1、 数学答案（共 10 页）第1页 2022 届宁德市普通高中毕业班届宁德市普通高中毕业班五月份质量检查五月份质量检查 数学试题参考答案及评分标准数学试题参考答案及评分标准 说明： 1.本解答指出了每题要考察的主要知识和能力，给出一种或几种解法供参考如果考生的解法与给出的解法不同，可根据试题的主要考察内容比照评分标准确定相应的评分细则 2.对解答题，当考生的解答在某一步出现错误，但整体解决方案可行且后续步骤没有出现推理或计算错误，则错误部分依细则扣分，并根据对后续步骤影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过后续部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3.解答右端
2、所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4.解答题只给整数分数，填空题不给中间分 一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题一、选择题：本题考查基础知识和基本运算，每小题 5 分，满分分，满分 40 分分 1A 2D 3B 4C 5C 6D 7B 8A 二、选择题：本题共二、选择题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分全部选对的得全部选对的得 5 分，有选错的得分，有选错的得 0分，部分选对的得分，部分选对的得 3 分分 9AB 10BD 11BCD 12AC 三三、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题、填空题：本题考查基础知识和基本运算，每小题
3、 5 分，满分分，满分 20 分分 132214yx = 14725 152 162,()192 7 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 70 分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤 17.本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力， 考查化归与转化思想等满分 10 分 解法一： （1）由正弦定理可得 sincos()sinsin6CAAC=， 1 分 sin0,cos()sin6CAA=，2 分 31cossinsin22AAA+=， 3 分 可得 tan3A=, 4 分 0,3AA
4、=. 5 分 注：注：最后最后答案答案用用弧度制弧度制或或角度角度制制表示表示都都可以。可以。 （2）依题设 6BADCAD= =,设ADx=. 由余弦定理得2222cosBCABACAB ACA=+， 6 分 数学答案（共 10 页）第2页 由题设知，22712cos,603bbbb= +即， 又0b ， 3b =，7 分 由 ABCABDACDSSS=+可得8 分 111sinsinsin222AB ACAAB ADBADAC ADCAD=+， 所以1113 sinsin3sin232626xx =+，.9 分 解得 3 34x =,即3 34AD =.10 分 解法二： （1）由正弦定理
5、可得 sincos()sinsin6CAAC=， 1 分 sin0,cos()sin6CAA=，2 分 cos()cos()62AA=，3 分 50,666222AAA， ()6262AAAA= ， 或,4 分()3A=后者无解. 5 分 （2）由余弦定理得2222cosBCABACAB ACA=+， 6 分 由题设知，22712cos,603bbbb= +即， 又0b ， 3b =，7 分 由ABDACDSBDSDC=得13BDABDCAC=， 1744BDBC=，8 分 222213 3cos,sin1cos22 72 7acbBBBac+= =,9 分 数学答案（共 10 页）第3页 由
6、正弦定理得 7 3 3sin3 342 714sin62BDBAD=, 所以3 34AD =.10 分 18. 本小题主要考查空间直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，空间角的计 算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想 等满分 12 分 解： （1）证明：因为四边形ABCD为矩形，所以BCCD 又BCDE CDDED= 所以BC 平面PCD 1 分 则BCPD2 分 又222PDCDPC+= 3 分 所以CDPD 4 分 BCCDC= 所以PD 平面ABCD 则PDAC5 分 （2）解法一：由（1）得，PD 平面ABCD，且四边形ABCD为矩形
7、如图建立空间直角坐标系 (0,0,0)D,(1,0,0), (0,0,1), (1,2,0)(0,2,0)APBC， 6 分 易知，平面ABD的一个法向量为1(0,0,1)=n7 分 点E在线段PC上，设(01)PEPC= 则(0,2 ,1)DEDPPEDPPC=+=+=8 分 (1,0,0)DA = 设平面EAD的一个法向量为2( , , )x y z=n 2200DEDA=nn，即2(1)00yzx+= 令1y=，得2z= 则2(0,1,2 )=n9 分 由二面角EADB的余弦值为4得1212122cos,2 =n nn nn n 即22222(1)4=+ 解得13=或1= （舍去） 则2
8、2 2(0, )3 3=n10 分 又( 1, 2,1)BP = 设直线BP与平面EAD所成角为， xyzPBACDE 数学答案（共 10 页）第4页 222sincos,BPBPBP= =nnn 32=11 分 直线BP与平面EAD所成角大小为312 分 解法二：由（1）得，BC 平面PCD， 则AD 平面PCD ADDE 又ADCD 所以CDE即为二面角EADB的平面角 则4CDE=6 分 121sin2442PDESPDDEDEPE h=， 121sin2422CDESCDDEDECE h= 所以12PECE=，即E为PC的三等分点7 分 取CD中点M，连接PM,PMDEG= 易知PDM
9、为等腰直角三角形 所以PMDE 又AD 平面PCD，则ADPM ADDED= 所以PM 平面ADE8 分 过E作/ /EHBC，EHPBH= 则PHG即为直线BP与平面EAD所成角9分 在Rt PHG中，22PG =，1633PHPB=10 分 所以3sin2PGPHGPH=11 分 直线BP与平面EAD所成角大小为312 分 19本小题主要考查等比数列的通项公式、求和等基础知识，考查运算求解能力，逻辑推理能力，化归与转化思想等满分 12 分 解： （1）设数列3ns +的公比为()0q q 由13a =，得136s +=，1 分 所以136nnsq+=，即163nnsq=2 分 由1s，3s
10、，412ss成等差数列， DACBPEGDCPEMGPBACDEMH 数学答案（共 10 页）第5页 所以314122ssss=+，3 分 即2312666qq=， 解得2q =，或0q =（舍去） 4 分 所以1623nns=5 分 （2）由1623nns=，当2n时，21623nns=， 两式相减得，13 2nna= ，对1n =也成立 所以13 2nna= 6 分 设()()()()111162311123 22nnnnnnnnnsba= ，7 分 当n为奇数时，1122nnb= +为递减数列，所以21nb ；9 分 当n为偶数时，1122nnb=为递增数列，所以322nb，11 分 所
11、以MN的最小值为 4 12 分 注：注：第（第（1）题题未未设设公比公比扣扣 1 分分；第（第（2）题题未未判断判断nb的的单调性单调性各各扣扣 1 分，分，两两个个nb的的范围范围中中开开闭闭有有错错总共总共扣扣 1 分分。 20.本小题主要考查频率分布直方图、 二项分布、 正态分布等基础知识， 考查运算求解能力、数据处理能力、应用意识，考查统计思想、化归与转化思想满分 12 分 解:（1）设一件产品的利润为 ，由题意可得： 30 0.820 0.1540 0.0525E=+= 所以从中随机抽取一件利润的期望值为25元 4 分 （2）因为byc x= （00cb，） 所以lnlnlnycbx
12、=+5 分 令lniiux=，lniivy=得vb ua=+且lnac= 依题设数据可得0.451.1vu= =，12ABk= 根据所给统计量及最小二乘估计公式有： 数学答案（共 10 页）第6页 122211.876 1.10.4519.466 1.12niiiniiuvnuvbnuu= =（），7 分 所以10.451.112avbu= = ，即ln1ac= ，8 分 所以1ec =， 所求y关于x的回归方程为121eyx=9 分 因为今年 6 月份即9x = 所以1391.11e2.7y =（万只） ，10 分 估计该企业今年 6 月份的利润约为1.11 2527.7527.8=万元.
13、12 分 21. 本题主要考查直线、抛物线、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，考查考生分析问题和解决问题的能力，满分 12 分 解法一： 解（1）把0(,4)M x代入抛物线C得，0162px=，得08xp=，1 分 由5MF =得08522ppxp+=+=，2 分 得210160pp+=，3 分 解得2p =或8p =4 分 (2) 当8p =时，01x =，故舍去5 分当2p =时，04x =，所以(4,4)M，抛物线C：24yx= 设211(,)4yAy，222(,)4yBy，直线AB的方程为xmyn=+，与抛物线C联立得
14、6 分 2440ymyn=， 所以12124 ,4 .yymyyn+= 7 分 由MAMB，得0MA MB=， 所以()()2212124444044yyyy+=，8 分 数学答案（共 10 页）第7页 由14y 且24y ， 故()()1244160yy+=， 即()12124320y yyy+=， 所以416320nm+=，即48nm=+，9 分 从而直线AB的方程为48(4)8xmymm y=+=+， 即直线AB过定点(8, 4)Q10 分 又2MQk= ，当MN最大时即ABMN，11 分 所以2m=，直线AB的方程为2160 xy=12 分 方法二； （1）同解法一； （2）当8p =
15、时，01x =，故舍去5 分 当2p =时，04x =，所以(4,4)M，抛物线C：24yx= 设211(,)4yAy，222(,)4yBy， 则12221212444AByykyyyy=+ 6 分 由MAMB，得0MA MB=， 所以()()2212124444044yyyy+=，7 分 由14y 且24y ， 故()()1244160yy+=， 即()1212432y yyy= +，8 分 直线AB的方程为2111244yxyyxyy=+ ， 整理得12124()xy yy yy+=+，9 分 将式代入，可得()12432()4xyyy=+， 数学答案（共 10 页）第8页 即直线AB过定
16、点(8, 4)Q10 分 又2MQk= ，当MN最大时即ABMN，11 分 所以，直线AB的方程为2160 xy=12 分 22本小题主要考查导数及其应用、不等式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能 力、创新意识等，考查函数与方程思想、化归与转化思想、分类与整合思想等满分 12分 解： （1）当1a =时，( )e sinxf xxax=+，,02x ( )e sine cos1= 2e sin14xxxfxxxx=+，2 分 当,02x 时，,44 2x + ， 所以22sin242x+，12sin14x +， 又0e1x， 故2e sin14xx+ ，从而( )0f x4 分 所以，(
17、 )f x在,02上单调递增. 5 分 （2）选择 由函数( )sinxf xexax=+，02x，可知( )00f=， 因此( )f x在02x （ ，上有且只有 1 个零点. ( )sincosxxfxexexa=+，令 ( )sincosxxh xexexa=+， 则( )2cos0 xh xex=在02，上恒成立， 即( )f x在02，上单调递增. 7 分 (0) 1fa= +，2()2fea=+ 当1a 时，( )(0)0f xf，( )f x在02，上单调递增， 则( )f x在02（ ，上无零点.不合题意，舍去. 8 分 数学答案（共 10 页）第9页 当2ae 时，( )(
18、)02fxf，( )f x在02，上单调递减， 则( )f x在02（ ，上无零点.不合题意，舍去. . 9 分 当21ea 时，(0)10fa= +，2()02fea=+， 则( )fx在0，2上只有 1 个零点，设为0 x， 且当()00,xx时，( )0f x；当02xx，时，( )0f x， 所以当()00,xx时，( )f x在()00,x上单调递减，在02x，上单调递增. 10 分 又(0)0f=，2()22fea=+， 因此只需2()022fea=+即可,即221ea . 综上所述221ea . 12 分 选择 构造函数( )2sinxm xexaxx=+,02x， 此时( )0
19、0m=,22244mea=+. 则( )sincos2xxm xexexax=+，( )01ma= +,22mea=+， 易知( )12mm. 令( )sincos2xxt xexexax=+,( )2cos2xtxex=,( )00t=,22t= . 令( )2cos2xp xex=,( )()2cossinxpxexx=,( )02p=,222pe= . 令( )()2cossinxq xexx=,则( )4sin0 xqxex= , 所以( )()2cossinxq xexx=在0，2上单调递减, 7 分 又( )( )0020qp=,2=2022qpe= , 在0，2上存在唯一实数1x
20、使得( )10q x=,且满足当()10,xx时，( )0q x ； 数学答案（共 10 页）第10页 当12xx，时，( )0q x , 即( )p x在()10,x上单调递增，在12x，上单调递减. 8 分 又( )( )000pt=,=t2022p= ， 所以( )2cos2xp xex=在12x， 上存在唯一实数2x使得()20p x=， 且满足当()20,xx时，( )0p x ；当22xx，时，( )0p x ， 即( )( )t xm x=在()20,x上单调递增，在22x，上单调递减. 10 分 当( )010ma= +时，即1a ，( )0m x，函数( )2sinxm xexaxx=+在02，上单调递增，又( )00m=，因此( )2sin0 xm xexaxx=+恒成立，符合题意. 当( )010ma= +，即1a ，在02x，上必存在实数3x，使得当()30 xx，时，( )0m x 又( )00m=，因此在()30 xx，上存在实数( )0m x ，不合题意，舍去. 综上所述1a .12 分
