1、5.2.2导数的四则运算法则 本节课选自2019人教A版高中数学选择性必修二第四章数列，本节课主要学习导数的四则运算法则 本节内容通对导数的四则运算法则的学习，帮助学生进一步提高导数的运算能力，同时提升学生为运用导数解决函数问题，打下坚实的基础。在学习过程中，注意特殊到一般、数形结合、转化与化归的数学思想方法的渗透。课程目标学科素养A.理解函数的和、差、积、商的求导法则B能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数1.数学抽象：和、差、积、商的求导法则 2.逻辑推理：和、差、积、商的求导法则 3.数学运算：运用导数运算法则求函数的导数 重点：函数的和、差、积、商的求导法则 难点：综合运用导数
2、公式和导数运算法则求函数的导数 多媒体教学过程教学设计意图核心素养目标一、 新知探究在例2中，当p0=5时，pt=51.05t,这时，求p关于t的导数可以看成求函数ft=5 与gt=1.05t乘积的导数，一般地，如何求两个函数和、差、积商的导数呢？探究1： 设fx=x2，gx=x，计算fx+gx与fx-gx，它们与f(x)和g(x)有什么关系？再取几组函数试试，上述关系仍然成立吗？由此你能想到什么？设y=fx+gx=x2+x，因为yx=x+x2+x+x-(x2+x)x=x2+2xx+xx= x+2x+1fx+gx=y=x0limyx=x0limx+2x+1=2x+1而fx= 2x, gx= 1
3、,所以fx+gx=fx+gx同样地，对于上述函数，fx-gx=fx-gx例3.求下列函数的导数（1）y=x3-x+3;（2）y=2x+cosx;解：（1）y=(x3-x+3)=(x3) - (x)+(3)=3x2-1（2）y=(2x+cosx)=(2x)+(cosx)=2xln2-sinx探究:2： 设fx=x2，gx=x，计算fxgx与f(x)g(x)，它们是否相等？fx与gx商的导数是否等于它们导数的商呢？通过计算可知，fxgx=(x3) =3x2，f(x)g(x)= 2x1=2x，因此fxgxf(x)g(x)，同样地fxgx与fxg(x)也不相等导数的运算法则(1)和差的导数f(x)g(
4、x)_(2)积的导数f(x)g(x)_；cf(x)_(3)商的导数_f(x)g(x); f(x)g(x)f(x)g(x); cf(x);(g(x)0)二、 典例解析例4.求下列函数的导数（1）y=x3ex;（2）y=2sinxx2;解：（1）y=(x3ex)=(x3)ex+x3 (ex)=3x2ex+x3ex（2）y=(2sinxx2)=(2sinx)x2-x3(x2)(x2)2=2x2cosx-4xsinxx4=2xcosx-4sinxx3 求函数的导数的策略(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数；(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个
5、”函数的积、商的导数计算跟踪训练1 求下列函数的导数：(1)yx2log3x； (2)yx3ex； (3)y.解 (1)y(x2log3x)(x2)(log3x)2x.(2)y(x3ex)(x3)exx3(ex)3x2exx3exex(x33x2)(3)y.跟踪训练2 求下列函数的导数（1）ytan x； （2）y2sin cos 解析：（1）ytan x，故y.（2）y2sin cos sin x，故ycos x.例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的，随着水的纯净度的提高，所需进化费用不断增加，已知将1t水进化到纯净度为x%所需费用（单位：元），为c(x)=5284100-x (80x1
6、00)求进化到下列纯净度时，所需进化费用的瞬时变化率：（1） 90%；（2） 98%解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数；c(x)=(5284100-x)=5284(100-x)-5284(100-x)(100-x)2=0(100-x)-5284(-1)(100-x)2=5284(100-x)2（1）因为c(90)=5284100-902=52.84，所以，进化到纯净度为90%时，净化费用的变化瞬时率是52.84元/吨.（2）因为c(98)=5284100-982=1321，所以进化到纯净度为90%时,净化费用的变化瞬时率是1321元/吨.例6(1)函数y3sin x在x处的切线斜率
7、为_(2)已知函数f(x)ax2ln x的导数为f(x)求f(1)f(1)；若曲线yf(x)存在垂直于y轴的切线，求实数a的取值范围(1)解析由函数y3sin x，得y3cos x，所以函数在x处的切线斜率为3cos.答案(2)解由题意，函数的定义域为(0，)，由f(x)ax2ln x， 得f(x)2ax，所以f(1)f(1)3a1.因为曲线yf(x)存在垂直于y轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x(0，)内导函数f(x)2ax存在零点，即f(x)0，所以2ax0有正实数解，即2ax21有正实数解，故有a0，所以实数a的取值范围是(，0) 关于函数导数的应用及其解决方法(1)应用：导数
8、应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用；(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程；若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用通过对上节例题的提问，引导学生探究导数的四则运算法则。发展学生数学抽象、数学运算、数学建模的核心素养。 通过对导数四则运算法则的运用。发展学生数学抽象、数学运算和数学建模的核心素养。通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练掌握导数的运算法则，发展学生数学运算，直观想象和数学抽象的核心素养。三、达标检测1已知函数f(x)ax2c，且f(
9、1)2，则a的值为 ()A1B C1 D0解析：f(x)ax2c，f(x)2ax，又f(1)2a，2a2，a1. 答案：A2. 已知物体的运动方程为st2(t是时间，s是位移)，则物体在时刻t2时的速度为 ()A. B. C. D.解析：s2t，s|t24.答案：D3.如图有一个图象是函数f(x)x3ax2(a21)x1(aR，且a0)的导函数的图象，则f(1)()A B C D或解析：f(x)x22axa21x(a1)x(a1)，图(1)与(2)中，导函数的图象的对称轴都是y轴，此时a0，与题设不符合，故图(3)中的图象是函数f(x)的导函数的图象由图(3)知f(0)0，由根与系数的关系得解
10、得a1.故f(x)x3x21，所以f(1).答案：B4.求下列函数的导数(1)yx2x2；(2)y3xex2xe；(3)y；(4)yx2sin cos. 解(1)y2x2x3.(2)y(ln 31)(3e)x2xln 2.(3)y.(4)yx2sincosx2sin x，y2xcos x.通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。四、小结1.导数的四则运算法则;2.导数运算法则的综合运用;五、课时练通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。从学生上节已解决的问题出发，引导学生对导数四则运算的探究，并通过思考、讨论、练习进一步提升学生的求导能力，发展学生的数学运算、逻辑推理等核心素养。
