1、第 1 页，共 19 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号一二总分得分一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分）1.已知集合 = 3,4， = 1,2，3，则 = _2.若(3 + ) = 2(为虚数单位)，则复数 = _3.函数 = 3|( )是偶函数，则 = _4.双曲线：242= 1的渐近线方程是_5.抛物线2= 4上横坐标为 4 的点到焦点的距离为_6.设函数() =2, 012, 32且69 + 24 = 0，则3 + 的最小值是_14.已知关于 x 的不等式(1)+ 2 0有且仅有三个整数解，则实数 k 的取值范围是_二、解答题（本大题共 10 小题，共
2、 130.0 分）15.已知关于 x 的不等式 + 13 0)的左、右焦点分别为1、2，以线段12为直径的圆与椭圆交于点(355,455)(1)求椭圆的方程；(2)过 y 轴正半轴上一点(0,)作斜率为( 0)的直线 l第 4 页，共 19 页若 l 与圆和椭圆都相切，求实数 t 的值；直线 l 在 y 轴左侧交圆于 B、D 两点，与椭圆交于点 C、(从上到下依次为 B、C、D、)，且 = ，求实数 t 的最大值20.已知函数() = 2+2 + 2( )(1)当 = 1时，求函数()在 = 1处的切线方程；(2)是否存在非负整数 a，使得函数()是单调函数，若存在，求出 a 的值；若不存在，
3、请说明理由；(3)已知() = () + 3， 若存在 (1,)， 使得当 (0,时，()的最小值是()，求实数 a 的取值范围(注：自然对数的底数 = 2.71828)第 5 页，共 19 页21.已知向量 =11是矩阵 =103的属于特征值的一个特征向量(1)求实数 a，的值；(2)求222.一个盒子中装有大小相同的 2 个白球、 3 个红球， 现从中先后有放回地任取球两次，每次取一个球，看完后放回盒中(1)求两次取得的球颜色相同的概率；(2)若在 2 个白球上都标上数字 1，3 个红球上都标上数字 2，记两次取得的球上数字之和为 X，求 X 的概率分布列与数学期望()23.如图，正三棱柱
4、111的所有棱长均为 2，点 E、F 分别在棱1、1上移动，且 = 1, = (1)1(1)若 =12，求异面直线 CE 与1所成角的余弦值；(2)若二面角的大小为，且 =255，求的值第 6 页，共 19 页24.设= = 1(1) + 11, (1)求21，32；(2)猜想 = 11的值，并加以证明第 7 页，共 19 页答案和解析答案和解析1.【答案】1,2，3，4【解析】解：集合 = 3,4， = 1,2，3，则 = 1,2，3，4故答案为：1,2，3，4根据并集的定义写出 本题考查了集合的并集运算问题，是基础题2.【答案】1212【解析】解： (3 + ) = 2， =23 + =(
5、2)(3)(3 + )(3)=5510=1212故答案为：1212把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题3.【答案】0【解析】解：因为函数 = 3|( )是偶函数，所以() = ()，() = 1，所以() = 3|2|= 1，2 = 0， = 0 故答案为：0函数 = 3|( )是偶函数，利用偶函数的性质() = ()，求出 m考查了指数函数的性质和运算，偶函数的性质，基础题4.【答案】 = 2【解析】解：已知双曲线242= 1令：242= 0即得到渐近线方程为： = 2故答案为： = 2直接根据双曲线的方程，令方程的右边等于 0
6、求出渐近线的方程第 8 页，共 19 页本题考查的知识要点：双曲线的渐近线方程的求法5.【答案】5【解析】解：抛物线2= 4上横坐标为 4 的点到其焦点的距离，就是这点到抛物线的准线的距离抛物线的准线方程为： = 1，所以抛物线2= 4上横坐标为 4 的点到其焦点的距离为4 + 1 = 5故答案为：5直接利用抛物线的定义，求解即可本题考查抛物线的简单性质的应用，抛物线的定义的应用，考查计算能力，是基本知识的考查6.【答案】16【解析】解：根据题意，函数() =2, 012, 0； (0, + )时，() 32，9 + 46 + 232，解不等式可得， 13，则3 + = 3 +9 + 46 +
7、 2= 3 +3(3 + 1) + 12(3 + 1)= 3 +12(3 + 1)+32，= 3 + 1 +12(3 + 1)+12 212+12=2 +12，当且仅当3 + 1 =12(3 + 1)即 =226时上式取等号， 3 + 的最小值是 2 +12，故答案为： 2 +12由69 + 24 = 0，化为 =9 + 46 + 2，根据 32求出 x 的取值范围，把3 + 化为只含有 x 的式子，根据 x 的取值范围求出3 + 的最小值本题考查了利用基本不等式求最值的问题，注意拼凑法的运用技巧，属于中档题14.【答案】 3 + 2第 12 页，共 19 页【解析】解：不等式(1)+ 2 0
8、有且仅有三个整数解，即1 1 + 2设函数() = 1 + 2，() = 12=2；所以函数()在(,2)上单调递减，在(2, + )上单调递增；(0) = 21，(1) = ，(2) = 2，(3) = 2 +1，(4) = 3 +12，(5) = 4 +13要使得 1 + 2，有三个整数解，则 (1) (4)，即 3 + 2故答案为： 1 + 2设函数() = 1 + 2，讨论函数的单调性，在数形结合分析满足的条件；本题考查方程的正整数根的问题，考查分离常数的方法和数形结合分析的能力，属于中档题15.【答案】解：(1)由 + 13 0得1 13， 0， = 22 +43在4,512上是增函
9、数，故当 =4时，y 取得最小值，最小值为21 +223【解析】(1)先求出面积关于的函数解析式，再代入计算即可；(2)利用导数判断函数单调性，再计算函数最小值本题考查了函数解析式的求解，函数最值的计算，考查三角恒等变换，属于中档题19.【答案】解：(1) 线段12为直径的圆与椭圆交于点(355,455)， |1| = |2| = | =(355)2+ (455)2=5， 圆方程2+ 2= 5 =5，(355)22+(455)22= 1，即92+162= 522，又 2= 2+ 2，联立得，2= 9，2= 4， 椭圆的方程为：29+24= 1(2) 过 y 轴正半轴上一点(0,)作斜率为( 0
10、)的直线 l 直线 l 的方程为： = + ，即 + = 0，又 与圆相切，|1 + 2=5，即2= 5(1 + 2)，又 直线和椭圆相切， = + 29+24= 1，得(92+4)2+18 + 9236 = 0，= (18)24(92+4)(9236) = 922+4 = 0，由得， =12， =52，负值舍去取 BD 中点 M，连接 OM，则 ，第 15 页，共 19 页又 = ， 点 M 为 AE 中点，由 = + = 1，解得(2+ 1,2+ 1)， (22+ 1,(12)2+ 1)，代入椭圆方程化简得，2=36(4+ 22+ 1)9422+ 9=36(2+ 1)29422+ 9，设
11、= 2+1 1，则2=3620(112)2+ 4，当 = 2时，t 取得最大值 3【解析】(1).线段12为直径的圆与椭圆交于点(355,455)，可以得圆的方程及 c，将点 P 代入椭圆方程得92+162= 522，又因为2= 2+ 2，就可解出 a，b，进而得出椭圆方程(2)设直线 l 的方程为 ： = + ，即 + = 0，因为 l 与圆和椭圆相切，得2= 5(1 + 2)， = (18)24(92+4)(9236) = 922+4 = 0，解得得， =12， =52取 BD 中点 M， 连接 OM， 则 ， 又 = ， 所以点 M 为 AE 中点， 写出 M点坐标，进而得 E 坐标，代
12、入椭圆方程化简得，2=36(2+ 1)29422+ 9，设 = 2+1 1，最后再求则2=3620(112)2+ 4 最值本题考查椭圆方程，以及直线与圆和椭圆相切，最值问题，属于中档题20.【答案】解：(1)当 = 1时，() = 2+2 + 1， 0 () = 12 + 2，(1) = 2 (1) = 1所以函数()在 = 1处的切线方程为2 = (1)，化为一般式为 + 3 = 0；(2)() = 12 + 2 =22+ 21当 = 0时，() 0时，若()单调，则() 0在(0, + )上恒成立， 22+21 0对 0恒成立，0 2，第 16 页，共 19 页当 0时，()当 12时，(
13、)在(0,12)单调递减，在(12,1)上单调递增，在(1, + )上单调递减，若存在 (1,)，使得当 (0,时，()的最小值是()，则(12) ()所以2 +14+(22) + 2 0，令() = 2 +14+(22) + 2，() =4142+(2) 0，所以()在(12, + )上单调递增，() (12) =12(2)2+12 0，所以 12时，满足存在 (1,)，使得当 (0,时，()的最小值是()，()当 =12时，() = (1)2，所以()在(0, + )上单调递减，那么()在(0,)上单调递减，()= ()，所以满足存在 (1,)，使得当 (0,时，()的最小值是()，()当
14、0 12时，()在(0,1)上单调递减， 在(112)上单调递增， 在(12, + )上单调递减，() (1)122(1)2 12，1(1)212=(1)222(1)2 0，2(1)212=(2)212(1)2 0，所以2(1)2 2(1)2【解析】(1)由 = 1求出()，利用导数运算法则，求出()，再求出切线斜率，利用点斜式求出切线方程；(2)由函数()是单调函数，可知()恒增或恒减，进而通过导数的正负得到 a 的值；(3)通过导数求 (0,时，()的最小值，通过比较大小求得 a 的取值范围即可本题主要考查了利用导数求函数的极值与最值，属于难题21.【答案】解：(1) = ，第 17 页，
15、共 19 页10311= 11， + 13=， = 3， = 4(2)2=41034103=16709【解析】由特征值与特征向量的关系可以直接得出 a 和；进而求出2本题是关于特征值与特征向量的计算，属于基础题22.【答案】解：(1)依题意，每次取球，取得红球的概率为35，取得白球的概率为25，所以两次取得的球颜色相同的概率 =2525+3535=1325；(2)根据题意，随机变量 X 的所有可能的求值分别为 2，3，4，且( = 2) =2525=425，( = 3) = 122535=1225，( = 4) =3535=925，所以随机变量 X 的分布列为： X 2 3 4 P 425 1
16、225 925所以() = 2 425+3 1225+3 925= 3【解析】(1)每次取得白球的概率为25， 取得红球的概率为35， 根据相互独立事件的积事件的概率乘法公式求解即可；(2)随机变量 X 的所有可能的取值分别为 2，3，4，分别求出对应的概率，列出分布列求期望即可本题考查了古典概型的概率，离散型随机变量的概率分布列，主要考查分析解决问题的能力和计算能力，属于中档题23.【答案】解：(1)建立如图直角坐标系， =12，E，F 为1，1的中点，(1,1，0)，(1,1，0)，(0,0， 3)，1(0,2， 3)， = (1,1， 3)，1= (1,1, 3)1|cos | =|1
17、+ 13|55=15第 18 页，共 19 页(2)若二面角的大小为，且 =255，则 =15，由 = 1, = (1)1，得(1,2,0)，(1,22,0)，平面 AEF 的法向量为 = (0,0,1)，设平面 CEF 的法向量为 = (,)， = (1,2, 3)， = (2,42,0)，由 = 0, = 0，得 + 2 3 = 0，2 + (42) = 0，得 = (21,1,33)，由|cos | = |33|(21)2+ 1 +13=15，得 =3 +36【解析】(1)建立直角坐标系，用向量法求出异面直线 CE 与1所成角的余弦值；(2)求出平面CEF法向量 = (21,1,33)，
18、 利用二面角的大小为， 且 =255，求出考查向量法求出异面直线所成角，向量法求二面角，及其含参的问题，中档题24.【答案】解：(1)由= = 1(1) + 11, 可得1= 11= 1，2= 121222=32，3= 131223+1333=116，则21=321 =12，32=11632=13；(2)猜想 = 11= 0，证明：= (1)2 1+(1)322+(1)433+ + (1) + 1， + 1= (1)2 1 + 1+(1)32 + 12+(1)43 + 13+ + (1) + 1 + 1+(1) + 2第 19 页，共 19 页 + 1 + 1 + 1，由组合数公式+ 1= +
19、 1，即有 + 1= 1，则 + 1= (1)2 0+(1)312+(1)423+ + (1) + 11+(1) + 2 + 1，由 + 1=!( + 1)! ()!=1 + 1( + 1)!( + 1)!()!= + 1 + 1 + 1，可得 + 1= (1)21 + 1 + 1+(1)32 + 1 + 1+(1)43 + 1 + 1+ + (1) + 1 + 1 + 1+(1) + 2 + 1 + 1 + 1=1 + 11 + 12 + 1+ 3 + 1. + (1) + 1 + 1+ (1) + 2 + 1 + 1=1 + 10 + 1+ 1 + 12 + 1+ 3 + 1. + (1)
20、 + 1 + 1+ (1) + 2 + 1 + 1+ 0 + 1=1 + 1(11) + 1+1 =1 + 1，由=1+(21) + (32) + + (1) = 1 +12+13+ +1，可得 = 11= 0成立【解析】(1)由组合数公式和求和的定义，计算可得所求值；(2)猜想 = 11= 0， 运用求和公式的定义和组合数公式+ 1= + 1， 以及 + 1=!( + 1)! ()!=1 + 1( + 1)!( + 1)!()!= + 1 + 1 + 1， 结合二项式定理， 以及数列的恒等式=1+(21) + (32) + + (1)，化简计算可得证明本题考查组合数公式的运用，以及二项式定理的运用，考查猜想归纳思想，以及数列的恒等式的运用，考查化简运算能力和推理能力，属于难题
