1、第 1 页，共 21 页 高二（上）期中数学试卷高二（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）1.已知命题 p：0 1，使得0 0，则为()A. 1，总有 0B. 1，总有 0C. 0 1，使得0 0D. 0 1，使得0 02.已知中心在原点的等轴双曲线：2222= 1( 0, 0)，右顶点为( 2,0)，则双曲线 C 的焦距等于()A. 2B. 2 2C. 4D. 4 23.不等式22+53 0的一个必要不充分条件是()A. 6 1B. 3 12C. 3 0D. 12 0, 0)的一个焦点 F 与抛物线2= 2( 0)的焦点相同，点 A 是两曲
2、线的一个交点，且 AF 垂直 x 轴，则双曲线的离心率为()A. 3B. 2C. 1 +2D. 1 +311.已知椭圆22+162= 1与双曲线2252= 1有公共焦点1，2， 且两条曲线在第一象限的交点为 P 点，则 12的面积为()第 3 页，共 21 页A. 112B. 212C. 4 5D. 8 512.已知椭圆22+22= 1( 0)的内接 的顶点 B 为短轴的一个端点，右焦点F，线段 AB 中点为 K，且 = 2，则椭圆离心率的取值范围为()A. (0,33)B. (0,63)C. (33,1)D. (63,1)二、填空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分）13.命题“ ，22
3、 + 1 0”是真命题，则实数 m 的取值范围为_14.双曲线242= 4的一条弦恰被点(8,1)平分，则这条弦所在的直线方程是_15.已知 M、N 是过抛物线 C：2= 2( 0)的焦点 F 的直线 l 与抛物线 C 的交点，O是坐标原点，且满足 = 3， =3|，则 p 的值为_16.如图所示，在直四棱柱1111中，底面 ABCD 为菱形， = 60且1= ，M 为侧棱1的中点，E，F分别是线段1和线段1上的动点(含端点)，且满足 =1，当 E，F 运动时，下列结论中正确的序号是_在 内总存在与平面 ABCD 平行的线段；平面 平面11；三棱锥1的体积为定值； 可能为直角三角形三、解答题（
4、本大题共 6 小题，共 70.0 分）17.若命题 p：实数 x 满足24 0，命题 q：实数 x 满足(1 + )(1) 0( 0)()当 = 2且 为真命题时，求实数 x 的取值范围；()若 p 是的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围第 4 页，共 21 页18.()已知中心在原点的双曲线 C 的焦点坐标为(0, 3)，(0, 3)，且渐近线方程为 = 2，求双曲线 C 的标准方程；()在圆2+ 2= 3上任取一点 P，过点 P 作 y 轴的垂线段 PD，D 为垂足，当点 P在该圆上运动时，求线段 PD 的中点 M 的轨迹方程19.如图，已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平
5、面互相垂直， =2， = 1，M是线段 EF 的中点 (1)求证：/平面 BDE；(2)求二面角的大小第 5 页，共 21 页20.已知抛物线 C 的方程为2= 2( 0)，C 上一(32,)点到焦点的距离为 2()求抛物线 C 的方程及点 M 的坐标；()过点(1,0)的直线 l 与抛物线 C 交于点 A，B，与 y 轴交于点 Q，设 = ， = ，求证： + 是定值21.如图所示，等腰梯形 ABCD 中，/， = = = 2， = 4，E 为 CD中点，AE 与 BD 交于点 O，将 沿 AE 折起，使点 D 到达点 P 的位置( 平面)()证明：平面 平面 ABCE；()若 =6，试判断
6、线段 PB 上是否存在一点(不含端点)，使得直线 PC 与平面 AEQ 所成角的正弦值为155，若存在，求出的值；若不存在，说明理由第 6 页，共 21 页22.已知椭圆：22+22= 1( 0)的离心率为22，椭圆 C 截直线 = 1所得线段的长度为 2.过椭圆C上的动点P作圆(1)2+ 2= 1的两条切线分别交y轴于M， N两点()求椭圆 C 的方程；()求线段 MN 长度的最大值，并求此时点 P 的坐标第 7 页，共 21 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题 p：0 1，使得0 0，则为： 1，总有 0故选：B直接利用特称命题的否定是全
7、称命题写出结果即可本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查2.【答案】C【解析】解：中心在原点的等轴双曲线：2222= 1( 0, 0)，右顶点为( 2,0)，可得 = =2，则 =2+ 2= 2，可得双曲线 C 的焦距为2 = 4故选：C由等轴双曲线的定义可得 = =2，再由 a，b，c 的关系可得 c，即可得到焦距 2c本题考查双曲线的方程和性质，注意等轴双曲线的定义，考查运算能力，属于基础题3.【答案】A【解析】解：由22+53 0，解得3 12 (3,12)(6,1)， 不等式22+53 0的一个必要不充分条件是6 1故选：A求解一元二次不等式可得不等式22+53
8、 0的解集，然后结合充分必要条件的判定得答案本题考查一元二次不等式的解法，考查充分必要条件的判定，是基础题4.【答案】B【解析】解：.命题“若23 + 2 = 0，则 = 1”的否命题为“若23 + 2 0，则 1”，故 A 错误；第 8 页，共 21 页B.因为“若平面向量,共线，则,方向相同或相反或至少有一个零向量”故原命题为假命题，逆否命题也是假命题，B 正确；C.命题“若 3或 2，则 + 5”的逆否命题是：若 + = 5，则 = 3且 = 2，是假命题，故 C 错误；D.命题“若 + 4，则 a、b 中至少有一个大等于 2”的逆命题为：“若 a、b 中至少有一个大等于 2，则 + 4
9、”逆命题是假命题，故 D 错误故选：B(1)由否命题的意义即可判断出正误；(2)由逆否命题的意义即可判断出正误；(3)由原命题与逆否命题等价，即可判断出结论；(4)写出逆命题，即可判断出正误本题考查简易逻辑的有关知识：四种命题以及真假关系，注意命题的否定和原命题的否命题的区别，本题是一道基础题5.【答案】D【解析】解：根据题意，要求椭圆的长轴长为 12，则2 = 12，即 = 6，又由两个焦点恰好将长轴三等分，则2 = 4，则 = 2，则 =22=32，若椭圆的焦点在 x 轴上，则椭圆的标准方程为236+232= 1，若椭圆的焦点在 y 轴上，则椭圆的标准方程为236+232= 1，则要求椭圆
10、的标准方程为236+232= 1或236+232= 1，故选：D根据题意，分析要求椭圆的 a、c 的值，进而计算可得 b 的值，分别讨论椭圆焦点的位置，求出其对应的标准方程，综合即可得答案本题考查椭圆的标准方程，注意分析椭圆焦点的位置，属于基础题6.【答案】D【解析】解：连接 MN，在 1中， = 1+1， 是11的中点， 1= 112= 2= 12，第 9 页，共 21 页 点 N 是1上的点，且 CN：1= 1：4 1 =451 =45(1 + 11+ 11)=45(1+ + ) =45( + + ) = 1+ 1 = 12 +45( + + ) =45 +31045，故选：D连接 MN，
11、在 1中，由向量加法的三角形法则知 = 1+ 1，由 M 是11的中点，用表示出1，由条件：点 N 是1上的点，且 CN：1= 1：4，得到1 =451，再用,表示向量1即可本题考查了空间向量及其线性运算，熟练掌握平面向量的三角形加法法则，属于基础题7.【答案】B【解析】解：因为 ， ，所以 = 0， = 0，则 = ( + ) = + = = ( + ) =2= 1故选：B根据条件可知 = 0， = 0，故可将 化简成2= 1即可本题考查平面向量基本定理，将 化简成2是关键，属于中档题8.【答案】B【解析】解：化抛物线 =142为标准形式2= 4，得它的焦点为(0,1)，准线为 l： = 1
12、，延长 PH 交准线于 G，连接 PF，根据抛物线的定义，得：| + | = | + |1 = | + |1， | + | |， 当且仅当 P、A、F 三点共线时，| + | = |为最小值 | =122+ (61)2= 13， | + |的最小值为131 = 12第 10 页，共 21 页故选：B求出抛物线焦点为(0,1)，准线为 = 1，延长 PH 交准线于 G，连接 PF，由抛物线定义得| + | = | + |1， 可知当 P、 A、 F 三点共线时，| + | = |为最小值，由此即可求得| + |的最小值本题给出抛物线上动点，求该点到定点与抛物线准线的距离之和的最小值，着重考查了抛
13、物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题9.【答案】A【解析】解：如图，分别以边 DA，DC，1所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系，设正方体边长为 1，(,0，0)(0 1)， 并能确定以下几点坐标：(1,12,1)，1(0,0，1)，(0,1，12)； = (1,12,1),1 = (0,1,12)； 1 = 0； 1， =2故选：A根据已知条件建立空间直角坐标系，求出向量,1的坐标，求这两向量夹角即可考查异面直线所成角， 以及通过建立空间直角坐标系， 用向量求异面直线所成角的方法，两非零向量垂直的充要条件.10.【答案】C【解析】解：双曲线的焦点坐标为(,0)
14、，抛物线的焦点坐标为(2,0)由题意得， = 2，第 11 页，共 21 页 点 A 是两曲线的一个交点，且 轴，将 = 代入双曲线方程得到：(,2)，将 A 的坐标代入抛物线方程得到42= 2，即44+4224= 0解得=2 + 22，22=222= 2 + 2 2，解得：= 1 +2故选：C求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出 A 的坐标，将 A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数 a，b，c 的关系，则双曲线的渐近线的斜率可求本题考查由圆锥曲线的方程求焦点坐标、 考查双曲线中三参数的关系及由双曲线方程求双曲线的离心率，是中档题11.【答案】C【解析】解：由题意，|1|2|
15、= 2|，|1| + |2| = 2|， |1| = | + |，|2| = |， 椭圆22+162= 1与双曲线2252= 1有共同的焦点， 216 = 2+5， 22= 21， cos12=22+ 224(216)2(22)=2242 + 224(216)42=1121 sin12=8521 12的面积为12|1|2|sin12=12 21 8521= 4 5故选：C利用椭圆、双曲线的定义，求出|1| = | + |，|2| = |，结合椭圆与双曲线有相同的焦点，可求得cos12，进一步求得sin12，从而可得 12的面积本题考查椭圆、双曲线的定义，考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算
16、，属于中档题12.【答案】A第 12 页，共 21 页【解析】解：由题意可设(0,)，(,0)，设(1,1)，(2,2)，线段 AB 中点为 K，且 = 2，可得 F 为 的重心，设(1,1)，(2,2)，由重心坐标公式可得，1+2+0 = 3，1+2+ = 0，即有 AB 的中点 K 坐标，可得 =1+ 22=32， =1+ 22= 2，由题意可得中点在椭圆内，可得9242+14 1，由 =，可得213，即有0 0”是真命题，所以分两种情况讨论：当 = 0时：不等式化简为1 0，对 恒成立，符合题意当 0时： 0 0424 0，解得：0 1综上所求：0 1故答案为：0,1)因为二次项系数含参
17、数 m，所以对二次项系数分等于零和不等于零两种情况讨论，当 0时， 二次不等式恒大于零， 则要求开口向上且 0，过 M，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 G，H，过 N 作 于 K，由 = 3，得| = 3|， | = 3|， | = 2| = 2| =12|， | =|2|2=32|，由 = + =12| | =38|，又 =3|，38| =3|，得 = 8故答案为：8过 M，N 作抛物线准线的垂线，垂足分别为 G，H，由 = 3，可得| =38|，再结合 =3|，即可求得 p 的值本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，抛物线的焦点弦公式，考查计算能力，属于中档题
18、第 14 页，共 21 页16.【答案】【解析】解：如图，对于，因为 =1，所以1过平面11的中心 O，连接 MO，因为 M 为侧棱1的中点，所以/平面 ABCD，又因为 平面 MEF，所以在 内总存在与平面 ABCD 平行的线段，故对；对于，因为底面 ABCD 为菱形， = 60且1= ，连接11，AC，则三棱柱111为正三棱柱，则 平面11，因为 平面 MEF，所以平面 平面11，故对；对于，因为 1面积始终不变，点 F 到平面1的距离不变，所以三棱锥1的体积不变，即三棱锥1的体积不变，故对；对于，若 为直角三角形，则必是以为直角的直角三角形，但 EF 的最大值为1，而此时 DE，DF 的
19、长大于1，所以 不可能为直角三角形，故 D 错，故答案为：对于，证明/平面 ABCD，对于，利用底面是棱形， = 60且1= ，所以三棱柱111为正三棱柱，则 平面11，对于，三棱锥1的体积不变，即三棱锥1的体积不变，对于，EF 的最大值为1，而此时 DE，DF 的长大于1，所以 不可能为直角三角形本题考查棱柱的基本性质，涉及线面平行，线面垂直等知识点，属于中档题17.【答案】解：()由 p：(4) 0，得0 4，当 = 2时，由 q：(1 + 2)(12) 0，得 1或 3， ： 1或 3 为真命题， 真且 q 真，则0 4 1或 3，解得3 4 实数 x 的取值范围为3 4；第 15 页，
20、共 21 页() 0，由：(1 + )(1) 0，得1 0)设 = |0 4， = |1 0 是的必要不充分条件， 1 01 + 4，解得 1又 0， 0 1 实数 a 的取值范围为0 1【解析】()分别求解一元二次不等式化简 p 与 q， 结合 为真命题， 取交集得答案 ；()化简(1 + )(1) 0，得1 0).设 = |0 4， = |1 0.由 p 是的必要不充分条件，可得，转化为两集合端点值间的关系列不等式组求解本题考查复合命题的真假判断及其应用，考查充分必要条件的判定及应用，考查逻辑思维能力与推理运算能力，是基础题18.【答案】解：()依题可知双曲线的焦点在 y 轴上，设其方程为
21、：2222= 1( 0, 0)，且 =3，双曲线的渐近线方程为 = 2，即=2.又 2+ 2= 2，由可得 =2, = 1得双曲线方程为：222= 1；()设轨迹上任一点 M 的坐标为(,)，点 P 的坐标为(0,0)，则依题意可知 D 点坐标为(0,0)， 的中点为 M， =02 = 0，即0= 20= ， 点 P 在圆2+ 2= 3上运动，20+ 20= 3，得42+ 2= 3，经检验所求方程符合题意， 点 M 的轨迹方程为234+23= 1【解析】()由题意可设双曲线方程为2222= 1( 0, 0)，且求得 c，再由渐近线方程及隐含条件列式求得 a，b 的值，则双曲线的渐近线方程可求；
22、()设轨迹上任一点 M 的坐标为(,)，点 P 的坐标为(0,0)，则依题意可知 D 点坐标为(0,0)，由中点坐标公式把 P 的坐标用 M 的坐标表示，再把 P 的坐标代入圆的方程，第 16 页，共 21 页整理可得 M 的轨迹方程本题考查轨迹方程的求法，训练了利用交轨法求动点的轨迹，是中档题19.【答案】解：方法一()记 AC 与 BD 的交点为 O，连接 OE， 、M 分别是 AC、EF 的中点，ACEF 是矩形， 四边形 AOEM 是平行四边形， / 平面 BDE，平面 BDE， /平面 BDE()在平面 AFD 中过 A 作 于 S，连接 BS， ， ， = ， 平面 ADF， 是
23、BS 在平面 ADF 上的射影，由三垂线定理得 是二面角的平面角在 中， = =63， =2， tan =3, = 60， 二面角的大小为60方法二()建立如图所示的空间直角坐标系设 = ，连接 NE，则点 N、E 的坐标分别是(22,22,0)、(0,0，1)， = (22,22,1)，又点 A、M 的坐标分别是( 2, 2,0)、(22,22,1) = (22,22,1) = 且 NE 与 AM 不共线， /又 平面 BDE，平面 BDE， /平面 BDF第 17 页，共 21 页() ， ， = ， 平面 ADF = ( 2,0,0)为平面 DAF 的法向量 = (22,22,1) (
24、2, 2,0) = 0， = (22,22,1) ( 2, 2,0) = 0得 ， 为平面 BDF 的法向量 cos =12 ,的夹角是60即所求二面角的大小是60【解析】()要证/平面 BDE， 直线证明直线 AM 平行平面 BDE 内的直线 OE 即可，也可以利用空间直角坐标系，求出向量，在平面 BDE 内求出向量，证明二者共线，说明/平面 BDE，()在平面 AFD 中过 A 作 于 S，连接 BS，说明是二面角的平面角， 然后求二面角的大小 ； 也可以建立空间直角坐标系， 求出 = 0， = 0说明是平面 DFB 的法向量，求出平面 DAF 的法向量 = ( 2,0,0)，然后利用数量
25、积求解即可本题考查直线与平面平行，二面角的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题20.【答案】解：()依题意得抛物线的准线为 = 2， 抛物线上一点(32,)到焦点的距离为 2，由抛物线的定义可得32+2= 2， = 1， 抛物线的方程为2= 2， 2= 2 32， =3抛物线的方程， (32, 3)，()当直线 l 的斜率不存在时不符合题意，故直线 l 的斜率 k 必存在且不为 0 直线 l 过点(1,0)， 设直线 l 的方程为 = (1)( 0)，当 = 0时 = ， 点 Q 坐标为(0,)，设(1,1)，(2,2)，由 = 2= 2得 = 22，整理得222 = 0 0， =
26、4 + 82 0，1+2=2,12= 2，第 18 页，共 21 页 = (1,1+)， = (11,1) = ， (1,1+) = (11,1)，1+ = 1，即 =1+ 1，同理可得 =2+ 2， + =1+ 1+2+ 2=212+ (1+ 2)12= 2 + 22= 1故 + 是定值【解析】()由抛物线的定义可得32+2= 2， = 1，得出抛物线的方程，把 M 点的横坐标代入求出 M 点纵坐标()设直线 l 的方程为 = (1)( 0)，设(1,1)，(2,2)，由题意得点 Q 坐标为(0,)，由 = 2= 2得222 = 0 0， = 4 + 82 0，由韦达定理得1+2=2,12=
27、 2，用向量坐标表示 = ，得 =1+ 1，同理可得 =2+ 2，再分析化简 + 得出常数本题主要考察了利用抛物线的定义求抛物线的方程， 直线和曲线相交的应用以及方程根与系数关系应用，和向量坐标表示，还考查了一定的逻辑推理与运算能力21.【答案】 解 ：()证明 ： 连接BE， 在等腰梯形ABCD中， = = = 2， = 4，E 为 CD 中点， 四边形 ABED 为菱形， ， ， ，即 ， ，且 = ， 平面 POB， 平面 POB， 平面 POB，又 平面 ABCE， 平面 平面 ABCE()解：由()可知四边形 ABED 为菱形， = = 2，在等腰梯形 ABCD 中 = = 2， 正
28、三角形， =3，同理 =3， =6， 2+2= 2， ，由()可知 ， ，以 O 为原点，,分别为 x 轴，y 轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，第 19 页，共 21 页由题意得，各点坐标为(0,0, 3)，(1,0，0)，(0, 3,0)，(2, 3,0)，(1,0，0)， = (0, 3, 3), = (2, 3, 3)， = (2,0,0)，设 = (0 1)， = + = + = (1, 3, 3 3)，设平面 AEQ 的一个法向量为 = (,y，)，则 = 0 = 0，即2 = 0 +3 + (33) = 0取 = 0， = 1，得 =1， = (0,1，1)，设直线
29、PC 与平面 AEQ 所成角为, 0,2，则 = |cos | =| |=155，即|3+31|101 + (1)2=155，化简得：424 + 1 = 0，解得 =12， 存在点 Q 为 PB 的中点时，使直线 PC 与平面 AEQ 所成角的正弦值为155【解析】()连接 BE，推导出四边形 ABED 为菱形， ， ， ，从而 平面 POB，由此能证明平面 平面 ABCE()由四边形 ABED 为菱形，推导出 ，以 O 为原点，,分别为 x 轴，y轴，为 z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，利用向量法能求出存在点 Q 为 PB 的中点时，使直线 PC 与平面 AEQ 所成角的正弦值为155
30、本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题22.【答案】解：() 椭圆：22+22= 1( 0)的离心率为22， = ， = 2，当 = 1时，2= (112) 2=12， 2= 2，2= 1， 椭圆的方程是22+ 2= 1()解法一：设(0,0)，(0,)，(0,)，由22+ 2= 1(1)2+ 2= 1得 = 2 2， 0 2,0) (0,2 2)直线 PM 的方程： =00，化简得(0)0 +0 = 0又圆心(1,0)到直线 PM 的距离为 1， |0 + 0|(0)2+ 20= 1，第 20 页，共 2
31、1 页 (0)2+ 20= (0)2+20(0) + 202，化简得(02)2+200= 0，同理有(02)2+200= 0 + =2002， =002， | = | =()2=420+ 42080(02)2 (0,0)是椭圆上的点， 202+ 20= 1， | =22080+ 4(02)2=2(02)24(02)2=24(02)2， () =24(2)2在 2,0)上单调递减，在(0,2 2)内也是单调递减， () (0,1) (1,221)，当0= 2时，|取得最大值221，此时点 P 位置是椭圆的左顶点( 2,0)解法二：由22+ 2= 1(1)2+ 2= 1得 = 2 2， 0 2,0
32、) (0,2 2)设过点 P 的圆的切线方程为 = + ， 圆心(1,0)到直线 PM 的距离为 1，| + |2+ 1= 1，化简得 =122， =122 + 设(0,0)则(20)220 +0= 0，1+2=2002，12=002， | = |12| =(12)2=420+ 42080(02)2 (0,0)是椭圆上的点， 202+ 20= 1， | =22080+ 4(02)2=2(02)24(02)2=24(02)2， () =24(2)2在 2,0)上单调递减，在(0,2 2)内也是单调递减， () (0,1) (1,221)，当0= 2时，|取得最大值221，此时点 P 位置是椭圆的
33、左顶点( 2,0)【解析】()由离心率为22，椭圆 C 截直线 = 1所得线段的长度为 2，得 a，b 的值，进而得方程()设(0,0)，(0,)，(0,)，求出直线 PM 的方程，再由 F 到直线的距离为 1，第 21 页，共 21 页列出关于0、0和 m 的式子， 化简整理得到(02)2+200= 0， 同理可得(02)2+200= 0，利用根与系数的关系，配方可得| = | =()2=420+ 42080(02)2取得最大值时的0本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的标准方程并探索椭圆与圆的位置关系，着重考查了椭圆的标准方程、简单几何性质、一元二次方程根与系数的关系和利用导数研究函数的单调性等知识，属于中档题
