1、第 1 页，共 21 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号一二总分得分一、填空题（本大题共 14 小题，共 70.0 分）1.已知集合 = |() = ， = 1,2，3，则 = _2.若(1 + 3) = 10，则 z 的实部为_3.已知 + = (3,4),| = 3，则 = _4.已知函数() =4, 1 + 3, 0, 0)的渐近线方程为 = 265，且过点(5,3 2)，则其焦距为_6.已知(,)为直线 + 12 = 0上一点，且 0，则1+4的最小值为_7.若函数() = cos(2 + )(0 0)的离心率 =12，A，B 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上不同于
2、 A，B 的一点，直线 PA，PB 倾斜角分别为，则cos()cos( + )= _ 14.已知函数() = +4, 2， 曲线 = ()上总存在两点(1,1)，(2,2)使曲线 = ()上在 M、N 两点处的切线互相平行，则1+2的取值范围为_二、解答题（本大题共 10 小题，共 132.0 分）15.在锐角 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且(2+ 22) =3(1)求角 A；(2)若 = 2， 的面积 =3，求1+1的值16.如图，在直四棱柱1111中，已知底面 ABCD 是菱形，点 P 是侧棱1的中点(1)求证：1/平面 PBD；(2)求证： 1.第 3 页，共 21 页
3、17.设等差数列的前 n 项和为，已知1= 1，8= 22(1)求；(2)若从中抽取一个公比为 q 的等比数列，其中1= 1，且12 0)的左、右顶点分别为1、2，上、下顶点分别为1、2.设直线11倾斜角的余弦值为223，圆C 与以线段2为直径的圆关于直线11对称(1)求椭圆 E 的离心率；(2)判断直线11与圆 C 的位置关系，并说明理由；(3)若圆 C 的面积为4，求圆 C 的方程第 4 页，共 21 页19.如图， 有一块半圆形空地， 开发商计划建造一个矩形游泳池 ABCD 及左右两侧两个大小相同的矩形休息区，其中半圆的圆心为 O，半径为 R，矩形 BEFG 的一边 BG在 BC 上，矩
4、形 AHIJ 的一边 AH 在 AD 上，点 C，D，F，I 在圆周上，E，J 在直径上， 且 =6， 设 = ， (6,2).若每平方米游泳池的造价与休息区造价之比为 3：2(1)记游泳池及休息区的总造价为()，求()的表达式；(2)为进行投资预算，当为何值时，总造价最大？并求出总造价的最大值第 5 页，共 21 页20.已知函数() = 1,() = + (1)若函数() = ()()在(0, + )上单调递增，求实数 a 的取值范围；(2)若直线() = + 是函数() = 1图象的切线，求 + 的最小值；(3)当 = 3时，若直线() = + 是函数() = 1图象有两个交点，求实数
5、a 的取值范围21.已知矩阵 =1002， =1202(1)求2；(2)求1222.在极坐标系中，圆 C 的圆心坐标为(2,3)，半径为2.以极点为原点，极轴为 x 的正半轴，取相同的长度单位建立平面直角坐标系，直线 l 的参数方程为 = 1 +22 =22(为参数)(1)求圆 C 的极坐标方程；(2)设 l 与圆 C 的交点为 A，B，l 与 x 轴的交点为 P，求| + |第 6 页，共 21 页23.已知0() = sin( +4)，记() =1()( )(1)1()，2()，3()；(2)求4=0() +1() + +41()24.已知= 1 +12+13+ +1(1)求2，4的值；(
6、2)若=7 + 1112，试比较2与的大小，并给出证明第 7 页，共 21 页答案和解析答案和解析1.【答案】2,3【解析】解： = | 0， = 1,2，3， = 2,3故答案为：2,3可以求出集合 A，然后进行交集的运算即可本题考查了描述法、 列举法的定义， 对数函数的定义域， 交集的运算， 考查了计算能力，属于基础题2.【答案】1【解析】解：由(1 + 3) = 10，得 =101 + 3=10(13)(1 + 3)(13)= 13， 的实部为 1故答案为：1把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题3.【答案】4【解
7、析】解：已知 + = (3,4),| = 3，所以| + | = 5，则 =14( + )2()2 = (14(259) =14 16 = 4故答案为：4利用 =14( + )2()2，代入即可求出答案考查平面向量积的运算，向量公式的变形用，基础题4.【答案】1【解析】解： 函数() =4, 1 + 3, 1，() = 16， 当 1时，() = 4 4，() = (4) = 44= 16，解得 =12，不合题意当 1时，() = + 3，第 8 页，共 21 页当 + 3 1时，() = ( + 3) = 4 + 3= 16，解得 = 1，当 + 3 1时，() = ( + 3) = + 3
8、 + 3 = 16，解得 = 10，不合题意综上，实数 = 1故答案为：1当 1时，() = 4 4，() = (4) = 44= 16，当 1时，() = + 3，当 + 3 1时，() = ( + 3) = 4 + 3= 16，当 + 3 0, 0)的渐近线方程为 = 265，可得：=265，双曲线过点(5,3 2)，可得252182= 1，解得 =52， =6，所以双曲线方程为：225426= 1，则其焦距为：2254+ 6 = 7故答案为：7利用双曲线的渐近线方程求出 a，然后求解双曲线的焦距本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查，是基础题6.【答案】34【解析】解： (,)
9、为直线 + 12 = 0上一点，且 0， + = 12，m， 0则1+4=112( + )(1+4) =112(1 + 4 +4) 112(5 + 24) =34，当且仅当 = 2， + = 12，即 = 4， = 8时取等号故答案为：34由(,)为直线 + 12 = 0上一点， 且 0， 可得 + = 12， m， 0.于是1+4=112( + )(1+4)，展开利用基本不等式的性质即可得出本题考查了基本不等式的性质、点与直线的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题第 9 页，共 21 页7.【答案】56【解析】解： 函数() = cos(2 + )(0 )的图象关于直线 =12对称
10、， 2 12+ = ， ， =56，函数() = cos(2 +56)，故答案为：56由题意利用余弦函数的图象的对称性，求得的值本题主要考查余弦函数的图象的对称性，属于基础题8.【答案】18【解析】 解 ： 在棱长为 6 的正方体1111中， F 为棱 AD的中点，E 为线段1上一点，可得 1=12 6 3 = 9，棱锥的高为 6，所以棱锥1的体积为：13 9 6 = 18故答案为：18求出棱锥的底面面积与高，然后求解棱锥的体积本题考查棱锥的体积的求法，是基本知识的考查，是基础题9.【答案】1【解析】解： 对于任意的 0,2，32 0恒成立， 32对任意 0,2恒成立，设() = 32，()
11、= 3221，且(0) = 1，(1) = 0， 0 1时，() 0；1 0， ()在 = 1取得极小值，即()在 = 1取得最小值， ()在0,2上的最小值为(1) = 1， 1， 实数 a 的最大值为1根据 即可得出 32对任意 0,2恒成立，可设() = 32，() = 3221，从而可根据导数符号判断出()在0,2上的最小值为(1) = 1，从而得出 1，从而可得出 a 的最大值第 10 页，共 21 页本题考查了子集的定义，构造函数解决问题的方法，基本初等函数的求导公式，根据导数符号求函数极值和最值的方法，考查了计算能力，属于中档题10.【答案】12【解析】解：等差数列的公差为2，且
12、2，4，5成等比数列，可得25= 24，即有(12)(18) = (16)2，解得1= 10，可得该等比数列的公比为42=106102=12故答案为：12运用等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，解方程可得首项，再由等比数列的定义，计算可得所求公比本题考查等差数列的通项公式和等比数列的中项性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题11.【答案】14【解析】解：如图，已知点(0,0)，(2,0)，P 是曲线 =(0 1)上一个动点，设(,)， =，则 = (,) (2,) = 2+ 22 = 2+2 = 2 = (12)214(0 1)当 =12时，函数的最小值是14，故答案为：14由(2,0)
13、，设(,)， =，利用 建立关于 x 的二次函数，求出最小值即可考查了平面向量积的运算，配方法求最值，属于中档题第 11 页，共 21 页12.【答案】429【解析】解：由 (0,)，得6 (6,56)，又cos(6) =13， sin(6) =1cos2(6) =223，则sin(6) = 223 sin(32) = 2(6) = 2(6)cos(6) = 2 13 (223) = 429故答案为：429由已知求得sin(6)，再由二倍角的正弦求sin(32)的值本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题13.【答案】17【解析】解：由题意，(,0)，(
14、,0)，设(,)，则 = + ，tan =， = + =222 椭圆22+22= 1( 0)的离心率 =12，222=14 2=432，2432+22= 1， 2= 2324，222= 34， = 34， + =1 + 1=1341 +34=17故答案为：17利用斜率公式，表示出 = + ，tan =，利用离心率化简椭圆方程，再根据和第 12 页，共 21 页差的余弦公式，即可求得结论本题考查斜率公式的运用，考查椭圆的几何性质，考查和差的余弦公式，考查学生的计算能力，属于中档题14.【答案】(8, + )【解析】解： () = +4, 2， () =421由题意可得(1) = (2)(1,2
15、0，且12).即有14211 =24221，化为4(1+2) = 12，而12 (1+ 22)2， 4(1+2) 16对 2, + )都成立， 2， 16 (0,8，1+2 8则1+2的取值范围为(8, + )故答案为：(8, + )求得()的导数()，由题意可得(1) = (2)(1,2 0，且12)，化为4(1+2) = 12，因此1+216， 2, + )，求出16的范围得答案本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、问题的等价转化方法、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题15.【答案】解：(1)由(2+ 22) =3，及余弦定理2+ 22= 2，得2 =3，又 0
16、，得 =32，因为 为锐角三角形，所以0 0，所以 + = 4，根据得，1+1= + =44= 1，所以，1+1的值为 1【解析】(1)由余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得 =32，结合范围0 1，若2= 2，则由2=32，得 =21=32，此时3=2 = (32)2=94，由 + 12=94，第 15 页，共 21 页解得 =72 ，所以2 2，同理2 3；若2= 3，则由3= 2，得 = 2，此时= 21，另一方面，=+ 12，所以+ 12= 21，即= 21，所以对任何正整数 n，是数列的第21项所以最小的公比 = 2所以= 21【解析】(1)设等差数列的公差为 d，运用等
17、差数列的求和公式，解得 d，即可得到所求通项公式；(2)方法一、为公比 q 的等比数列，由等比数列的通项公式可得，再由等差数列的通项公式，可得 + 1= +1，运用构造等比数列法，结合题意可得所求通项公式；方法二、因为数列是正项递增等差数列，所以数列的公比 1，讨论若2= 2，若2= 3，结合等差数列和等比数列的通项公式，可得 = 2，进而得到所求通项公式本题考查等差数列和等比数列的定义和通项公式、求和公式，考查方程思想和分类讨论思想，化简运算能力和推理能力，属于中档题18.【答案】解：(1)设椭圆 E 的焦距为2( 0)，因为直线11的倾斜角的余弦值为223，所以2+ 2=223，于是2=
18、82，即2= 8(22)，所以椭圆 E 的离心率 =22=78=144(2)由 =144可设 = 4( 0)， =14，则 =2，于是11的方程为：2 2 + 4 = 0，故2的中点(2,0)到11的距离 =|2 + 4|3= 2，又以2为直径的圆的半径 = 2，即有 = ，所以直线11与以2为直径的圆相切因为圆 C 与以线段2为直径的圆关于直线11对称，所以直线11与圆 C 相切(3)由圆 C 的面积为4知，圆半径为 2，从而 = 1，设2的中点(2,0)关于直线11：2 2 + 4 = 0 的对称点为(,)，则224= 1, + 22222+ 4 = 0.解得 =23, =823第 16
19、页，共 21 页所以，圆 C 的方程为(23)2+(823)2= 4【解析】(1)表示出余弦值2+ 2=223，即可得2= 8(22)，进而可求出 e；(2)根据离心率设 = 4，则可表示出的11方程，则可求出2的中点到11距离，又以2为直径的圆的半径 = 2，即有 = ，所以直线11与以2为直径的圆相切而因为圆 C 与以线段2为直径的圆关于直线11对称，所以直线11与圆 C 相切(3)由面积求出半径，则 = 1，设2的中点(2,0)关于直线11：2 2 + 4 = 0 的对称点为(,)，则可求出 m，n，从而求出 C 的方程本题是直线与椭圆的综合，考查了椭圆方程的求法，与圆的结合，综合能力较
20、强，属于中档题19.【答案】解：(1)设游泳池每平方米的造价为3，休息区每平方米造价为2( 0)，在矩形 ABCD 中， = ， = ，所以游泳池面积为：矩形= 2 = 22 = 22在矩形 BEFG 中， = 6=2， = 6 = (32)，所以休息区面积为：2矩形= 2 = 2(32) () =3 22 + 2 2(32) = 2( 322 +3)，(6 2).(2)() = 2(2 32 + 2) = 22(2 3sin2 + +3) = 22(2 3)( 3 + 1)，令() = 0，解得 =32或 = 33又 (6,2)， =3 当6 0，当3 2时，() 0，() = + 2在(0
21、, + )上单调递增，且()能取到(0, + )上一切实数，所以 0，故实数 a 的取值范围为(,0(2)设切点为(0,010)，则切线方程为(010) = (10+120)(0)，因为直线() = + 是函数() = 1图象的切线，所以 =10+120，0+ = 010= ln1010，所以 = ln10201，令10= ( 0)， + = () = + 21，则() = 1+21 =221=(2 + 1)(1)当 (0,1)时，() 0，()在(1, + )上单调递增，所以 + = () (1) = 1所以 + 的最小值为1，(3)当 = 3时，令() = 1 + 3，则() =1+12
22、=2+ + 12当 0时，() 0，()在(0, + )上单调递增，()在(0, + )上至多一个零点，故 0.令方程2+ + 1 = 0的大根为0，则20+0+1 = 0当 (0,0)时，() 0，()在(0,0)上单调递增；当 (0, + )时，() 0，第 18 页，共 21 页构造函数() = 2+2，则() =1+22 0恒成立，即()单调递增，又(1) = 0，故0 1，所以 =10+120 (0,2)取1= 0 (0,0)，则(0) = 000+3 = (00+3)083=3，于是猜想，当 3时，2.(4分)下面用数学归纳法证明：当 3，显然成立；假设 = ( 3)时，2；那么当
23、 = + 1时，2 + 1=2+12+ 1+12+ 2+ +12 + 17 + 1112+ (12+ 1+12+ 2+ +12+ 21) + (12+ 21+ 1+12+ 21+ 2+ +12 + 1)7 + 1112+12+ 21 21+12 + 1 21=7 + 1112+13+14=7( + 1) + 1112，第 21 页，共 21 页这就是说，当 = + 1时，2根据、可知，对任意不小于 3 的正整数 n，都有2综上得，当 = 1，2 时，2=；当 3时，2. (10分)【解析】(1)令 = 1，4 代入= 1 +12+13+ +1，求出2，4的值；(2)令 = 1，2，3 代入2与，并比较大小关系，进行猜想：当 3时，2，再用数学归纳法证明，再证明 = + 1成立时需用上假设，注意在证明过程的放缩目标，一定与结论有关系本题考查数列求和问题，主要考查数列与不等式的综合问题，以及用数学归纳法证明与正整数有关的命题，还有放缩法的应用，难度很大
