1、第 1 页（共 7 页） 2022 年锦州市普通高中高三质量检测 数学（参考答案及评分标准） 一、选择题：本题共一、选择题：本题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分分. .在每小题给出的四个选项中，只有一项在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的是符合题目要求的. . C B B A A D C A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. .在每小题给出的选项中，有多项符合题目在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求要求. .全部选对的全部选对的得得 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 分，有
2、选错的得分，有选错的得 0 分分. . 9. ABD 10. CD 11.ACD 12.AC 三、填空题：本题共三、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分. 13. 0.3 14. 32 15. 53 16. 2 ，23 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分. 解答应写出文字说明、证明过解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 . 17.（本题满分 10 分） 解：(1)=12 sin，=12 sin， 因为= 2， = ，所以 = 2， 2 分 由正弦定理可得sinsin= 2. 4 分 (2)由(1)知 = 2
3、，由余弦定理2= 2+ 2 2cos，又cos =14， = 2， 所以4 = 2+ 42 4214，所以 = 1， = 2， 6 分 因为cos =14，且0 203，所以建议王某选择报团游 12 分 19.（本题满分 12 分） 解：(1)在等比数列中， 1，且2= 2，1+ 3= 5， 则1 = 21+ 12= 5，解得1= 1 = 2或1= 4 =12(舍). 2 分 = 21. 4 分 (2)选择条件，1= 1， = ， 当 2时，1= ( 1)1， 5 分 可得= 1= ( 1)1，整理得= 1，6 分 数列为常数列，又1= 1，所以= 1， 7 分 X 0 1 2 3 P 827
4、 49 29 127 第 3 页（共 7 页） = 21 1， 8 分 = (1 + 2 + 22+.+21) =1(12)12 = 2 1 ，9 分 令() = 2 1 ，则() = 2ln2 1 0在1,+)上恒成立， 则()在1,+)上单调递增，即= 2 1 在1,+)上单调递增，10 分 又6= 57 100， 11 分 存在 k，使得 100，k 的最小值为 7； 12 分 评卷说明： 1. 没有证明单调性，没有求出 k 的最小值，但能举例说明存在 k 使得 100， 比如10= 1013 100，扣 2 分. 2. 没有证明单调性，但能说明Tk 100且归纳出 k 的最小值扣 1
5、分） 选择条件，2= 3 1，当 = 1时，21= 21= 31 1，得1= 1，5 分 当 2时，21= 31 1， 6 分 可得2( 1) = 3( 1)，即2= 3 31， 得= 31， 7 分 数列是首项为 1，公比为 3 的等比数列，则= 31， 8 分 = 21 31， 9 分 因为n 1时 21 31，所以 100. 12 分 20.（本题满分 12 分） （1）证明：连接AC，交BD于点O，连接SO ， 因为四边形ABCD是菱形，所以O为AC,BD的中点，且BD AC, 1 分 因为三棱锥S BCD是正三棱锥, SB = SD，O为BD的中点，所以BD SO， 2 分 又SO
6、AC = O,所以 BD 平面 SAC. 3 分 评卷说明： 1.没有说明SO AC = O 扣一分. 2.用向量证明：建系正确 1 分，求出法向量（或者直接用数量积得 0 证明垂直）1 分， 结论 1 分. 第 4 页（共 7 页） (2)作 平面于，则为正三角形的中心，在线段上， 且 =32， =13 =1332=36， =23 =33， = 2 2= 4313= 1 如图，以为坐标原点，分别以 ， ， 的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系， 4 分 则(0,32,0)，(12,0,0)，(0,32,0)，(12,0,0)，(0,36,1)，(0,36,12)，(0,33,12)，
7、 所以 = (12,36,12)， = (12,33,12)， = (1,0,0)， 设1 = (1,1,1)是平面的法向量， 则1 = 121361+121= 01 = 121+331+121= 0， 取1 = (1,0,1)， 5 分 设2 = (2,2,2)是平面的法向量， 则2 = 2= 02 = 122+332+122= 0，取2 = (0,3,2)，6 分 所以cos =1 2 |1 |2 |=227= 147，7 分 又因为二面角 是锐二面角， 所以二面角 的余弦值为1478 分 （评卷说明：用几何法解答，找到二面角 3 分，求值正确 2 分） (3)直线与平面平行. 理由如下：
8、 连接，由(1)知为的中点，又为的中点，所以/，9 分 又因为 平面， 平面，所以直线/平面10 分 (或者用向量法证明直线与平面平行： 由(2)知n2 = (0,3,2)是平面BDF的一个法向量， 又(0,32,0)，(0,36,1)，所以 = (0,233,1)， 所以 n2 = 0 0 + 3 (233) + (2) (1) = 0, 第 5 页（共 7 页） 所以 n2 ， 9 分 又因为 平面，所以直线/平面10 分） 设点与平面的距离为,则即为直线与平面的距离， 因为 = (0,32,0), 2 = (0,3,2)是平面的一个法向量， 所以 | 2 |2 |=|00+3(32)+0
9、(2)|7=3714 , 所以点与平面的距离为3714， 11 分 所以直线与平面的距离为3714 . 12 分 评卷说明： 1.用几何法解答，找到垂线段 2 分，求出距离 2 分. 2.用等体积法，求出两个底面积 2 分，求出距离 2 分 21 （本题满分 12 分） 解：(1)由题意可知：( + 2)2+ 2 ( 2)2+ 2= 2，1 分 所以点到点1(2,0)与到点2(2,0)的距离之差为2，且2 0, 0, 0)， 其中2 = 2，2 = 4，所以 = 1， = 2，3 分 所以2= 2 2= 3，所以曲线的方程为223= 1( 0)4 分 评卷说明：没有说明是右支扣一分. (2)(
10、)证明：设直线的方程为 = + 2，(1,1)，(2,2)，其中1 0，2 0 联立 = + 2223= 1，消去，可得(32 1)2+ 12 + 9 = 0，5 分 由题意知32 1 0且= 1442 36(32 1) = 36(2+ 1) 0， 所以1+ 2=12321，12=9321 6 分 直线： =11+1( + 1)，直线： =221( 1)， 第 6 页（共 7 页） 由于点(1,1)在曲线上，可知12= 3(12 1)，所以11+1=3(11)1， 所以直线： =3(11)1( + 1). 联立，消去可得3(11)1( + 1) =221( 1)， 即3(+1)1=12(11)
11、(21)，所以3(+1)1=12(1+1)(2+1)=12212+(1+2)+1， 所以3(+1)1=992122+321= 9，所以 =12，所以点在定直线 =12上8 分 ()证明：由题意，与()同理可证点也在定直线 =12上 设(12,)，(12,)，则 由于在直线： =11+1( + 1)上，在直线： =22+1( + 1)上， 所以 =3211+1， =3222+1， 9 分 所以 =9412(1+1)(2+1)=9412(1+3)(2+3)=9412212+3(1+2)+9=94992362+9(321)= 94， 10 分 又因为 = (32,)， = (32,)，所以 =94+
12、 = 0，所以 12 分 22（本题满分12分） (1)解：函数() = ，所以 () = 2，1 分 若 0，则 0都有() 0,所以()在(0,+)为增函数，符合题意. 2 分 若 0,因为()在(0,+)为增函数，所以 0，() 0恒成立， 即 0， 2恒成立，令() = 2，则() = 2( +12) 0， 所以函数()在(0,+)上单调递增， () (0) = 0，所以 0 这与 0矛盾，所以舍去.3 分 综上，的取值范围是(,0 4 分 (2)证明：1，2是函数()的两个不同的零点， 所以1= 1，2= 2， 5 分 第 7 页（共 7 页） 显然1 0，2 0，则有1= +121
13、，2= +122， 所以1 2=121122，不妨令1 2 0，设 =12 1， 于是得1=2(1)，2=2(1)，要证1+ 2=(+1)2(1) 1， 只需证 2(1)+1，即 2(1)+1 0 ，令() = 2(1)+1， 1， 6 分则() =14(+1)2=(1)2(+1)2 0， 所以函数()在(1,+)上单调递增， 7 分 所以() (1) = 0，于是得1+ 2 1， 8 分 又1+ 2= 2 +12ln(12)，要证1+ 2 2 2， 只需证12ln(12) 2，即1214， 9 分 而12=()24(1)2，即证()24(1)214，即 1，即 +1 1，则() =11212= (1)22 0， 所以函数()在(1,+)上单调递减， 11 分 所以 () (1) = 0，即有1+ 2 2 2， 综上，1 1+ 2 2 2 12 分
