1、第 1 页，共 13 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1.设 M，P 是两个非空集合，定义 M 与 P 的差集为： = | ，且 ，则()等于( )A. PB. C. D. M2.有四个命题：若0 ，则11；若 2；若1 1，则1 ；若1 2且0 3，则2 0， 0， 则 “2018 + 2019 +12018+12019= 4” 是 “(2018 + 2019)(12018+12019) = 4”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件第 2 页，共 13 页二
2、、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）5.若 = 1,2，3，4，5，6，7，8， = 1,3，5，7， = 5,7，8，则( )为_6.不等式1 1的解集是_ 7.某班有 50 名同学，参加数学竞赛的有 36 人，参加化学竞赛的有 20 人，两种竞赛都不参加的有 8 人，则两种竞赛都参加的有_人8.命题 A：|1| 3， 命题 B：( + 2)( + ) 3的解集为_ 10.已知() = 2+ + ，集合|() = = 4，将集合 = |() = 4用列举法表示_11.已知正实数 x、y 满足2+1= 1，则2 + 的最小值为_12.(2 + 1)(1)3(3)2(5)(2)(4
3、) 0的解集为_13.已知集合 = (,)|2+ + 2 = 0， = (,)| + 1 = 0，0 2，若集合 的子集个数为 2，则实数 m 的取值范围为_14.若正实数 x，y 满足 + 2 + 4 = 4，且不等式( + 2)2+2 + 234 0恒成立，则实数 a 的取值范围是_三、解答题（本大题共 4 小题，共 48.0 分）15.已知 a， +，求证：(2+ 2)12 (3+ 3)13第 3 页，共 13 页16.已知集合 = |26 0, ， = |23 + 22 0, ，若 = ，求实数 a 的取值范围17.某厂家拟在 2010 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即
4、该厂的年产量)万件与年促销费用 m 万元( 0)满足 = 3 + 1(为常数)，如果不搞促销活动， 则该产品的年销售量只能是 1 万件 已知 2010 年生产该产品的固定投入为 8万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2010 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；(2)该厂家 2010 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大18.设集合 = + 3|232= 1,m， (1)证明：若 ，则1 ，且2 +3 ；(2)对于实数 p，q，如果1 ，证明：
5、2 +1 +1；并由此说明，A 中元素若满足1 2 +3，则 = 2 +3；第 4 页，共 13 页(3)设 ，试求满足2 +3 (2 +3)2的 A 的元素第 5 页，共 13 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】【解答】解：当 = 时， 任意 都有 ， = ， () = = ；当 时，表示了在 M 中但不在 P 中的元素，()表示了在 M 中但不在中的元素， 中的元素都不在 P 中，所以()中的元素都在 P 中， ()中的元素都在 中， () = 故选：B【分析】分 = 与 讨论，可证明() = 本题考查了集合的运算，属于基础题2.【答案】D【解析】解：对于，不等式 两边同时除以
6、ab 得11，故正确；对于，因为 |，所以2 2，故正确；对于，1 1隐含 0，两边同乘 a，得1 ，故正确；对于，因为0 3，则3 0，所以2 0， 0，所以2018 + 2019 +12018+12019= (2018 +12018) + (2019 +12019) 2 2018 12018+2 2019 12019= 4，当且仅当2018 =12018，2019 =12019，即 =12018， =12019时取等号，将即 =12018， =12019代入运算得(2018 + 2019)(12018+12019) = 4，即“2018 + 2019 +12018+12019= 4”是“(
7、2018 + 2019)(12018+12019) = 4”的充分条件，(2018 + 2019)(12018+12019) = 2 +20182019+20192018 2 + 22018201920192018= 4， 当且仅当20182019=20192018即2018 = 2019时取等号，推不出“2018 + 2019 +12018+12019= 4”，故“2018 + 2019 +12018+12019= 4”是“(2018 + 2019)(12018+12019) = 4”的不必要条件，综合得 ： “2018 + 2019 +12018+12019= 4” 是 “(2018 +
8、2019)(12018+12019) = 4”的充分不必要条件，故选：A由均值不等式及取等的条件得：2018 + 2019 +12018+12019= (2018 +12018) + (2019 +12019) 22018 12018+2 2019 12019= 4，当且仅当2018 =12018，2019 =12019，即 =12018， =12019时取等号，第 7 页，共 13 页(2018 + 2019)(12018+12019) = 2 +20182019+20192018 2 + 22018201920192018= 4，当且仅当20182019=20192018即2018 = 2
9、019时取等号，再分别代入运算即可本题考查了均值不等式及取等的条件，充分必要条件，属中档题5.【答案】2,4，6【解析】解： = 1,3，5，7，8，( ) = 2,4，6，故答案为：2,4，6根据集合并集和补集的定义进行求解即可本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键比较基础6.【答案】|0 1，11 =1 0，(1)2 0， 0 1的解集为|0 1故答案为：|0 1移项后通分，即可求得不等式的解集本题考查不等式的解法，移项后通分是关键，属于基础题7.【答案】14【解析】解：依题意得：B 为两种都参加的，设为 x 人，则 A 中有(36)人，C 中有(20)人，第 8
10、页，共 13 页故有： + (20) + (36) + 8 = 50，解得 = 14故答案为：14根据图象和元素以及集合之间的关系即可得到结论本题主要考查了 Venn 图表达集合的关系及运算，以及集合包含关系，属于基础题8.【答案】(,4)【解析】解：根据题意，由于命题 A：|1| 3，得到2 4，命题 B：( + 2)( + ) 0，A 是 B 的充分而不必要条件则说明 A 是 B 的真子集，那么可知集合 B：2 ，则可知参数 4，故答案为：(,4)通过绝对值不等式的解法求出集合 A，利用 A 是 B 的充分而不必要条件则说明 A 是 B的真子集，推出集合 B，求解 a 的范围即可本题主要是
11、考查了绝对值不等式的解法，充分条件的运用，属于基础题9.【答案】(,1) (2, + )【解析】解：由于| + |1|表示数轴上的 x 对应点到 0、1 对应点的距离之和，而1和 2 对应点到 0、1 对应点的距离之和等于 3，故当 2时，不等式| + |1| 3成立故不等式| + |1| 3的解集为(,1) (2, + )，故答案为：(,1) (2, + )由于| + |1|表示数轴上的 x 对应点到 0、1 对应点的距离之和，而1和 2 对应点到0、1 对应点的距离之和等于 3，由此求得不等式的解集本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，属于中档题10.【答案】3,4【解析】解：已知
12、() = 2+ + ，集合|() = = 4，即方程2+ + = ，2+(1) + = 0由两个相等的实数根为 4，所以 = (1)24 = 0，即2+(1) + = (4)2，所以 = 16， = 7，第 9 页，共 13 页所以() = 2+ + = 27 + 16，所以集合 = |() = 4 即27 + 16 = 4，27 + 12 = 0，用列举法表示为3,4，故答案为：3,4，根据已知集合|() = = 4，利用方程的 ，可计算方程的系数 a，b，在带入集合 = |() = 4求解即可本题考查了函数与方程的关系，考查方程的计算和根的表示、集合的元素表示法，属于基础题11.【答案】9
13、【解析】解： 正实数 x、y 满足2+1= 1， 2 + = (2+1)(2 + ) = 5 +2+2 5 + 222= 9，当且仅当2=2，即 = = 3时取等号 2 + 的最小值为 9故答案为：9根据正实数 x、y 满足2+1= 1，由2 + = (2+1)(2 + )利用基本不等式可求出2 + 的最小值本题考查了利用基本不等式求最值，考查了转化思想和计算能力，属基础题12.【答案】1,2) 3 (4,5【解析】解： 2 + 1 0恒成立， 不等式(2 + 1)(1)3(3)2(5)(2)(4) 0等价于(1)(5)(2)(4) 0或 = 3，根据穿根法，解(1)(5)(2)(4) 0得，
14、1 2或4 0时，有(1)24 0，解得 3或 1，由根的存在性定理得(0) (2) 0，即4 + 2(1) + 1 0，解得 0时， 分别求出满足题意的 m的取值范围本题利用集合的运算考查了函数与方程的关系应用问题，也考查了分析与求解能力，是中档题14.【答案】(,3 52, + )【解析】【分析】本题考查基本不等式的应用，涉及恒成立问题，变形并求出需要的最小值是解决问题的关键，属中档题原不等式恒成立可化为 22 + 1722+ 1恒成立，由基本不等式结合不等式的解法可得 2，故只需2 22 + 1722+ 1恒成立，解关于 a 的不等式可得【解答】解： 正实数 x，y 满足 + 2 + 4
15、 = 4，可得 + 2 = 44，第 11 页，共 13 页 不等式( + 2)2+2 + 234 0恒成立，即(44)2+2 + 234 0恒成立，变形可得2(22+1) 422 + 34恒成立，即 22 + 1722+ 1恒成立， 0， 0， + 2 2 2， 4 = + 2 + 4 4 + 2 2，即2( )2 2 2 0，解不等式可得 2，或 22(舍负)可得 2，要使 22 + 1722+ 1恒成立，只需2 22 + 1722+ 1恒成立，化简可得22+15 0，即( + 3)(25) 0，解得 3或 52，故答案为：(,3 52, + )15.【答案】证明：由于 a， +，要证(2
16、+ 2)12 (3+ 3)13，即证(2+ 2)3 (3+ 3)2，即证324+342 233，即证32+32 2，由于32+32 6 2，故(2+ 2)12 (3+ 3)13【解析】由分析法将要证的不等式转化为简洁明了的不等式即可本题主要考查分析法证明不等式16.【答案】解： = |26 0, = |2 3， = |23 + 22 0, = |()(2) 3或 0，则 = |()(2) 0 = | 2或 ，若 = ，则 0 3得 3，若 0，则 = |()(2) 0 = | 或 2，若 = ，则 0 2得 2，综上 = 0或 3或 2，第 12 页，共 13 页即实数 a 的取值范围是(,2
17、 0 3, + )【解析】求出集合的等价条件，结合集合补集和并集的定义进行讨论求解即可本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价，结合条件关系进行分类讨论是解决本题的关键比较基础17.【答案】解：(1)由题意可知当 = 0时， = 1(万件)， 1 = 3 = 2.(2分) = 32 + 1每件产品的销售价格为1.5 8 + 16(元)，(4分) 2010年的利润 = (1.5 8 + 16)(8 + 16 + )(6分) = 4 + 8 = 4 + 8(32 + 1) = 16 + 1+( + 1) + 29( 0).(8分) (2) 0时，16 + 1+( + 1) 2 16 = 8，(1
18、2分) 8 + 29 = 21，当且仅当16 + 1= + 1 = 3(万元)时，= 21(万元).(15分) 所以当该厂家 2010 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大(15分)【解析】(1)由题意可知当 = 0时， = 1由满足 = 3 + 1，即可得出 k 值，从而得出每件产品的销售价格，从而得出 2010 年的利润的表达式即可；(2)对于(1)中求得的解析式，根据其中两项之积为定值结合利用基本不等式此函数的最大值及相应的 x 值，从而解决该厂家 2010 年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大本小题主要考查函数模型的选择与应用、基本不等式的应用等基础知识，考查学生分析问题
19、和解决问题的能力，属于基础题18.【答案】证明：(1)若 ，则 = + 3且232= 1，m， ，则1=1 + 3=3232= 3 = + () 3且23()2= 1，m， ，故1 ，则2 +3= (2 3)( + 3) = (23) + (2) 3，第 13 页，共 13 页此时(23)23(2)2= 232= 1，故2 +3 ；(2)令() = +1( 1)，则() = 112 0恒成立，故 1时，() = +1为增函数， 1 ，(1) = 2 2 +1 +1；令 = + 3且232= 1，m， ， 1 2 +3， 2 +1 2 +3 +12 +3， 2 2 4，则 = 2， = 1，则 = 2 +3；(3) ，且2 +3 (2 +3)2，2 +3 ，且1 2 +3 2 +3，由(2)得：2 +3= 2 +3， = (2 +3)2= 7 + 43【解析】(1)若 ，则 = + 3且232= 1，m， ，进而得到1，2 +3均满足集合 A 的性质，进而得到结论；(2)构造函数() = +1( 1)，利用导数分析其单调性，进而可得如果1 ，则2 +1 +1；进而得到 A 中元素若满足1 2 +3，则 = 2 +3；(3)设 ，结合(1)(2)中结论，可得 c 值本题考查的知识点是集合与元素之间的关系，对勾函数的单调性，是集合，函数，不等式的综合应用，难度中档
