1、复习回顾：复习回顾：1.共线向量定理：2.共线向量定理的推论：(1)若直线l过点A且与向量 平行，则(2)三点P、A、B共线的充要条件有：a0, ()=a b babab 空间中任意两个向量共线（）的充要条件是存在实数 ，使得PlOPOAta 点 在直线 上,/ /tAPtABAPAB.存在实数 使得即, tOPOAtAB .存在实数 使得=1, ,()x yOPxOAyOBxy 另：存在实数使得3.共面向量定理：4.P、A、B、C四点共面充要条件：如果两个向量 不共线,则向量 与向量 共面的充要条件是存在实数对 使, a byx,pxayb p, a b(1)( , ),x yAPxAByA
2、C 存在有序实数对使得(2),OOPOAxAByAC 对空间中任意一点有,(1)OOPxOAyOBzOC xyz 另：对空间中任意一点有1.空间两个向量的夹角已知两个非零向量 , 作 则 叫做 向量的夹角. ba,bOBaOA AOBba与0,.a bab当时与 同向1 1,.a bab当时与 反向 2 2关键是起点相同！记作:, a b0,a b,a bb aaboBbAa,OA OBOB OAOA OBOA OB 讲授新课2. 定义：如果，则称向量与互相垂直，记作a babababAaObB2. 两个向量的数量积：| . 定义：设，则有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作OAaOAaa|
3、cos| | cos,: .定义：已知两个向量, ，则把，叫做向量、的数量积，记作，即a bababa babaabbba注意两个向量的数量积是数量，而不是向量. 零向量与任意向量的数量积等于零。a b的几何意义： cos,.a baababa b 数量积等于 的长度与 在 方向上的投影的乘积. 定义：已知向量和轴 ， 是 上与 同方向的单位向量，作点在 上的射影 ，作点在 上的射影 ，则叫做向量在轴 上或在方向上的正射影，简称射影ABal ellAlABlBA BABleABABe|cos.A BABaea e 可以证明：，3 3、射影、射影l3、空间向量数量积的性质应用: 由于空间向量的数
4、量积与向量的模和夹角有关,所以立体几何中的距离、夹角的求解都可以借助向量的数量积运算来解决.(1)空间中的两条直线(特别是异面直线)的夹角,可以通过求出这两条直线所对应的两个向量的夹角而获得.对于两条直线的判断更为方便.(2)空间中的距离,即两点所对应的向量的模.因此空间中的两点间的距离或线段的长度,可以通过求向量的模得到.4. 空间向量数量积运算律 ()()()a ba bab a bb a()a b cab a c （数乘结合律） （分配律） （交换律） 注意：数量积不满足结合律，)()(cbacba也不满足消去率思考：思考：. . 0 )1(请请举举出出反反例例吗吗？如如果果不不能能，能
5、能得得到到由由，对对于于向向量量，则则，若若，的的数数对对于于三三个个均均不不为为cbcabacbacbacabcba (2)0().()?a b cccabcababbakkabkabba对于三个均不为的数 ，若，则或对于向量， ，若，能不能写成，或也就是说，向量有除法吗？巩固练习：巩固练习：3.(课本第92页第3题)已知线段AB、BD在平面 内,BDAB,线段AC ,如果ABa,BDb,ACc,求C、D间的距离. A AD DC CB Bab bc c解：22222222|()|CDCAABBDCAABBDabc 222CDabc巩固练习： 空间向量的运用还经常用来判定空间垂直关系,证两直
6、线垂直常可转化为证明以这两条线段对应的向量的数量积为零. P O A la 例题讲解证明：如图,已知:,POAOllOA射影且 求证：lPA 在直线l上取向量 ,只要证a 0a PA ()0a PAaPOOAa POa OA ,aPAl即PA. 为 P O A la 0,0a POa OA 逆命题成立吗? ?分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析. P O A la 设A、B、C、D是空间不共面的四点,且满足则BCD是 ( )A.钝角三角形 B.直角三角形C.锐角三角形 D.不确定0,0,0AB ACAB ADAC AD CABCD巩固练习：分析：要证明一条
7、直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线, 如果 m, n,求证: . lll lmngn g m l 取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系? 共面向量定理共面向量定理! !lmngn g m l ,gxmyn ,l gxl myl n 0,0 ,l ml m 0,.l glg即 ,lglll即 垂直于平面 内 任一直线.
8、 解: 在 内作不与m ,n重合的任一直线g,在 , ,l m n g 上取非零向量 因m与n相交,故向量m ,n, ,l m n g 不平行,由共面向量定理,存在唯一实数 ,使 ( , )x y例2、已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,如果 m, n,求证: .lll ABA1C1B1C如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,若AB= BB1,则AB1与C1B所成角的大小为( ) A. B. C. D.2105 75 90 60 B巩固练习： 利用向量解决几何问题的一般方法： 把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算去计算或证明，最后解决问题.AC 解：A
9、CABADAA 22222222|()|2()4352(0107.5)85ACABADAAABADAAABADABAAADAA |85AC 2.已知在平行六面体 , 求对角线 的长.ABCDA B C D 4AB 3 ,5 ,90 ,ADAABAD 60BAADAA 巩固练习：DCBDABCA证明：因为MNMAADDN 所以22()110022ABMNABMAADDNABMAABADABDNaa MNAB 同理，MNCD 2.已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于 ，点分别是边的中点.求证： .ABCDaMN、ABCD、,MNABMNCD 巩固练习：NMABDC空间向量数量积的定义 空间向量数量积的性质空间向量数量积的运用空间向量的夹角bababa,cos) 1 (0) 2 (baba22) 3(aaaa(1)cos,a ba ba b用求夹角 (2)0a b用判断垂直 2(3)aa a求求长度 作业:习题3.1第3题
