1、第 1 页，共 17 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 40.0 分）1.若集合 = | 6， = 2 2，则下面结论中正确的是()A. B. C. D. 2.已知幂函数() = (是常数)，则()A. ()的图象一定经过点(1,1)B. ()在(0, + )上单调递增C. ()的定义域为 RD. ()的图象有可能经过点(1,1)3.函数() =221的值域是()A. (2, + )B. (,2) (0, + )C. (,2)D. (0, + )4.已知()为奇函数，当 0，0 B. log D. log log6.函数(
2、) = ln()132的零点所在区间为()A. (4,3)B. (3,)C. (,2)D. (2,1)7.设函数() =2(1) + 2, 1(3 + 1)5, 1在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是()第 2 页，共 17 页A. (13,3B. (13,2)C. (13,2D. 2,38.已知函数() = ln(2+ + )的部分图象如图所示，则 + 的值是()A. 1B. 1C. 5D. 59.已知函数 = (1)的图象关于 = 1对称，且对 = ()， ，当1，2 (,0时，(2)(1)21 0成立，若(2) (22+1)对任意的 恒成立，则 a 的范围()A. 2 2B. 1C.
3、 210.已知函数() =22+ 1, 2|2(2)|, 2则函数() = ()2()54的零点个数是()A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共 7 小题，共 36.0 分）11.集合 = | = 2+1，集合 = | =2+ 2，则 = _， = _12.若函数 = ()的定义域为2,3，值域为1,2，则函数 = (1)的定义域为_；值域为_13.已知函数() = 12(2+43)，则函数的单调增区间是_；值域为_14.函数() = 1 +log( + 2)( 0且 1)图象恒过定点 A，则点 A 的坐标为_；若(32) 32，则实数 a 的取值范围是_第 3 页，共 17 页
4、15.若()是定义在实数集上的偶函数，且( + 5) = ()，当 (5,7.5)时，() =1，则(2019)的值等于_16.已知函数() =log122+(2) + 2.若()有最大值或最小值，则 m 的取值范围为_17.已知 ，函数() = 3，( )对任意 43,0，使得|( + 2)()| 23恒成立，则实数 a 的取值范围为_三、解答题（本大题共 5 小题，共 74.0 分）18.(1)已知5= 3，5= 4，用 a，b 表示log2536(2)求值(614)12( 7)0+214+7127419.已知集合 = |1 2 + 1( )， = |2 0，(1)若 = 1，求 ， ()
5、；(2)若 = ，求实数 a 的取值范围第 4 页，共 17 页20.已知函数() = +log4(4+1)( )是偶函数()求 k 的值；()若函数() =4() +12+ 2 + 1+1， 1,1， 是否存在实数 m 使得()的最小值为 0？若存在，求出 m 的值，若不存在，请说明理由21.已知二次函数()满足(0) = 2，( + 1)() = 2()求函数()的解析式；()若关于 x 的不等式() 0在1,2上有解，求实数 m 的取值范围；()若方程() = + 2在区间(1,2)内恰有一解，求实数 t 的取值范围22.已知函数() = |21|1( )(1)若关于 x 的方程() +
6、 2+1 = 0在区间(0,2上有两个不同的解1，2求 a 的取值范围；若12，求11+12的取值范围；(2)设函数()的区间0,2上的最小值()，求()的表达式第 5 页，共 17 页第 6 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】C【解析】解： 2 2 6， ， ， 对故选：C根据题意判断元素和集合，集合和集合的关系本题考查元素和集合，集合和集合的关系，属于基础题2.【答案】A【解析】解：幂函数() = (是常数)，其函数图象一定经过点(1,1)，所以 A 正确；当 0时，()在(0, + )上单调递减，所以 B 错误；当 1且21 0，121 0，则221 0 函数() =221
7、的值域是(,2) (0, + )故选：B由21 1且21 0，得121的范围，乘以 2 得答案本题考查函数的值域及其求法，考查指数函数的值域，是基础题4.【答案】D第 7 页，共 17 页【解析】解： ()为奇函数，且当 0，0 1， ，log 0，0 1，利用指数函数与对数函数的单调性即可判断出正误本题考查了指数函数与对数函数的单调性、 不等式的性质， 考查了推理能力与计算能力，属于基础题6.【答案】B【解析】解：函数() = ln()132， 0，() = 1 +32 0，故有(3) () 0，() 0，根据函数的零点的判定定理可得函数() = ln()132的零点所在的区间本题主要考查函
8、数的零点的判定定理的应用，不等式的性质，属于中档题7.【答案】C第 8 页，共 17 页【解析】解：函数() =2(1) + 2, 1(3 + 1)5, 03 + 15 1 + 1 + 2，解得13 2故实数 a 的取值范围是(13,2故选：C利用分段函数是增函数，列出不等式组，求解即可本题考查分段函数及运用， 考查函数的单调性及应用， 注意各段的情况和单调性的定义，及复合函数的单调性，属于易错题8.【答案】D【解析】【分析】由图中函数的单调性可得方程2+ + = 0的两根为 2 和 4， 利用根与系数的关系结合(1) = 0列式求得 a，b，c 的值，则答案可求本题考查函数的图象与图象变换，
9、考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题【解答】解：由图可知，函数()的减区间为(,2)，增区间为(4, + )， 内层函数 = 2+ + 的减区间为(,2)，增区间为(4, + )， 方程2+ + = 0的两根为 2 和 4，又(1) = 0，= 6= 8ln( + + ) = 0，解得 =13 = 2 =83 + =13+2 +83= 5故选：D由图中函数的单调性可得方程2+ + = 0的两根为 2 和 4， 利用根与系数的关系结合(1) = 0列式求得 a，b，c 的值，则答案可求本题考查函数的图象与图象变换，考查复合函数的单调性，考查数学转化思想方法，是中档题第 9 页，共
10、 17 页9.【答案】A【解析】解： = (1)的图象关于 = 1对称， = ()的图象关于 = 0对称，即()是偶函数， 当1，2 (,0时，(2)(1)21 0成立， 此时()为减函数，则在0, + )上()为增函数，若(2) (22+1)对任意的 恒成立，等价为若(|2|) (22+1)对任意的 恒成立，即|2| 22+1，当 = 0时，不等式成立，当 0时，不等式等价为2| 22+ 1|= 2| +1|，当 0时，2| +1| 2 2| 1|= 2 2，当且仅当2| =1|时取等号，则2| 2 2，即| 2，得 2 0的条件下，y 的减区间再利用二次函数的性质可得函数 = 2+43在
11、0的条件下的减区间【解答】解：对于函数() =log12(2+43)，由2+43 0，求得1 0的条件下的减区间，由二次函数的性质可得，函数 = 2+43的最大值为 1，在 0的条件下的减区间2,3) (0,1， () =log12的值域为0, + )，故答案为：2,3)；0, + )14.【答案】(1,1) (0,14) (1, + )【解析】解： 函数() = 1 +log( + 2)( 0且 1)图象恒过定点 A，令 + 2 = 1，求得 = 1，() = 1，可得它的图象经过定点(1,1)当0 1时，函数()为减函数，若(32) 32，则1 + (32+2) 32，即1212，即 12
12、，求得 0 1时，函数()为增函数，若(32) 32，即1212，即 12，求得 1第 12 页，共 17 页综上，实数 a 的取值范围为(0,14) (1, + )故答案为：(1,1)；(0,14) (1, + )由题意利用对数函数的单调性和特殊点，对数函数的性质，分类讨论，求得 a 的范围本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，对数函数的性质，属于基础题15.【答案】16【解析】 解 ： 根据题意，()满足( + 5) = ()， 则有( + 10) = ( + 5) = ()，即函数()是周期为 10 的周期函数，则有(2019) = (1 + 2020) = (1)，又由()为偶函数，则
13、(1) = (1)，当 (5,7.5)时，() =1且( + 5) = ()，则(1) = (6) = 16；故答案为：16根据题意，由( + 5) = ()分析可得( + 10) = ( + 5) = ()，即函数()是周期为 10 的周期函数，据此可得(2019) = (1 + 2020) = (1)，结合函数的奇偶性与解析式分析可得答案本题考查函数的奇偶性与周期性的综合应用，注意分析函数的周期，属于基础题16.【答案】| 2，或 0当 = 0时， = 22，由于 y 没有最值，故()也没有最值，不满足题意当 0时，函数 y 有最小值，没有最大值，()有最大值，没有最小值故 y 的最小值为
14、4(2)(2)24，且4(2)(2)24 0、求得 2当 0，求得 2，或 2，或 0时，32+6 + 4 43或32+6 + 4 23恒成立， 只需43 (32+6 + 4)或23 (32+6 + 4) 函数 = 32+6 + 4 = 3( + 1)2+1， 43,0， 当 = 1时，= 1；当 = 0时，= 4，43 1或23 4， 43或 16，又 0， 43或0 23， 0时，|( + 2)()| 23恒成立， 0综上，a 的取值范围为(,16 43, + )故答案为：(,16 43, + )根据|( + 2)()| 23恒成立，可得(32+6 + 4) 43或(32+6 + 4) 2
15、3恒成立，然后分 0和 0两种情况求出 a 的范围本题考查了函数恒成立问题和二次函数求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题18.【答案】解：(1)5= 3，5= 4，得 =log53， =log54，log2536 = 56 = 53 + 52 = +2，第 14 页，共 17 页(2)原式 = (254)121 + 222+2=5212 + 2 = 2.51 = 1.5【解析】(1)指对互化，带入化简；(2)利用指对运算性质求解考察指数与对数运算性质，基础题19.【答案】解：(1) = |0 1； = 1时， = |0 3； = |0 3， = | 0，或 1； () = |1 3；(
16、2) = ； = 时，1 2 + 1； 2； 时，1 2 + 11 1或 2 + 1 0；解得 2或2 12；综上得，实数 a 的取值范围为| 12,或 2【解析】本题考查描述法的定义，交集、并集，以及补集的运算，交集和空集的概念，集合关系之间的参数问题，属于中档题(1)可求出 = |0 1， = 1时，求出集合 A，然后进行交集、并集和补集的运算即可；(2)根据 = ，可讨论 A 是否为空集： = 时，1 2 + 1； 时，1 2 + 11 1,或 2 + 1 0，这样即可解出实数 a 的取值范围20.【答案】解：() () = +log4(4+1)( )是偶函数 () = ()，则 +lo
17、g4(4+1) = +log4(4+1)，即log41 + 44= 2 +log4(4+1)，即log4(4+1)log44= 2 +log4(4+1)，得 = 2，得2 = 1，得 = 12第 15 页，共 17 页()() =4() +12+ 2 + 1+1 =44(4+ 1)+2 2+1 = (2)2+2 2+2， 1,1，设 = 2，则 12,2，则()等价为() = 2+2 + 2，则对称轴为 = ，若 12时，函数()的最小值为(12) =14+ + 2，由14+ + 2 = 0，得 = 94，此时 m 无解，若 2，即 2时，函数()的最小值为(2) = 4 + 4 + 2，由4
18、 + 6 = 0，得 = 32不成立，若12 2时，即2 12时，则此时函数()的最小值为() = 2+2， = 2，综上存在 = 2使得()的最小值为 0【解析】()利用偶函数的定义建立方程() = ()进行求解即可()求出函数()的表达式，利用换元法转化为一元二次函数，利用对称轴进行讨论建立方程关系进行求解判断即可本题主要考查函数奇偶性的应用，以及函数最值的求解，利用偶函数的定义以及换元法转化为一元二次函数是解决本题的关键综合性较强，有一定的难度21.【答案】解：()因为()为二次函数，所以设() = 2+ + ，因为(0) = 2，所以 = 2，因为( + 1)() = 2，所以2 +
19、+ = 2，解得 = 1， = 1，所以() = 2 + 2；()因为() 0在1,2上有解，所以 2 + 2，又因为 1,2，所以 ( +21)，解得 2；()因为方程() = + 2在区间(1,2)内恰有一解，所以2 + 2 = ( + 2)，因为 (1,2)，所以令 = + 2 (1,4)， = +85，在(1,2 2)单调递减，在(22,4)单调递增，所以 = 4 25或1 4第 16 页，共 17 页【解析】()由待定系数法求二次函数的解析式；()分离变量求最值，()分离变量，根据函数的单调性求实数 t 的取值范围即可本题主要考查二次函数的图象及性质，属于中档题22.【答案】 解 ：
20、(1)因为() + 2+1 = 0， 即|21|1 + 2+1 = 0， 则 = |1| + =1,0 121,1 2，作出函数 =1,0 121,1 2的图象如图，y 的最小值为 1，当 (1,2时，y 有最大值412=72，又因为关于 x 的方程() + 2+1 = 0在区间(0,2上有两个不同的解1，2，故 a 的取值范围是(1,72；因为12，所以1 (0,1，2 (1,2，且有 =11= 2212，即有11+12= 22 (2,4；(2)由题得() =22,1 22,0 1，当 4时，有2 0，2 2，则()在0,2上为减函数，则() = (2) = 22，当2 4时，有2 0，1
21、2 2，()在0,2上为减函数，在2,2上为增函数，此时() = (2) = 242，当0 2时，有2 0，0 2 1，()在0,1上为减函数，在1,2上为增函数，此时() = (1) = 1，当2 0时， 有0 2 1，2 0，()在0,2上为增函数， 在2,1上为减函数，在1,2上为增函数，此时() = (0),(1) =1,1 00,2 1，当 2时，有2 1，2 0，则()在0,2上为增函数，则() = (0) = 0，第 17 页，共 17 页综上() =0, 11,1 2242,2 422, 4【解析】(1)求得的分段函数式 = |1| + =1,0 121,1 2作出函数 =1,0 121,1 2的图象，求出最值，即可得到所求 a 的范围 ；由消去 a，可得11+12= 22 (2,4；(2)求得() =22,1 22,0 1， 对a讨论， 当 4时， 当2 4时， 当0 2时，当2 0时，当 2时，讨论单调性，可得()，即可得到所求()的解析式本题考查分段函数的运用：求取值范围和最值，注意运用绝对值的意义和分类讨论和数形结合的思想方法，同时考查函数的单调性的运用，考查化简整理的运算能力，属于难题
