1、第 1 页，共 19 页 高二（上）期中数学试卷（理科）高二（上）期中数学试卷（理科） 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.复数 =1 + 1 + 1在复平面内，z 所对应的点在()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.如图是导函数 = ()的图象，那么函数 = ()在下面哪个区间是减函数( )A. (1,3)B. (2,4)C. (4,6)D. (5,6)3.有一段“三段论”推理是这样的 ： 对于可导函数()，如果(0) = 0，那么 =0是函数()的极值点，因为函数() = 3在 = 0处的导数值(0) = 0，所以， = 0是函
2、数() = 3的极值点以上推理中()A. 大前提错误B. 小前提错误C. 推理形式错误D. 结论正确4.9 件产品中，有 4 件一等品，3 件二等品，2 件三等品，现在要从中抽出 4 件产品来检查，至少有两件一等品的抽取方法是()A. 24 25B. 24+ 34+ 44C. 24+ 25D. 24 25+ 34 15+ 44 055.(1)5+(1)6+(1)7+(1 + )8的展开式中，含3的项的系数()第 2 页，共 19 页A. 9B. 121C. 74D. 1216.函数() = 32 + 2在 = 1处有极值 10，则点(,)为( )A. (3,3)B. (4,11)C. (3,3
3、)或(4,11)D. 不存在7.随机变量服从二项分布(,)，且 = 300， = 200，则 p 等于()A. 23B. 13C. 14D. 128.20(32+ ) = 10,则 = ()A. 1B. 2C. 3D. 49.函数() = 3329 + 4，若函数() = ()在 2,5上有 3 个零点，则 m 的取值范围为()A. (23,9)B. (23,2C. 2,9D. 2,9)10.从 5 名志愿者中选出 4 人分别到,四个部门工作，其中甲、乙两名志愿者不能到,二个部门工作，其他三人能到四个部门工作，则选派方案共有()A. 120 种B. 24 种C. 18 种D. 36 种11.曲
4、线 = ， = 和直线 = 1围成的图形面积是()A. 1B. + 1C. 12D. + 1212.已知函数() = 3+2+ + 在区间1,2上是减函数，那么 + ()A. 有最大值152B. 有最大值152C. 有最小值152D. 有最小值152二、填空题（本大题共 3 小题，共 15.0 分）13.随机变量服从正态分布(40,2)， 若( 30) = 0.2， 则(30 50) = _14.曲线 = ln(21)上的点到直线2 + 8 = 0的最短距离是_第 3 页，共 19 页15.一同学在电脑中打出如下图形(表示空心圆，表示实心圆)若将此若干个圆依此规律继续下去，得到一系列的圆，那么
5、前 2019 个圆中有实心圆的个数为_三、解答题（本大题共 7 小题，共 75.0 分）16.甲罐中有 5 个红球，2 个白球和 3 个黑球，乙罐中有 4 个红球，3 个白球和 3 个黑球， 先从甲罐中随机取出一球放入乙罐， 分别以1，2和3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件 ； 再从乙罐中随机取出一球，以 B 表示由乙罐取出的球是红球的事件则下列结论中正确的是_(写出所有正确结论的编号)() =25；(|1) =511；事件 B 与事件1相互独立；1，2，3是两两互斥的事件；()的值不能确定，因为它与1，2，3中究竟哪一个发生有关17.已知1= 1， + 1=+ 1，(1)求2，3，
6、4的值；(2)猜想的通项公式，并用数学归纳法证明第 4 页，共 19 页18.用 0，1，2，3，4 这五个数字组成无重复数字的自然数()在组成的三位数中，求所有偶数的个数；()在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如 301，423 等都是“凹数”，试求“凹数”的个数；()在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数19.在某校组织的高二女子排球比赛中，有 A、B 两个球队进入决赛，决赛采用 7 局 4胜制假设 A、B 两队在每场比赛中获胜的概率都是12.并记需要比赛的场数为()求大于 4 的概率；()求的分布列与
7、数学期望20.已知函数() = ln( + 1) + 1(1)求()的单调区间；(2)求曲线 = ()在点(1,(1)处的切线方程；第 5 页，共 19 页(3)求证：对任意的正数 a 与 b，恒有lnln 121.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1000 元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如表：作物产量()300500概率0.50.5作物市场价格(元/)610概率0.40.6()设 X 表示在这块地上种植 1 季此作物的利润，求 X 的分布列；()若在这块地上连续 3 季种植此作物， 求这 3 季中至少有 2 季的利润不少于 2000元的概率2
8、2.已知函数() = (2)+(1)2()讨论()的单调性；第 6 页，共 19 页()若()有两个零点，求 a 的取值范围第 7 页，共 19 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解： =1 + 1 + 1 =(1)(1)(1 + )(1)1 =221 = 1 = 1 + .1 0，故 z所对应的点在第二象限故选：B计算复数 z，求出它的代数形式，看它的实部和虚部的正负，即可判定 z 所对应的点在第几象限复数和复平面上的点是一一对应的，准确计算是准确判定的前提，本题是基础题2.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查函数单调性的判断， 根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键根据
9、导函数的图象，利用函数单调性和导数之间的关系即可得到结论【解答】解：若函数单调递减，则() 0，由图象可知， (2,4)时，() 0解得 3或 1，又 2,5，故() = 3329 + 3在(2,1)与(3,5)上是增函数，在(1,3)上是减函数， = 2，1，3，5 时，函数值对应为 2，9，23，9，其图象如图，可得2 9，故选：D函数() = ()在 2,5上有3个零点， 可转化为函数() = 3329 + 4，与 = 两个函数的图象有三个交点，通过求解函数的单调性与极值，结合研究出函数的图象的特征，由图象求出 m 的取值范围即可本题考查根的存在性及根的个数的判断，正确解答本题，关键是将
10、函数有零点的问题转化为两个函数有交点的问题， 此转化的好处是转化后的两个函数的中有一个函数是确定的，实现了由不定到定的转化变，方便了研究问题，即求参数的范围熟练利用导数研究函数的单调性也是解本题的关键，第 11 页，共 19 页10.【答案】D【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：、甲、乙中只有 1 人被选中，、甲、乙两人都被选中，根据分类计数原理可得本题考查排列、组合的应用，涉及分类加法原理的应用，分类讨论，属于中档题【解答】解：根据题意，分两种情况讨论：、甲、乙中只有 1 人被选中，需要从甲、乙中选出 1 人，到 C，D 中的一个部门，由其他三人到剩余的部门，有12 12 33= 24
11、种选派方案、甲、乙两人都被选中，安排到，C，D 部门，从其他三人中选出 2 人，到剩余的部门，有22 23= 12种选派方案，综上可得，共有24 + 12 = 36中不同的选派方案，故选 D11.【答案】D【解析】解：曲线 = ， = 和直线 = 1围成的图形面积，就是：10()= (+ )|10= + 12故选：D由题意可知曲线 = ， = 和直线 = 1围成的图形面积是积分，然后根据积分的运算公式进行求解即可本题考查函数的图象，定积分，考查计算能力，解题的关键是封闭图形的面积就是上部函数减去下部函数的积分12.【答案】B【解析】解：由()在1,2上是减函数，知() = 32+2 + 0，
12、1,2，第 12 页，共 19 页则(1) = 32 + 0(2) = 12 + 4 + 015 + 2 + 2 0 + 152故选：B先对函数()求导，然后令导数在1,2小于等于 0 即可求出 + 的关系，得到答案本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系， 即导函数大于 0 时原函数单调递增，当导函数小于 0 时原函数单调递减13.【答案】0.6【解析】【分析】根据随机变量服从正态分布，知正态曲线的对称轴是 = 40，且( 50) = ( 30) = 0.2，所以(30 50) + ( 30) = 10.4 = 0.6故答案为：0.614.【答案】2 5【解析】解： 曲线 =
13、ln(21)， =221，分析知直线2 + 8 = 0与曲线 = ln(21)相切的点到直线2 + 8 = 0的距离最短，221= 2，解得 = 1，把 = 1代入 = ln(21)， = 0， 点(1,0)到直线2 + 8 = 0的距离最短， =|2 + 8|4 + 1=1055= 2 5，故答案为2 5对曲线 = ln(21)进行求导，令 = 2，解出这个点，再根据点到直线的距离进行求解；第 13 页，共 19 页此题主要利用导数研究曲线上某点的切线方程，还考查点到直线的距离，此题是一道基础题；15.【答案】62【解析】解： = 1时，圆的总个数是 2； = 2时，圆的总个数是 5，即5
14、= 2 + 3； = 3时，圆的总个数是 9，即9 = 2 + 3 + 4； = 4时，圆的总个数是 14，即14 = 2 + 3 + 4 + 5； = 时，圆的总个数是2 + 3 + 4 + + ( + 1) 2 + 3 + 4 + + 63 = 2015 2019， 在前 2019 个圆中，共有 62 个实心圆故答案为：62本题可依次解出空心圆个数 = 1，2，3，圆的总个数再根据规律，可得出前 2019个圆中，实心圆的个数本题主要考查归纳推理，解答关键是从圆的个数的变化规律中寻求规律，后建立数列模型解决问题16.【答案】【解析】解 ： 由题意1，2，3是两两互斥的事件，(1) =510=
15、12，(2) =210=15，(3) =310；(|1) =(1)(1)=1251112=511，由此知，正确；(|2) =411，(|3) =411；而() = (1) + (2) + (3) = (1)(|1) + (2)(|2) + (3)(|3) =12511+15411+310411=922由此知不正确；1，2，3是两两互斥的事件，由此知正确；对照四个命题知正确；故正确的结论为：第 14 页，共 19 页故答案为：由题意1，2，3是两两互斥的事件，由条件概率公式求出(|1)，() = (1) + (2) + (3)，对照五个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项本题考查相互独立事件，
16、解题的关键是理解题设中的各个事件，且熟练掌握了相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，本题较复杂，正确理解事件的内蕴是解题的突破点17.【答案】解：(1)由1= 1可得2=12，3=13，4=14；(2)猜想=1证明：下面用数学归纳法证明 = 1时，易证1=11= 1假设 = 时，( 1, )，即=1，当 = + 1时， + 1=+ 1=11+ 1=1 + 1=1 + 1，由，可知，对任意 ，=1都成立【解析】(1)可令 = 1，2，3，代入计算可得所求值；(2)猜想=1， 运用数学归纳法证明， 首先验证 = 1时成立， 假设 = 时， 结论成立，证明 = + 1时，结论也成立，注意运用假
17、设和数列的递推式，即可得证本题考查数列的通项公式的求法，以及数学归纳法的证明，考查运算能力和推理能力，属于中档题18.【答案】解：()根据分类计数原理知，当末位是 0 时，十位和百位从 4 个元素中选两个进行排列有24= 12种结果，当末位不是 0 时，只能从 2 和 4 中选一个，百位从 3 个元素中选一个，十位从三个中选一个共有121313= 18种结果，根据分类计数原理知共有12 + 18 = 30种结果；()十位上的数为 0 时，有4 3 = 12个，十位上的数为 1 时，有3 2 = 6个，十位上的数为 2 时，有2 1 = 2个，共有 20 个；()1和 3 两个奇数夹着 0 时，
18、把这三个元素看做一个整体，和另外两个偶数全排列，其中 1 和 3 之间还有一个排列，共有233= 12种结果，1 和 3 两个奇数夹着 2 时，同前面类似，只是注意 0 不能放在首位，共有21222= 8，第 15 页，共 19 页当 1 和 3 两个奇数夹着 4 时，也有同样多的结果，共有21222= 8，根据分类加法原理得到共有12 + 8 + 8 = 28种结果【解析】()因为数字 0 不能排在首位， 末位是 0 时又是偶数， 所以针对于 0 进行讨论，当末位是 0 时，十位和百位从 4 个元素中选两个进行排列，当末位不是 0 时，只能从 2和 4 中选一个，百位从 3 个元素中选一个，
19、十位从三个中选一个根据分类计数原理得到结果()十位上的数为 0，1，2，分类讨论即可得出结论；()1和 3 两个奇数夹着 0 时，把这三个元素看做一个整体，和另外两个偶数全排列，其中 1 和 3 之间还有一个排列，共有233种结果，1 和 3 两个奇数夹着 2 时，注意 0 不能放在首位，当 1 和 3 两个奇数夹着 4 时，同理，得到结果对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步，综合利用两个原理解决，即类中有步，步中有类19.【答案】解：()依题意可知，的可能取值最小为 4当 = 4时，整个比赛只需比赛 4 场即结束，这意味着 A 连胜 4 场，或
20、 B 连胜 4 场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得( = 4) = 244(12)4(12)0=18 ( 4) = 1( = 4) = 118=78即 4的概率为78. () 的可能取值为 4，5，6，7，可得( = 4) = 244(12)4(12)0=18，( = 5) = 234(12)3(12)43 12=14，( = 6) = 235(12)3(12)53 12=516，( = 7) = 236(12)3(12)63 12=516， 的分布列为： 4567 P 18 14 516 516的数学期望为： = 4 18+5 14+6 516+7 516=9316.第 16 页，共
21、19 页【解析】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查转化思想以及计算能力()依题意可知，的可能取值最小为4.当 = 4时，整个比赛只需比赛 4 场即结束，这意味着 A 连胜 4 场，或 B 连胜 4 场，于是，由互斥事件的概率计算公式，可得 4的概率为78()的可能取值为 4，5，6，7，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可20.【答案】解：(1) 函数() = ln( + 1) + 1 () =1 + 11(1 + )2，由() 0 0；由() 01 0，可得 1；由() 0，可得 1，即有()在(,1)递减，在(1, + )递增；当 0时，若 = 2，则() 0恒成立，即有
22、()在 R 上递增；若 0，可得 ln(2)，由() 0，可得1 ln(2)，即有()在(,1)，(ln(2), + )递增，在(1,ln(2)递减；若2 0，可得 1，由() 0，可得ln(2) 0时，()在(,1)递减；在(1, + )递增，又(1) = 0， + ，() + ；，(2)0，() + 所以()有两个零点；当 = 0时，() = (2)，所以()只有一个零点 = 2；当 0时，若 2时，()在(1,ln(2)递减，在(,1)，(ln(2), + )递增，又当 1时，() 2时，在(,ln(2)，(1, + )单调增，在(ln(2),1)单调减，只有(ln(2)等于 0 才有两
23、个零点，( ln(2)第 19 页，共 19 页= ln(2)2(2) + ln(2)12= ( ln(2)2)2+ 1 0 函数()在 R 上至多存在一个零点，不合题意；当 = 2时，()在 R 上递增，所以至多有一个零点，不符题意综上可得，()有两个零点时，a 的取值范围为(0, + )【解析】本题考查导数的运用：求单调区间，考查函数零点的判断，注意运用分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于难题()求出()的导数，讨论当 0时， 2时， = 2时，2 0，由导数大于 0，可得增区间；由导数小于 0，可得减区间；()由()的单调区间，对 a 讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围
