1、一、竖直平面内的圆周运动 竖直面内圆周运动的临界问题分析竖直面内圆周运动的临界问题分析 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典型的典型的变速曲线运动变速曲线运动，该类运动常有临界，该类运动常有临界问题，并伴有问题，并伴有“最大最大”“”“最小最小”“”“刚好刚好”等词语，常分析两种模型等词语，常分析两种模型轻绳模型轻绳模型和和轻杆模型轻杆模型，分析比较如下：，分析比较如下：轻绳模型轻绳模型轻杆模型轻杆模型常见常见类型类型特点特点一、竖直平面内的圆周运动 在最高点时，没有物体支撑，只能产生拉力轻杆对小球既能产生拉力，又能产生支持力圆周运动的临界问题圆周运动的临
2、界问题1.1.竖直平面内的圆周运动竖直平面内的圆周运动 轻绳模型轻绳模型 ：能过最高点的临界条件：能过最高点的临界条件：RgvmmgR临界2小球在最高点时绳子的拉力刚好小球在最高点时绳子的拉力刚好等于等于0 0，小球的重力充当圆周运，小球的重力充当圆周运动所需的向心力。动所需的向心力。轻绳模型（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用：（2）小球能过最高点条件：（3）不能过最高点条件：（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）RgvmmgR临界2rgv rgv rgv （当 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）如如图所图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道示，固定在竖
3、直平面内的光滑圆弧形轨道ABCDABCD，其，其A A点与圆心等高，点与圆心等高，D D点为轨道最高点，点为轨道最高点，DBDB为竖为竖直线，直线，ACAC为水平线，为水平线，AEAE为水平面，今使小球自为水平面，今使小球自A A点正点正上方某处由静止释放，且从上方某处由静止释放，且从A A点进入圆形轨道运动，点进入圆形轨道运动，通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过最高点最高点D D，则小球在通过，则小球在通过D D点后（点后（ ）A A会落到水平面会落到水平面AEAE上上 B B一定会再次落到圆轨道上一定会再次落到圆轨道上C C可能会落
4、到水平面可能会落到水平面AEAE上上 D D可能会再次落到圆轨道上可能会再次落到圆轨道上A A圆周运动的临界问题圆周运动的临界问题竖竖直平面内的圆周运动直平面内的圆周运动 轻杆模型轻杆模型 ：能过最高点的临界条件：能过最高点的临界条件：0临界v轻杆模型rgvrgv 杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力能过最高点能过最高点v v临界临界0 0，此时支持力，此时支持力N Nmgmg；rgv0当当 时，时，N N为支持力，有为支持力，有0 0N Nmgmg，且，且N N随随v v的增大而减小；的增大而减小；当 时，N0；当当 ，N N为拉力，有为拉力，有N
5、 N0 0，N N随随v v的增大而增的增大而增大大结论： 物体在没有支撑物时:在竖直平面内做圆周运动过最高点的临界条件是：在竖直平面内做圆周运动过最高点的临界条件是：物体的重力提供向心力即物体的重力提供向心力即临界速度是：临界速度是：在其它位置要能做圆周运动，也必须满足在其它位置要能做圆周运动，也必须满足F供供=F需需。 物体在有支撑物时，物体恰能达到最高点的物体在有支撑物时，物体恰能达到最高点的v临界临界=0rvmmg20grv 0例例1 1如如图图4 4所示，细杆的一端与一小球相所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过连，可绕过O O的水平轴自由转动。现给小球的水平轴自由转动。现给小球一初速
6、度，使它做圆周运动。图中一初速度，使它做圆周运动。图中a a、b b分分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能是（）对球作用力可能是（）A A、a a处为拉力，处为拉力，b b处为拉力处为拉力B B、a a处为拉力，处为拉力，b b处为推力处为推力C C、a a处为推力，处为推力，b b处为拉力处为拉力D D、a a处为推力，处为推力，b b处为推力处为推力abA、B例例2 2 长度为长度为L L0.5m0.5m的轻质细杆的轻质细杆OAOA，A A端有端有一质量为一质量为m m3.0kg3.0kg的小球，如图的小球，如图5 5所示，小球所示，小球
7、以以O O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过最高点时小球的速率是最高点时小球的速率是2.0m2.0ms s，g g取取10m10ms s2 2，则此时细杆则此时细杆OAOA受到（）受到（）A A、6.0N6.0N的拉力的拉力B B、6.0N6.0N的压力的压力C C、24N24N的拉力的拉力D D、24N24N的压力的压力B例例3 3：长长L L0.5m0.5m，质量可以忽略的的杆，其，质量可以忽略的的杆，其下端固定于下端固定于O O点，上端连接着一个质量点，上端连接着一个质量m m2kg2kg的小球的小球A A，A A绕绕O O点做圆周运动（同图点做圆周
8、运动（同图5 5），在），在A A通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受力：力：当当A A的速率的速率v v1 11m1ms s时时: :当当A A的速率的速率v v2 24m4ms s时时: :.一轻杆下端固定一质量为一轻杆下端固定一质量为M的小球的小球,上端连在轴上端连在轴上上,并可绕轴在竖直平面内运动并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻不计轴和空气阻力，在最低点给小球水平速度力，在最低点给小球水平速度v0时时,刚好能到达最刚好能到达最高点高点,若小球在最低点的瞬时速度从若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大不断增大,则则可知（可知（ ）A.小
9、球在最高点对杆的作用力不断增大小球在最高点对杆的作用力不断增大B.小球在最高点对杆的作用力先减小后增大小球在最高点对杆的作用力先减小后增大C.小球在最高点对杆的作用力不断减小小球在最高点对杆的作用力不断减小D.小球在最高点对杆的作用力先增大后减小小球在最高点对杆的作用力先增大后减小B 用用钢管做成半径为钢管做成半径为R=0.5mR=0.5m的光滑圆环（管径远小于的光滑圆环（管径远小于R R）竖直放）竖直放置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为m=0.2kgm=0.2kg在环内做圆周运动，求在环内做圆周运动，求: :小球通过最高点小球通过最高
10、点A A时，下列时，下列两种情况下球对管壁的作用力两种情况下球对管壁的作用力. . 取取g=10m/sg=10m/s2 2(1)(1)A A的速率为的速率为1.0m/s 1.0m/s (2)(2)A A的速率为的速率为4.0m/s4.0m/s AOmN1mgAOmN2mgAOm如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置用长用长L=0.1m的细线相连的的细线相连的A、B两小物体。已知两小物体。已知A距轴心距轴心O的距离的距离r=0.2m，A、B的质量均为的质量均为m=1kg，它们与盘面，它们与盘面间相互作用的最大静摩擦力为其重力的间相互作用的
11、最大静摩擦力为其重力的0.3倍，取倍，取g=10m/s2，求：，求：（1）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度0？（2）当）当A与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到的拉与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到的拉力？力？（3）当即将滑动时，烧断细线，）当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？状态如何？B Ao滑动与否的临界问题：滑动与否的临界问题： 滑动与否的临界问题：滑动与否的临界问题： 例例:如图所示，细绳的一端系着质量为如图所示，细绳的一端系着质量为M=2kg的物体，静止在水平粗糙的圆盘上，另一端通的物体，静止在水平粗糙的圆盘上，另一端通过光滑的小孔
12、吊着质量为过光滑的小孔吊着质量为m的物体，的物体，M的重心与的重心与圆孔的距离为圆孔的距离为0.5m，已知当圆盘转动的角速度，已知当圆盘转动的角速度满足满足1rad/s3rad/s时，物体时，物体m将保持静止将保持静止状态。求状态。求M所受的最大静摩擦力和所受的最大静摩擦力和m的质量？的质量？mMo例、例、A A、B B两个物体放在旋转圆台上，动摩擦因两个物体放在旋转圆台上，动摩擦因数均为数均为 ，A A的质量为的质量为mm，B B的质量为的质量为2m2m，A A离轴离轴为为R/2R/2，B B离轴为离轴为R R，则当圆台旋转时：，则当圆台旋转时：( (设设A A、B B都没有滑动，如下图所示
13、都没有滑动，如下图所示)( )( )A.BA.B的向心加速度是的向心加速度是A A的向心加速度的两倍的向心加速度的两倍B.BB.B的静摩擦力是的静摩擦力是A A的静摩擦力的两倍的静摩擦力的两倍C.C.当圆台转速增加时，当圆台转速增加时，A A比比B B先滑动先滑动D.D.当圆台转速增加时，当圆台转速增加时，B B比比A A先滑动先滑动A AB BmgmgN Nf fA A如图所示，如图所示，A、B、C三个物体放在旋三个物体放在旋转平台上，最大静摩擦因数均为转平台上，最大静摩擦因数均为，已知已知A的质量为的质量为2m，B、C的质量均的质量均为为m，A、B离轴距离均为离轴距离均为R，C距离距离轴为
14、轴为2R，则当平台逐渐加速旋转时，则当平台逐渐加速旋转时（ ）A.C物的向心加速度最大物的向心加速度最大B.B物的摩擦力最小物的摩擦力最小C.当圆台转速增加时，当圆台转速增加时，C比比A先滑动先滑动D.当圆台转速增加时，当圆台转速增加时，B比比A先滑动先滑动ABC脱离与否的临界问题：脱离与否的临界问题：如如图示，质量为图示，质量为M的电动机始的电动机始终静止于地面，其飞轮上固终静止于地面，其飞轮上固定一质量为定一质量为m的物体，物体距的物体，物体距轮轴为轮轴为r，为使电动机不至于，为使电动机不至于离开地面，其飞轮转动的角离开地面，其飞轮转动的角速度速度应如何？应如何？rMmMMgTmmgT如图
15、所示，两绳的系一质量为如图所示，两绳的系一质量为m=0.1kg的小球，的小球，上面绳长上面绳长l=2m，两绳都伸直时与轴的夹角分别，两绳都伸直时与轴的夹角分别为为300和和450.问球的角速度在什么范围内两绳始问球的角速度在什么范围内两绳始终张紧？当角速度终张紧？当角速度=3rad/s时，上下两绳的拉时，上下两绳的拉力分别为多大？力分别为多大？AB300450m绳伸直与否的临界问题绳伸直与否的临界问题：如图，一光滑圆锥体固定在水平面上，如图，一光滑圆锥体固定在水平面上，OCABOCAB，AOC=30oAOC=30o，一条不计质量、长为，一条不计质量、长为L L的绳的绳(LOA)(LOA)一端固一端固定在顶点定在顶点O O，另一端拴一质量为，另一端拴一质量为m m的质点，质点以速度的质点，质点以速度v v绕圆锥体的轴线绕圆锥体的轴线OCOC在水平面内作匀速圆周运动。在水平面内作匀速圆周运动。gL61gL23当当v=v=(2)(2)当当v=v=时，求出绳对物体的拉力；时，求出绳对物体的拉力；时，求出绳对物体的拉力。时，求出绳对物体的拉力。圆锥面上的临界问题：圆锥面上的临界问题：
