1、小波包分析与第二代小波北京科技大学阳建宏2022-4-24北京科技大学 机械工程学院2/ 82主要内容主要内容o小波包分析小波包分析o第二代小波第二代小波oMatlab在小波分析中的应用在小波分析中的应用北京科技大学 机械工程学院3/ 82双通道滤波过程双通道滤波过程A A：信号的：信号的近似值近似值 原始信号通过低频滤波器产原始信号通过低频滤波器产 生，表示信号的生，表示信号的低频低频分量分量D D：信号的：信号的细节值细节值 原始信号通过高频滤波器产原始信号通过高频滤波器产 生，表示信号的生，表示信号的高频高频分量分量然后，对信号的然后，对信号的近似信号近似信号A A继续继续使用滤波器进行
2、分解使用滤波器进行分解 如果如果S S表示原始的输入信号，表示原始的输入信号， DWTDWT的概念是通过两的概念是通过两个互补的滤波器（高频和低频）产生个互补的滤波器（高频和低频）产生A A和和D D两个信号两个信号离散小波的分解离散小波的分解北京科技大学 机械工程学院4/ 82小波分解树小波分解树离散小波的分解离散小波的分解北京科技大学 机械工程学院5/ 82o完全重构完全重构 小波系数不经过处理，通过逆小波系数不经过处理，通过逆变换重构回原始信号变换重构回原始信号 S=cA1+cD1 =cA2+cD2+cD1 =cA3+cD3+cD2+cD1o单支重构单支重构 用其中某一层近似或细节系数用
3、其中某一层近似或细节系数重构重构o阈值处理小波系数后重构阈值处理小波系数后重构,( )0, sgn( )(),( )0, 代表原始小波系数，代表原始小波系数， 表示阈值处理后的小波系数，然后表示阈值处理后的小波系数，然后再进行小波的逆变换再进行小波的逆变换软阈值软阈值硬阈值硬阈值,( )0, 离散小波的重构离散小波的重构北京科技大学 机械工程学院6/ 82离散小波变换离散小波变换只是对近似信号进行再分解只是对近似信号进行再分解，而没有对，而没有对细节信号进行再分解，因此没有提高细节信号的频率细节信号进行再分解，因此没有提高细节信号的频率分辨率。分辨率。为什么要用小波包分析？为什么要用小波包分析
4、？北京科技大学 机械工程学院7/ 82小波包理论是在多尺度分析和小波包理论是在多尺度分析和MallatMallat算法基础上发展算法基础上发展起来的。起来的。小波包分析同时分解小波包分析同时分解细节信号细节信号和和近似信号近似信号u小波包分解算法：小波包分解算法：近似信号近似信号细节信号细节信号)()()()(tGPtPtHPtPijijijij12112H低通滤波器低通滤波器G高高通滤波器通滤波器Pij是第是第j j层小波包分解得到层小波包分解得到的第的第i i个小波包个小波包 小波包的分解小波包的分解北京科技大学 机械工程学院8/ 82从时域来看小波包分解从时域来看小波包分解p每一层的小波
5、包数目比上一层中的小波包数目增加一倍每一层的小波包数目比上一层中的小波包数目增加一倍p每个小波包的数据长度比上一层小波包数据长度减半每个小波包的数据长度比上一层小波包数据长度减半p每个小波包的时域分辨率比上一层小波包的时域分辨率减半每个小波包的时域分辨率比上一层小波包的时域分辨率减半小波包的分解小波包的分解北京科技大学 机械工程学院9/ 82从频域来看小波包分解从频域来看小波包分解p每个小波包数据是原始信号在不同频率段上的成份每个小波包数据是原始信号在不同频率段上的成份p小波包的频带相邻，并且带宽相等小波包的频带相邻，并且带宽相等p分解的层数越多，频率段划分得越细分解的层数越多，频率段划分得越
6、细小波包的分解小波包的分解北京科技大学 机械工程学院10/ 82原始信号原始信号小波包的分解小波包的分解-实例实例北京科技大学 机械工程学院11/ 82u重构公式：重构公式：)()()(21*121*tPGtPHtPijijijH H* *、 G G* *分别为分别为H H和和G G的对偶算子，也为的对偶算子，也为H H 和和 G G的共轭转置矩阵的共轭转置矩阵 设原始信号经过设原始信号经过J J层小波包分解后得到层小波包分解后得到 2 2j j 个小波包个小波包 如果要重构第如果要重构第2 2 i i 个小波包的数据，把这一层中其他小波包的个小波包的数据，把这一层中其他小波包的 数据置零。数
7、据置零。 将处理后的数据代入重构公式，一层一层向上进行重构将处理后的数据代入重构公式，一层一层向上进行重构u重构过程：重构过程：小波包的重构小波包的重构北京科技大学 机械工程学院12/ 82 小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析小波包分解方法是小波分解的一般化，可为信号分析提供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解的原始信提供更丰富和更详细的信息。例如，小波包分解的原始信号号S S表示为表示为S = + + +小波包的重构小波包的重构北京科技大学 机械工程学院13/ 82p电机振动信号，采样频率电机振动信号，采样频率5120Hz电机转速频率电机转速频率的四倍频第第5 5层小波包分解层
8、小波包分解小波包小波包-应用应用1 1北京科技大学 机械工程学院14/ 82第第5 5层小波包分解层小波包分解0 0号小波包重构号小波包重构2 2号小波包重构号小波包重构电机转速频率电机转速频率的四倍频小波包小波包-应用应用1 1n最高分析频率最高分析频率f f = = f fs s /2 = 2560 Hz/2 = 2560 Hzn每个小波包的频率带宽为每个小波包的频率带宽为 d d = = f f /32 = 80Hz/32 = 80Hzn电机转速频率电机转速频率50Hz50Hz0 800 80，即为，即为0 0号小波包号小波包n电机转速频率的四倍频电机转速频率的四倍频200Hz200Hz
9、 160 240160 240，即，即2 2号小波包号小波包北京科技大学 机械工程学院15/ 82时域振动信号时域振动信号轴承内圈出现故轴承内圈出现故障，出现冲击，障，出现冲击，但被噪声淹没但被噪声淹没频域图频域图第第5 5层小波包分解层小波包分解由冲击引起的固由冲击引起的固有振动频率，难有振动频率，难以识别轴承故障以识别轴承故障小波包小波包-应用应用2 2 轴承内圈故障轴承内圈故障p圆锥轴承内圈轻度剥落信号圆锥轴承内圈轻度剥落信号北京科技大学 机械工程学院16/ 822323号小波包重构号小波包重构轴的转动周期一个周期内约有一个周期内约有9个冲击，与理论个冲击，与理论分析相符，说明分析相符，
10、说明小波包分解有效小波包分解有效第第5 5层小波包分解层小波包分解小波包小波包-应用应用2 2 轴承内圈故障轴承内圈故障n最高分析频率最高分析频率f = fs /2 = 20/2 = 10 KHzn每个小波包的频率带宽为每个小波包的频率带宽为 d = f /32 =312.5 Hzn频谱图中的频率范围频谱图中的频率范围60008000 Hzn对应的小波包频宽范围对应的小波包频宽范围6000/312.5 8000/312.5 Hz。即为。即为 1826号小波包号小波包北京科技大学 机械工程学院17/ 82频域图1616号小波包重构号小波包重构第第5 5层小波包分解层小波包分解一个周期内约有一个周
11、期内约有7个冲击，与理论个冲击，与理论分析相符，说明分析相符，说明小波包分解有效小波包分解有效n最高分析频率最高分析频率f = fs /2 = 20/2 = 10 KHzn每个小波包的频率带宽为每个小波包的频率带宽为 d = f /32 =312.5 Hzn频谱图中的频率范围频谱图中的频率范围35005500 Hzn对应的小波包频宽范围对应的小波包频宽范围3500/312.5 5500/312.5 Hz 即为即为 1118号小波包号小波包小波包小波包-应用应用3 3 轴承外圈剥落故障轴承外圈剥落故障时域振动信号北京科技大学 机械工程学院18/ 82p 小波包分解能够对每一层分解后得到的高频信号
12、进小波包分解能够对每一层分解后得到的高频信号进 行再分解，提高了信号高频部分的多尺度分析能力，弥行再分解，提高了信号高频部分的多尺度分析能力，弥补了小波分解的不足补了小波分解的不足p 小波包分解保留了信号在各个不同频率段的成分，小波包分解保留了信号在各个不同频率段的成分， 因此小波包分解后，信号的信息量是完整的因此小波包分解后，信号的信息量是完整的p 采用小波包分解能够提取信号中有用的频率成分，采用小波包分解能够提取信号中有用的频率成分， 因此可以有效地用于信号的特征提取因此可以有效地用于信号的特征提取小波包小波包-小结小结北京科技大学 机械工程学院19/ 82主要内容主要内容o小波包分析小波
13、包分析o第二代小波第二代小波oMatlab在小波分析中的应用在小波分析中的应用北京科技大学 机械工程学院20/ 82o 1995年，贝尔实验室的年，贝尔实验室的Sweldens博士提出了一种全博士提出了一种全新的在时域中构造小波的第二代小波方法新的在时域中构造小波的第二代小波方法(the second generation wavelet)，又名提升方法，又名提升方法(Lifting Scheme)。 o 第二代小波方法相对于传统小波算法而言，是一种更第二代小波方法相对于传统小波算法而言，是一种更为快速有效的小波变换实现方法，它为快速有效的小波变换实现方法，它不依赖不依赖Fourier变变换换
14、，完全在时域完成了对双正交小波滤波器的构造。，完全在时域完成了对双正交小波滤波器的构造。这种构造方法在结构化设计和自适应构造方面的突出这种构造方法在结构化设计和自适应构造方面的突出优点弥补了传统频域构造方法的不足。优点弥补了传统频域构造方法的不足。第二代小波的提出第二代小波的提出北京科技大学 机械工程学院21/ 82（1 1）在构造方法上，第二代小波变换采用）在构造方法上，第二代小波变换采用提升方法提升方法， 而第一代小波的构造是从而第一代小波的构造是从滤波器组的频域特性滤波器组的频域特性要求要求 出发，构造不同特性的小波。出发，构造不同特性的小波。 （2 2）在多分辨分析方面，第二代小波变换
15、的小波空间和）在多分辨分析方面，第二代小波变换的小波空间和 尺度空间尺度空间不再是由一个基函数通过伸缩和平移而得不再是由一个基函数通过伸缩和平移而得 到的，因此，一般情况下，多分辨空间不具备伸缩到的，因此，一般情况下，多分辨空间不具备伸缩 和平移不变性。而第一代小波变换的多分辨空间是和平移不变性。而第一代小波变换的多分辨空间是 由一个固定的基函数经过伸缩和平移构成的。由一个固定的基函数经过伸缩和平移构成的。第二代小波与第一代小波的比较第二代小波与第一代小波的比较北京科技大学 机械工程学院22/ 82(3)(3)第一代小波变换的小波函数和尺度函数的特性在构造第一代小波变换的小波函数和尺度函数的特
16、性在构造 完成之后，它们的特性不再改变，而第二代小波变换完成之后，它们的特性不再改变，而第二代小波变换 可以通过提升改善小波的特性。可以通过提升改善小波的特性。(4)(4)在小波种类上，第一代小波的种类是有限的，而第二在小波种类上，第一代小波的种类是有限的，而第二 代小波在理论上可以任意构造小波代小波在理论上可以任意构造小波. .(5)(5)第一代小波变换是以频域为基础进行的，而第二代小第一代小波变换是以频域为基础进行的，而第二代小波变换是一种时域方法，但可以获得与第一代小波变波变换是一种时域方法，但可以获得与第一代小波变换相同的时频特性。换相同的时频特性。第二代小波与第一代小波的比较第二代小
17、波与第一代小波的比较北京科技大学 机械工程学院23/ 82oMallat算法算法n通过低频滤波器和高频滤波器与信号进行卷积得通过低频滤波器和高频滤波器与信号进行卷积得到低频子带和高频子带到低频子带和高频子带o提升算法提升算法n剖分剖分(split)将信号分成奇样本和偶样本序列，形成两个不将信号分成奇样本和偶样本序列，形成两个不相交的子集相交的子集n预测预测(predict)利用相邻信号之间的相关性，用一个子集预测利用相邻信号之间的相关性，用一个子集预测另一个子集。通常用偶子集来预测奇子集，通另一个子集。通常用偶子集来预测奇子集，通过与原奇子集的差值，确定细节信息过与原奇子集的差值，确定细节信息
18、n更新更新(update)细节信息通过更新，再与原偶子集相加来确定细节信息通过更新，再与原偶子集相加来确定近似信息近似信息第二代小波的基本思想第二代小波的基本思想北京科技大学 机械工程学院24/ 82第二代小波分解过程第二代小波分解过程 第二代小波的重构过程第二代小波的重构过程 u 分解过程包括：剖分、预测和更新；分解过程包括：剖分、预测和更新；u 重构过程包括重构过程包括: : 恢复更新、恢复预测和合并；恢复更新、恢复预测和合并；u 其中在预测、更新、恢复更新、恢复预测四个阶其中在预测、更新、恢复更新、恢复预测四个阶 段引入了预测器和更新器的概念。段引入了预测器和更新器的概念。 第二代小波变
19、换第二代小波变换北京科技大学 机械工程学院25/ 82设数据序列设数据序列 ( ),Ss kkZ 1 第二代小波变换的分解过程如下第二代小波变换的分解过程如下: ( ),s kkZ1) 剖分剖分.将数据序列将数据序列分为奇样本序列和偶样本序分为奇样本序列和偶样本序 21( )()os kskkZ2( )()es kskkZ)(P( )es k2) 预测预测.设设P()为预测器，用为预测器，用预测预测,定义预测偏差定义预测偏差。()osk为细节信号为细节信号()d k( )( )( )oed ks kP s kkZ第二代小波变换第二代小波变换北京科技大学 机械工程学院26/ 82 )(P3) 更
20、新更新.设设U()为更新器为更新器,在细节在细节的基础上更新的基础上更新( )d k其结果定义为逼近信号其结果定义为逼近信号( )eS k( )( ) ( )ec ks kU d kkZ2 重构过程为分解过程的逆过程，由恢复更新、恢复预重构过程为分解过程的逆过程，由恢复更新、恢复预 测和合并组成。测和合并组成。( )( ) ( )es kc kU d kkZ( )( )( )oes kd kP s kkZ第二代小波变换第二代小波变换北京科技大学 机械工程学院27/ 821、Haar小波2、db4小波第二代小波第二代小波-构造方法构造方法北京科技大学 机械工程学院28/ 823、以双正交小波以双
21、正交小波CDF(2,2)第二代小波第二代小波-构造方法构造方法北京科技大学 机械工程学院29/ 82p 假设预测器长度假设预测器长度N=2 N=2 ，更新器长度，更新器长度N N=4=4，基于插值细分，基于插值细分 原理的第二代小波分解过程如下原理的第二代小波分解过程如下第二代小波分解过程第二代小波分解过程 第二代小波变换第二代小波变换北京科技大学 机械工程学院30/ 82第二代小波重构过程第二代小波重构过程 第二代小波变换第二代小波变换北京科技大学 机械工程学院31/ 82020406080100120140160180200220-202原 始 信 号 o-偶 样 本 ， .-奇 样 本0
22、102030405060708090100110-202偶 样 本 序 列0102030405060708090100110-202奇 样 本 序 列剖分剖分北京科技大学 机械工程学院32/ 82020406080100120-3-2-10123用 偶 样 本 预 测 奇 样 本020406080100120-3-2-10123奇 样 本 -预 测 值 =细 节预测预测-用偶样本预测奇样本用偶样本预测奇样本北京科技大学 机械工程学院33/ 82020406080100120-1.5-1-0.500.51对 细 节 信 号 更 新020406080100120-3-2-10123偶 样 本 +更
23、 新 =逼 近 信 号更新更新-偶样本更新得到逼近信号偶样本更新得到逼近信号北京科技大学 机械工程学院34/ 82020406080100120-202原 始 信 号020406080100120-101第 二 代 db8小 波 分 解 细 节 信 号020406080100120-1012第 二 代 db8小 波 分 解 近 似 信 号020406080100120-202原 始 信 号020406080100120-101第 一 代 db8小 波 分 解 细 节 信 号020406080100120-101第 一 代 db8小 波 分 解 近 似 信 号第一代小波与第二代小波对比第一代小波
24、与第二代小波对比北京科技大学 机械工程学院35/ 82a)a)小波变换过程小波变换过程 b)b)小波包变换过程小波包变换过程第二代小波包变换第二代小波包变换北京科技大学 机械工程学院36/ 82设数据序列设数据序列 ( ),Ss kkZ ( ),s kkZ1) 剖分剖分.将数据序列将数据序列分为奇样本序列和偶样本序分为奇样本序列和偶样本序 21( )()os kskkZ2( )(),es kskkZ第二代小波包变换也是有分解和重构两个过程第二代小波包变换也是有分解和重构两个过程.2)然后通过下面公式计算小波包第然后通过下面公式计算小波包第l层分解的各个子带信号层分解的各个子带信号 11 11
25、1()()()llolessP s21 11()()llolssU s11211 21 2()()()()lllllolessP s121 221()()()lllllelssU s第二代小波包变换第二代小波包变换北京科技大学 机械工程学院37/ 823)3)按下式对信号进行重构按下式对信号进行重构11 2221()()()llllellssU s111 2211 2()()()()llllollessP s111 21 22()()()( ) lllleskskkZ111 21 221()()()( ) lllloskskkZ1 121()()lellssU s1 111 1()()()lo
26、llessP s1 11 12()()()( ) lleskskkZ1 11 121()()()( ) lloskskkZ合成合成合成合成第二代小波包变换第二代小波包变换北京科技大学 机械工程学院38/ 82p 假设采样频率为假设采样频率为1000Hz1000Hz，则分析频率为，则分析频率为500Hz500Hz。 200400600800sin()sin()sin()sin()ytttt下面对信号作下面对信号作2 2层小波分解和小波包分解，然后进行层小波分解和小波包分解，然后进行单支重构。单支重构。n 一层分解得到一层分解得到2 2个频带，用个频带，用(1(1，1)1)，(1(1，2)2)表示
27、；表示；n 二层分解得到二层分解得到4 4个频带，个频带， 用用(2(2，1)1)，(2(2，2)2)， (2(2，3)3)，(2(2，4)4)表示。表示。 第二代小波包变换第二代小波包变换-举例举例北京科技大学 机械工程学院39/ 82原始信号频谱图原始信号频谱图 (1,1)(1,1)频带的单支重构频带的单支重构 (1,2)(1,2)频带的单支重构频带的单支重构第二代小波包变换第二代小波包变换-举例举例北京科技大学 机械工程学院40/ 82(2,3)(2,3)频带的单支重构频带的单支重构 (2,4)(2,4)频带的单支重构频带的单支重构(2,1)(2,1)频带的单支重构频带的单支重构 (2,
28、2)(2,2)频带的单支重构频带的单支重构第二代小波包变换第二代小波包变换-举例举例北京科技大学 机械工程学院41/ 82第二代小波的第二代小波的matlab实现实现北京科技大学 机械工程学院42/ 82常用的提升小波常用的提升小波北京科技大学 机械工程学院43/ 82LS = liftwave(WNAME)LS = liftwave(WNAME,Int2Int)提升方案提升方案小波名小波名整数到整数的小波变换整数到整数的小波变换要求待分析信号为要求待分析信号为整型向量整型向量Liftwave-获取常用小波的提升方案获取常用小波的提升方案第二代小波变换的第二代小波变换的matlab实现实现北京
29、科技大学 机械工程学院44/ 82 LoD,HiD,LoR,HiR = ls2filt(LS) LS = filt2ls(LoD,HiD,LoR,HiR)将提升方案转化为对应的滤波器将提升方案转化为对应的滤波器滤波器滤波器提升方案提升方案将滤波器转化为对应的提升方案将滤波器转化为对应的提升方案滤波器滤波器提升方案提升方案第二代小波变换的第二代小波变换的matlab实现实现北京科技大学 机械工程学院45/ 82LoD,HiD,LoR,HiR = wfilters(db2) LS = filt2ls(LoD,HiD,LoR,HiR);LoD = -0.1294 0.2241 0.8365 0.48
30、30HiD = -0.4830 0.8365 -0.2241 -0.1294LoR = 0.4830 0.8365 0.2241 -0.1294HiR = -0.1294 -0.2241 0.8365 -0.4830第一代小波的滤波器可以分解成简单的提升步骤。第一代小波的滤波器可以分解成简单的提升步骤。第二代小波变换的第二代小波变换的matlab实现实现北京科技大学 机械工程学院46/ 82bswfun-双正交尺度和小波函数双正交尺度和小波函数 PHIS,PSIS,PHIA,PSIA = bswfun(LoD,HiD,LoR,HiR,ITER,plot)合成函数合成函数分析函数分析函数滤波器滤
31、波器迭代次数迭代次数012300.20.40.6Analysis scaling function (phiA)0123-1-0.500.51Analysis wavelet function (psiA)0123-5000500Synthesis scaling function (phiS)0123-2000200Synthesis wavelet function (psiS)W=cdf3.1第二代小波变换的第二代小波变换的matlab实现实现北京科技大学 机械工程学院47/ 82lwt -一维提升小波变换维提升小波变换 CA,CD = lwt(X,W,LEVEL,typeDEC,typ
32、eDEC)低频系数和高频系数低频系数和高频系数待分析信号待分析信号提升小波名提升小波名分解层数分解层数分解类型，分解类型，w或或wpCA,CD = lwt(X,LS,LEVEL,typeDEC,typeDEC)提升方案提升方案第二代小波变换的第二代小波变换的matlab实现实现北京科技大学 机械工程学院48/ 82ilwt -一维提升小波逆变换维提升小波逆变换 X = lwt(CA,CD ,W,LEVEL,typeDEC,typeDEC)低频系数和高频系数低频系数和高频系数信号信号提升小波名提升小波名分解层数分解层数分解类型，分解类型，w或或wp第二代小波变换的第二代小波变换的matlab实现
33、实现北京科技大学 机械工程学院49/ 82lwtcoef -一维提升小波变换系数及其重构维提升小波变换系数及其重构 Y = lwtcoef(TYPE,XDEC,LS,LEVEL,LEVEXT)Y = lwtcoef(TYPE,XDEC,W,LEVEL,LEVEXT)XDEC小波变换系数小波变换系数;W-小波名；小波名；Ls-提升方案提升方案;LEVEL-分解的层数分解的层数;LEVEXT-在该层的位置在该层的位置.第二代小波变换的第二代小波变换的matlab实现实现北京科技大学 机械工程学院50/ 82050100150200250300-202sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*
34、150*t)+sin(2*pi*350*t)020406080100120140-10010ca1020406080100120140-101cd1010203040506070-50050ca2010203040506070-505cd2第二代小波变换的第二代小波变换的matlab实现实现北京科技大学 机械工程学院51/ 82050100150200250300-202sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*150*t)+sin(2*pi*350*t)050100150200250300-505a1050100150200250300-505d1050100150200250300-
35、505a2050100150200250300-10010d2第二代小波变换的第二代小波变换的matlab实现实现北京科技大学 机械工程学院52/ 82p第二代继承了经典小波的多辨特性第二代继承了经典小波的多辨特性, , 运算速度运算速度快、占用存储空间小、可以完全重构快、占用存储空间小、可以完全重构p已经证明已经证明, , 具有有限长度滤波器的经典小波具有有限长度滤波器的经典小波, , 可以通过代数变换可以通过代数变换, , 用第二代小波方式实现用第二代小波方式实现 p在同样数据长度下在同样数据长度下, , 采用第二代小波方法的变采用第二代小波方法的变换速度至少提高换速度至少提高1 1 倍以
36、上倍以上第二代小波总结第二代小波总结北京科技大学 机械工程学院53/ 82主要内容主要内容o小波包分析小波包分析o第二代小波第二代小波oMatlab在小波分析中的应用在小波分析中的应用北京科技大学 机械工程学院54/ 82o分解函数ndwt 单尺度一维离散小波变换nwavedec 多尺度一维小波分解o合成重构函数nidwt 单尺度一维离散小波逆变换nwaverec 多尺度一维小波重构nwrcoef对一维小波系数进行单支重构o分解结构工具ndetcoef提取一维小波变换高频系数nappcoef提取一维小波变换低频系数一维离散小波变换常用的一维离散小波变换常用的matlab函数函数北京科技大学 机
37、械工程学院55/ 82小波基函数小波基函数待分析信号待分析信号细节系数细节系数近似系数近似系数信号的延拓模式信号的延拓模式高通分解滤波器系数高通分解滤波器系数低通分解滤波器系数低通分解滤波器系数dwt北京科技大学 机械工程学院56/ 82可用可用waveinfowaveinfo命令查看小波函数的详细信息命令查看小波函数的详细信息既能作既能作cwt，也能作也能作dwt只能作只能作cwt，不能作不能作dwtdb1 or haar, db2, . ,db45coif1, . , coif5sym2 , . , sym8, . ,sym45bior1.1, bior1.3 , bior1.5bior2
38、.2, bior2.4 , bior2.6, bior2.8bior3.1, bior3.3 , bior3.5, bior3.7bior3.9, bior4.4 , bior5.5, bior6.8rbio1.1, rbio1.3 , rbio1.5rbio2.2, rbio2.4 , rbio2.6, rbio2.8rbio3.1, rbio3.3 , rbio3.5, rbio3.7rbio3.9, rbio4.4 , rbio5.5, rbio6.8返回返回小波基函数小波基函数北京科技大学 机械工程学院57/ 82o实际的运算过程是滤波器系数与信号作卷积实际的运算过程是滤波器系数与信号
39、作卷积n即使即使dwt中给定了小波基函数，也要先用中给定了小波基函数，也要先用wfilters命令计算出滤波器系数命令计算出滤波器系数返回返回滤波器系数滤波器系数北京科技大学 机械工程学院58/ 82o目的是为了提高信号边缘计算的准确性目的是为了提高信号边缘计算的准确性lf=4lf=8返回返回symsymwsym信号的延拓模式信号的延拓模式北京科技大学 机械工程学院59/ 82n计算分解滤波器系数计算分解滤波器系数n根据选定的延拓模式根据选定的延拓模式对信号进行延拓对信号进行延拓n对低通滤波器系数和对低通滤波器系数和延拓后的信号作卷积延拓后的信号作卷积n将卷积结果隔将卷积结果隔2抽取抽取 得到
40、近似系数得到近似系数n同样的方法得到细节同样的方法得到细节系数系数cA,cD=dwt(a,db2)dwt的计算过程的计算过程北京科技大学 机械工程学院60/ 82分解层数分解层数包括近似和包括近似和细节系数细节系数各层系数的各层系数的长度长度x：1024点点l=130 130 258 513 1024c: 1031点点wavedec北京科技大学 机械工程学院61/ 82n计算重构滤波器系数计算重构滤波器系数n向上插值向上插值n对低通滤波器系数和插值对低通滤波器系数和插值后的信号作卷积后的信号作卷积n取 卷 积 结 果 中 间 的取 卷 积 结 果 中 间 的length(cA)-length(
41、Lo_R)+2个值个值n用高通滤波器进行同样的用高通滤波器进行同样的运算运算n两者得到的结果相加两者得到的结果相加低通重构滤波器系数低通重构滤波器系数高通重构滤波器系数高通重构滤波器系数返回中间返回中间L个结果值个结果值X=idwt(cA,cD,db2)idwt北京科技大学 机械工程学院62/ 82如果对系数如果对系数C C没有进行任何处理，将得到与原始信号完全一样的结果没有进行任何处理，将得到与原始信号完全一样的结果经常对经常对C C中的一部分数据做处理后，再进行重构以达到一定目的，中的一部分数据做处理后，再进行重构以达到一定目的，比如降噪、数据压缩等比如降噪、数据压缩等可取可取a或或d，指
42、定近似或细节，指定近似或细节指定对哪一层指定对哪一层系数进行重构系数进行重构waverec和和wrcoef北京科技大学 机械工程学院63/ 82c,l = wavedec(s,5,sym4);a5 = wrcoef(a,c,l,sym4,5);01002003004005006007008009001000-4-2024Original signal s01002003004005006007008009001000-2-1012Reconstructed Approximation at level 5: a5waverec和和wrcoef的实例的实例北京科技大学 机械工程学院64/ 82o
43、从多层分解的系数中提取出某一层的近似系数从多层分解的系数中提取出某一层的近似系数o从多层分解的系数中提取出某一层的细节系数从多层分解的系数中提取出某一层的细节系数appcoef和和detcoef北京科技大学 机械工程学院65/ 8201002003004005006007008009001000-505Original signal s0100200300400500600-505cA10100200300400500600-202cD1050100150200250300-505cA2050100150200250300-0.500.5cD2050100150-10010cA30501001
44、50-202cD301020304050607080-10010cA401020304050607080-505cD40510152025303540-20020cA50510152025303540-202cD5c,l = wavedec(s,5,sym4);appcoef和和detcoef的实例的实例北京科技大学 机械工程学院66/ 82050010001500100200300400500600original electrical signal050010001500100200300400500600denoised signalxd = wden(x,sqtwolog,s,mln,
45、3,db3);信号降噪信号降噪北京科技大学 机械工程学院67/ 82c,l = wavedec(x,5,db5);d1= wrcoef(d,c,l,db5,1);突变性检测突变性检测北京科技大学 机械工程学院68/ 82c,l = wavedec(x,6,db3);a6= wrcoef(a,c,l,db3,6); d1= wrcoef(d,c,l,db3,1); 趋势检测趋势检测北京科技大学 机械工程学院69/ 82小波基函数小波基函数待分析信号待分析信号计算出小波计算出小波系数并画图系数并画图选择画图用的着色模式和选择画图用的着色模式和是否将小波系数取模是否将小波系数取模指定尺度指定尺度尺度
46、的选择决定了小波变换系数的范围尺度的选择决定了小波变换系数的范围如果只对低频信息感兴趣，可以将如果只对低频信息感兴趣，可以将scale选成非均匀的区间，例如：选成非均匀的区间，例如：1:5:30 31:0.5:50一维连续小波变换常用的一维连续小波变换常用的matlab函数函数北京科技大学 机械工程学院70/ 82010020030040050000.0050.010.0150.02Analyzed signal.Continuous Transform, absolute coefficients.time (or space) bScale 100200300400500 1 3 5 7
47、91113151719212325272931Continuous Transform, absolute coefficients.time (or space) bScale 100200300400500 1 6111621263136414651566166717681869196Continuous Transform, absolute coefficients.time (or space) bScale 100200300400500 1 2.6 4.2 5.8 7.4 910.612.213.815.4 1718.620.221.823.4 2526.628.229.831.
48、41020304050601020304050601020304050601:321:0.2:321:100ccfs = cwt(vonkoch,1:32,sym2,plot); cwt用于分析信号自相似性用于分析信号自相似性北京科技大学 机械工程学院71/ 82o分解函数分解函数nwpcoef 小波包系数小波包系数nwpdec小波包分解小波包分解o合成重构函数合成重构函数nwprcoef重构系数重构系数nwprec 全重构全重构小波包变换常用的小波包变换常用的Matlab函数函数北京科技大学 机械工程学院72/ 82owpt = wpdec(x,3,db1,shannon);Tree Dec
49、omposition(0,0)(1,0)(1,1)(2,0)(2,1)(2,2)(2,3)(3,0)(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)(3,7)2004006008001000-10-8-6-4-20246810data for node: (0) or (0,0).Tree DecompositionData for node: (0) or (0,0)鼠标单击某节点，右侧图鼠标单击某节点，右侧图即显示该点的小波系数即显示该点的小波系数小波包的结果小波包的结果wpt是是wptree类类型的数据，型的数据，wpcoef可提取出其可提取出其中某节点的系数中某节点的系数w
50、pdec北京科技大学 机械工程学院73/ 82o cfs = wpcoef(wpt,2 1);020040060080010001200-10-50510Original signal050100150200250300-505Packet (2,1) coefficientswpcoef提取指定结点的小波系数提取指定结点的小波系数北京科技大学 机械工程学院74/ 82orcfs = wprcoef(wpt,2 1);020040060080010001200-10-50510Original signal050100150200250300-505Packet (2,1) coefficie
