例子：化简22)(attf解：有二个实根，分别位于有二个实根，分别位于t1=-a和和t2=a,则有则有attfat22)( 11attfat22)( 22)()(21)(22atataat)2()2()()(tutucdttdvcticc电流电流ic(t)为：为：)2(1)22()2(1)2(0)(tttttvc当当当例子从物理方面理解从物理方面理解 函数的意义。电路图如下：函数的意义。电路图如下：电压源电压源vc(t)接向电容元件，假定接向电容元件，假定vc(t)是斜变信号。是斜变信号。)(tvc)(ticctt)(tvc01)(tic0
36、c0t212222)()2()2(lim)(lim)(00tctutucdttdvcticc如果0的极限情况，则vc(t)成为阶跃信号，它的微分电流ic(t)是冲激函数其表达式为：t)(tic0c0t22t)()(tctic00t)(tvc0121220)()(tutvc0t1结论结论若要在无限短时间内使电容两端建立一定的电压，那么必须在无限短时间内提供足够的电荷，所以，需要一个冲激电流，或者说，由于冲激电流的出现，允许电容两端电压跳变。根据网络对偶理论，可将此应用于理想电感模型。由于冲激电压的出现，允许电感电流跳变。冲激函数的微分（阶跃函数的二阶导数）：将呈现正、负冲激函数的微分（阶跃函数的
37、二阶导数）：将呈现正、负极性的一对冲激，称为冲激偶信号，以极性的一对冲激，称为冲激偶信号，以 (t)表示。表示。4. 冲激偶信号冲激偶信号t)( t0现以三角形脉冲系列为例，波形如下：三角形脉冲现以三角形脉冲系列为例，波形如下：三角形脉冲s(t)其底宽为其底宽为2 ，高度为，高度为1/ ，当，当0时，时，s(t)成为单位冲激函成为单位冲激函数数 (t)。利用规则函数系列取极限的概念引出利用规则函数系列取极限的概念引出 (t)。t)( ts10tdttds)(02121求导求导求导t)( t0t0)( t0的极限的极限0的极限的极限对于延迟对于延迟t0的冲激偶的冲激偶 (t-t0),同样有同样有
38、)0( )()( fdttft)0( )()( )()()()( fdtttfttfdttft此处此处f(t)在在0点连续，点连续，f(0)为为f(t)导数在零点的取值导数在零点的取值。)( )()( 00tfdttftt)()0( )( )0()( )(tftfttf)( t普通函数普通函数f(t)与冲激偶与冲激偶相乘)( t普通函数普通函数f(t)与冲激偶与冲激偶相相卷积)( )()( )(tftfdtdttf0)( dtt冲激偶信号的另一个性质是：冲激偶信号的另一个性质是：它所包含的面积等于零。它所包含的面积等于零。这是因为正、负两个冲激的面积相互抵这是因为正、负两个冲激的面积相互抵消了
39、。消了。)( 11)( taaat冲激偶冲激偶)( t的时间尺度变换的时间尺度变换)( atv举例举例1.11.1 如图所示波形f(t)，求y(t)=df(t)/dt 0 1 2 3 t f(t) 2 1 )3()2() 1(2)3()2()2() 1( 2)(tutututututututf解：)3()2()1(2)3()2()1(2)()(tttdttdudttdudttdudttdfty求导)(ty21031211tv举例举例1.21.2 0() ( )f ttt dt求解、dttttejwt)()(0解1：)()()()()()()()()()()()(000000tfdttttfdt
40、fdtftdtttfdttttf解2：eeeejwtjwtjwtjwtdtttdttdtttt01)()()()(00 研究信号的传输与信号处理的问题，需要将一些信号分解研究信号的传输与信号处理的问题，需要将一些信号分解为比较简单的（基本的）信号分量之和。为比较简单的（基本的）信号分量之和。犹如：力学中将任一方向的力分解为几个分力一样。犹如：力学中将任一方向的力分解为几个分力一样。 信号信号从不同角度从不同角度分解分解；1. 直流分量与交流分量直流分量与交流分量2. 偶分量与奇分量偶分量与奇分量3. 脉冲分量脉冲分量 4. 实部分量与虚部分量实部分量与虚部分量5. 正交函数分量正交函数分量6.
41、 利用分形理论描述信号利用分形理论描述信号1.直流分量与交流分量直流分量与交流分量fA(t)其中f fD D为直流分量,即信号的平均值；为交流分量, 即去掉信号的平均值。直流分量直流分量f fD D与交流分量与交流分量f fA A(t(t):):-1 0 1 t t - 1 1 Df)(tfA)(tf如：时间函数如：时间函数f(t)为电流信号，则时为电流信号，则时间间隔间间隔T内流过单位电阻所产生的平内流过单位电阻所产生的平均功率等于：均功率等于：)()(tfftfAD222)(1TTdttfTP22222222222)(1)()(21)(1TTADTTAADTTADdttfTfdttftff
42、fTdttffTD直流功率直流功率交流功率交流功率信号的功率信号的功率=直流功率直流功率+交流功率交流功率1( )()21( )f()2foef tftf tft其中 为偶分量为奇分量 -1 0 1 t -1f(t) 1 -1 0 1 t -1 1 )(tfe)(tfo- 1 0 1 t -1 1 信号的平均功率=偶分量功率+奇分量功率)()()()(tftftft：fooee即偶分量与奇分量：分解为)(tf)(tfe)(tfo一个信号可近似分解为许多脉冲分量之和。（1）一种分解为矩形窄脉冲分量：f( )组合极限其中为窄脉冲分量冲激信号的叠加0)(tf)(1tf1t1tt（2）另一分解为阶跃信
43、号分量之叠加。（不做介绍）dttttftf)()()(11 对于瞬时值为复数的信号f(t)可分解为实、虚部两个部分之和。分解为)(tf)(tfr)(tjfi 它的共轭复函数为：分解为)(*tf)(tfr)(tjfi 其实部为：)()(21)(*tftftfr 其复数信号的模为：)()()()()(22*2tftftftftfir 虽然实际信号都为实信号，但它常用于表示正、余弦信号，在通信系统、网络理论、数字信号处理等方面，复信号的应用日益广泛。j 其虚部为：)()(21)(*tftftfi 分解其中正交函数集各分量相互正交如矩形脉冲各次谐波的正弦与余弦表示 用正交函数集来表示一个信号，组成信号
44、的各分量就是相互正交的。)()(tftf分解为即：正交函数分量：由正交函数集表示 分形（fractal) 几何理论：简称分形理论或分数维理论。 分形理论创始人：B.B.Mandelbrot在20世纪80年代中期提出。 分形概念：是部分与整体有相似性的体系，是一类“组成部分与整体相似的形态”。Sierpinski三角形集合（1）是简单空间中出现的复杂几何体，它具有任意小尺度下的细节，或说有精细的结构。（2）它不能用传统的几何语言描述，不是满足某些约束点集的轨迹，也不是某些简单方程的解集。（3）分形集可以具有形态、功能、信息等方面自相似性。它可以是严格确定的，也可以是统计意义上的。（4）分形问题大
45、多可由不复杂的方法定义、通过迭代、变换产生。 分形结构特点：自然界中的许多事物都表现出局部与整体具有自相似性的分形特征：（2）山地的轮廓（3）海岸线的分布（4）流体的湍流 自然界中事物的分形特征：（1）云彩的边界（5）粒子的布朗运动轨道（6）生物的形态分形几何被称为更接近大自然的数学。 分形理论广泛应用于生物学、化学、物理学、天文学、地球物理学、材料科学、经济学以及语言和情报学等领域。（1）图像数据压缩（2）语音合成 分形理论的应用在信号传输与信号处理领域应用分形技术的实例：（3）地震信号或石油探井信号分析（5）通信网业务流量描述 其共同特点是有一定的相似性，借助分形理论可提取信号特征，并利用
46、一定的数学迭代方法简化信号的描述，或自动生成某些具有自相似特征的信号。分形理论具有独特风格和进一步应用的潜力。（4）声纳或雷达信号检测 科学的每一分支都要建立一套自己的科学的每一分支都要建立一套自己的“模型模型”理论。在此模型理论。在此模型基础上运用数学工具进行研究。基础上运用数学工具进行研究。建模工作仅是进行系统分析的第一步。建模工作仅是进行系统分析的第一步。 所谓所谓模型模型：是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有：是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表征系统特性。理想特性的符号组合图形来表征系统特性。 系统建模需要一定条件。对于同一物理系统，在不同条
47、件下，系统建模需要一定条件。对于同一物理系统，在不同条件下，可得到不同形式的近似的数学模型。可得到不同形式的近似的数学模型。从另一方面讲，对于不同物理系统，经过抽象和近似，有可能从另一方面讲，对于不同物理系统，经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。即，同一数学模型可以描述得到形式上完全相同的数学模型。即，同一数学模型可以描述物理外貌截然不同的系统。物理外貌截然不同的系统。 系统分析中，同样需要建立系统的模型。它可分为系统分析中，同样需要建立系统的模型。它可分为数学模型和数学模型和框图模型。框图模型。 对于复杂的系统，根据其数学模型分为两大类：对于复杂的系统，根据其数学模型分为两大
48、类：具体可分为：具体可分为： （1）连续时间系统与离散时间系统）连续时间系统与离散时间系统（2）即时系统与动态系统）即时系统与动态系统（3）集总参数系统与分布参数系统）集总参数系统与分布参数系统（4）线性系统与非线性系统）线性系统与非线性系统（5）时变系统与时不变系统）时变系统与时不变系统（6）可逆系统与不可逆系统）可逆系统与不可逆系统（8）稳定系统与非稳定系统）稳定系统与非稳定系统（7）因果系统与非因果系统）因果系统与非因果系统连续时间系统：若系统的输入和输出都是连续时间信号，且其连续时间系统：若系统的输入和输出都是连续时间信号，且其内部也未转换为离散时间信号，则称之。内部也未转换为离散时间
49、信号，则称之。如：如：RLC电路为连续时间系统。而数字计算机为一典型离散时电路为连续时间系统。而数字计算机为一典型离散时间系统。实际上离散时间系统经常与连续时间系统组合，称为间系统。实际上离散时间系统经常与连续时间系统组合，称为混合系统。混合系统。连续时间系统的数学模型是微分方程，而离散时间系统则用连续时间系统的数学模型是微分方程，而离散时间系统则用差分方程描述。差分方程描述。 R、L、C串联回路，若激励信号是电压源串联回路，若激励信号是电压源e(t)，求解电流，求解电流i(t)。解：建立数学模型：解：建立数学模型：)(te)(t icLRdttdeCtidttdiRCdttidLC)()()
50、()(22)()()()()()(tetRidttdiLtudttduCticc)0()0(、iuc为独立条件 即时系统：如果系统的输出信号只决定于同时刻的激励信号，与它过去的工作状态（历史）无关，则称之。（2）即时系统与动态系统）即时系统与动态系统动态系统；如果系统的输出信号不仅取决于同时刻的激励信号，而且与它过去的工作状态有关，称之。例子：只由电阻元件组成的系统就是即时系统。凡是包含有记忆作用的元件（如电容、电感、磁芯等）或记忆电路（如寄存器）的系统属动态系统。即时系统用代数方程描述。动态系统用微分方程或差分方程描述。集总参数系统：只由集总参数元件组成的系统称之。集总参数系统：只由集总参数
