1、第二章微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学导数导数描述函数变化快慢微分微分描述函数变化程度(从微观上研究函数)导数与微分英国数学家 Newton导数的概念导数的概念 一、一、 引例引例1. 变速直线运动的速度变速直线运动的速度设描述质点运动位置的函数为)(tfs 0t则 到 的平均速度为0tt v)()(0tftf0tt 而在 时刻的瞬时速度为0t lim0ttv)()(0tftf0tt so)(0tf)(tft xyo)(xfy C2. 曲线的切线斜率曲线的切线斜率曲线)(:xfyCNT0 xM在 M 点处的切线x割线 M N 的极限位置 M T割线 M N 的斜率tan)
2、()(0 xfxf0 xx 切线 MT 的斜率=割线MN的斜率的极限 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 0 xx两个问题的共性共性:瞬时速度 lim0ttv)()(0tftf0tt 切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 .为函数关于自变量的瞬时变化率的问题0limxyx 二、导数的定义二、导数的定义定义定义1 . 设函数)(xfy 在点0 x0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim存在,)(xf并称此极限为)(xfy 记作:;0 xxy; )(0 xf ;dd0 xxxy0d)(dxxxxfxxfxxfx)()(l
3、im000则称函数若的某邻域内有定义 , 在点0 x处可导可导, 在点0 x的导数导数. 若上述极限不存在 ,在点 不可导. 0 x若,lim0 xyx也称)(xf在0 x就说函数的导数为无穷大 .在 时刻的瞬时速度0t运动质点的位置函数)(tfs lim0ttv)()(0tftf0tt 曲线)(:xfyC在 M 点处的切线斜率 lim0 xxk)()(0 xfxf0 xx )(0tf )(0 xf yxf (1 ),f (2 )设=, 求1. 设)(0 xf 存在 , 则._)()(lim000hxfhxfh2. 已知,)0(,0)0(0kff则._)(lim0 xxfx)(0 xf 0k解
4、解: 3. 设)(xf 存在, 且, 12)1 () 1 (lim0 xxffx求).1 (f xxffx2)1 () 1 (lim0所以. 2) 1 ( fxfxfx2) 1 ()1 (lim0)() 1 ()(1 (lim210 xfxfx1) 1 (21f4. 设)(0 xf 存在, 求极限.2)()(lim000hhxfhxfh解解: 原式0limhhhxf2)(0)(0 xfhhxf2)( 0)(0 xf)(210 xf )(210 xf )(0 xf )(2 )(0hhxf)(0 xf0limhhhxf2)(0)(0 xf 存在,在点0 x的某个右右 邻域内)(xfy 则称此极限值
5、为)(xf在 处的右右 导数导数,0 x记作)(0 xfxxfxxfx)()(lim000(左)(左左)(0 xf定义定义2 . 设函数有定义,)(0 xf 存在)(0 xf)(0 xf)(0 xf 不存在0()fx)(0 xf单侧导数单侧导数若极限例如例如,xxf)(在 x = 0 处有,1)0(f1)0(f.0不可导在即xxy=x xf (0).例：设，求1xarctanx0f(x)=f (0)x0 x0例：设，求若函数在开区间 I 内每点都可导,此时导数值构成的新函数称为导函数.记作:;y;)(xf ;ddxy.d)(dxxf注意注意:)(0 xf 0)(xxxfxxfd)(d0就称函数
6、在 I 内可导. 若函数)(xf)(af)(bf与则称)(xf在开区间 内可导,),(ba在闭区间 上可导.,ba且例例1. 求函数Cxf)(C 为常数) 的导数. 解解:yxCCx0lim0即0)(Cxxfxxf)()(0limx例例2. 求函数xxfln)(的导数. 解解: )(xf hxfhxf)()(0limhhxhxhln)ln(lim0hh1lim0)1(lnxh即xx1)(lnx1xhhh1lim0说明：说明：对一般幂函数xy ( 为常数) 1)(xx例如，例如，)(x)(21 x2121xx21x1)(1x11x21x)1(xx)(43x4743x四、初等函数的求导问题四、初等
7、函数的求导问题 1. 常数和基本初等函数的导数 (P94) )(C0 )(x1x )(sin xxcos )(cosxxsin )(tan xx2sec )(cot xx2csc )(secxxxtansec )(cscxxxcotcsc )(xaaaxln )(xexe )(log xaaxln1 )(lnxx1 )(arcsin x211x )(arccosx211x )(arctan x211x )cot(arcx211x 2111() ()2xxxeexxx 四、四、 导数的几何意义导数的几何意义xyo)(xfy CT0 xM曲线)(xfy 在点),(00yx的切线斜率为)(tan0
8、xf 若,0)(0 xf曲线过上升;若,0)(0 xf曲线过下降;xyo0 x),(00yx若,0)(0 xf切线与 x 轴平行,称为驻点驻点;),(00yx),(00yx0 x若,)(0 xf切线与 x 轴垂直 .曲线在点处的),(00yx切线方程切线方程:)(000 xxxfyy法线方程法线方程:)()(1000 xxxfyy)0)(0 xfxyo0 x,)(0时 xf例例7. 问曲线3xy 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处的切线与直线131xy平行 ? 写出其切线方程.解解:)(3xy3231x,13132x,0 xy0 x令,3113132x得,1x对应,1y则在点(1,1) , (1,
9、1) 处与直线131xy平行的切线方程分别为),1(131xy) 1(131xy即023 yx故在原点 (0 , 0) 有垂直切线处可导在点xxf)(五、五、 函数的可导性与连续性的关系函数的可导性与连续性的关系定理定理1.处连续在点xxf)(证证: 设)(xfy 在点 x 处可导,)(lim0 xfxyx存在 , 因此必有,)(xfxy其中0lim0 x故xxxfy)(0 x0所以函数)(xfy 在点 x 连续 .注意注意: 函数在点 x 连续未必可导连续未必可导.反例反例:xy xyoxy 在 x = 0 处连续 , 但不可导.即判断可导性不连续, 一定不可导.直接用导数定义 可导必连续,
10、 但连续不一定可导;在求. 设, )()()(xaxxf其中)(x在ax 因)()()()(xaxxxf故)()(aafaxafxfafax)()(lim)(axxaxax)()(lim)(limxax)(a正确解法:)(af 时, 下列做法是否正确?处连续,第二节函数的求导法则 二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则 四、初等函数的求导问题四、初等函数的求导问题 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则 定理定理1.具有导数都在及函数xxvvxuu)()()()(xvxu及的和、 差、 积、 商 (除分母为
11、 0的点外) 都在点 x 可导, 且)()( )()() 1 (xvxuxvxu)()()()( )()()2(xvxuxvxuxvxu)()()()()()()()3(2xvxvxuxvxuxvxu)0)(xv此法则可推广到任意有限项的情形.wvuwvu)( ,例如推论推论: )() 1uC()uvw uC wvuwvuwvu( C为常数 )22)CCvvv( C为常数 )例例1. 解解:xsin41(21)1sin, )1sincos4(3xxxy.1xyy 及求 y)(xx)1sincos4(213xxx23( xx)1xy1cos4)1sin43( 1cos21sin2727)1sin
12、cos4(3xx)1sincos4(3xx )(cscxxsin1x2sin)(sinxx2sin例例2. 求证,sec)(tan2xx证证: .cotcsc)(cscxxxxxxcossin)(tan x2cosxx cos)(sin)(cossinxx x2cosx2cosx2sinx2secxcosxxcotcsc )( xf二、反函数的求导法则二、反函数的求导法则 定理定理2. y 的某邻域内单调可导, ,)()(1的反函数为设yfxxfy在)(1yf0 )(1yf且 ddxy或yxdd1 )(1yf11例例1. 求反三角函数的导数.解解: 设,arcsin xy 则,sin yx ,
13、 )2,2(y)(arcsinx)(sinyycos1y2sin11211x0cosy, 则在点 x 可导,三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理3.)(xgu )(ufy 在点)(xgu 可导复合函数 fy )(xg且)()(ddxgufxy在点 x 可导,例例2. 求下列导数:. )(sh)3(;)()2(;)() 1 (xxxx解解: (1)()(lnxexxeln)ln(xxx1x)()(lnxxxexxxeln)ln(xxxx)1ln(x(2)(3)2)(shxxeex2 xexexch例如,)(, )(, )(xvvuufyxydd)()()(xvufyuvxuyddvu
14、ddxvdd关键: 搞清复合函数结构, 由外向内逐层求导.推广推广：此法则可推广到多个中间变量的情形.例例3. 设, )cos(lnxey 求.ddxy解解:xydd)cos(1xe)sin(xexe)tan(xxee例例4. 设, )1(ln2xxy.y求解解: y112xx11212xx2112x 初等函数在定义区间内可导初等函数在定义区间内可导,且导数仍为初等函数且导数仍为初等函数例例7. 求解解:,1arctan2sin2xeyx.y1arctan) (2xy) (2sin xe2sin xe2cos xx221x1212xx2x21arctan2x2sin xe2cosx2sin x
15、e112xx关键关键: 搞清复合函数结构 由外向内逐层求导例例8. 设求,1111ln411arctan21222xxxy.y解解: y22)1(1121x21xx) 11ln() 11ln(22xx111412x21xx1112x21xx2121xx221x21x231)2(1xxx. 求下列函数的导数解解: (1)1bxaby2xa1bbxba(2) y)(x.)2(,) 1 (xbbayxayxbabalnxabbaln或xabyababxln思考思考: 若)(uf 存在 , 如何求)cos(lnxef的导数?xfdd)cos(ln(xef ) )cos(lnxe)cos(ln)(xeuuf这两个记号含义不同练习练习:1、 设,)(xfffy .,)(yxf求可导其中解解:)(fy)(xff)(f )(xf)(xf 22 (sin )( )( )(sin )(arctan )xyf gxyfxgxyf exfx、
