1、第 1 页，共 13 页 高一（上）期中数学试卷高一（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1.下列命题中正确的有()很小的实数可以构成集合；集合| = 21与集合(,)| = 21是同一个集合；集合(,)| 0，x， 是指第二和第四象限内的点集；A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个2.设 0， 0，下列不等式中等号能成立的有()( +1)( +1) 4；( + )(1+1) 4；2+ 92+ 5 4； + +2 4；A. 1 个B. 2 个C. 3 个D. 4 个3.集合 = |( + 2) 0| 0，则 是 的()A. 充分不必要
2、条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.使关于 x 的不等式23(1) + 2(3) 0恒成立的实数()A. 不存在B. 有且仅有一个C. 有不止一个的有限个D. 无穷多个二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）5.已知集合 = 1,0，2，3， = 0,3，则 = _6.若关于 x 的不等式| + | (, )的解集为|2 4，则 =_第 2 页，共 13 页7.命题“若 = 2，则2+3 0”的逆否命题是_8.若全集 = 1,2，3，4，5，6，7，8，9，A、B 为 U 的子集，且() = 1,9， = 2，() = 4,6，8，则集合 = _
3、9.已知集合 = ,b，2， = 2,2,2(， )，且 = ，则 = _10.已知正实数 x，y 满足 + 3 = 1，则 xy 的最大值为_11.已知集合 = |23 0， = | 0， 0，比较2+2与 +的大小16.解下列不等式：(1)| + 1|21| 1；(2)27 + 12 1第 3 页，共 13 页17.据市场分析，某绿色蔬菜加工点月产量为 10 吨至 25 吨(包含 10 吨和 25 吨)，月生产总成本(万元)可以看成月产量(吨)的二次函数，当月产量为 10 吨时，月总成本为 20 万元，当月产量为 15 吨时，月总成本最低为17.5万元(1)写出月总成本(万元)关于月产量(
4、吨)的函数解析式；(2)若 10,25，当月产量为多少时，每吨平均成本最低？最低平均成本是多少万元？18.已知命题：“ |1 1，使等式2 = 0成立”是真命题，(1)求实数 m 的取值集合 M；(2)设不等式()( + 2) 02() 03() 0；(2)若 a，b， 1,2，3，4，对任意 ，证明：1()、2()、3()中至少有一个非负；(3)设 a、b、c 是正整数，求所有可能的有序三元组(,b，)，使得1() = 0，2() = 0，3() = 0均有整数根第 5 页，共 13 页答案和解析答案和解析1.【答案】A【解析】解：错误，很小的实数没有确定的标准，不满足集合元素的确定性；错误
5、，中集合| = 21的元素为实数，而集合(,)| = 21的元素是点；错误，集合(,)| 0，x， 中还包括实数轴上的点；故正确的有 0 个故选：A由集合元素的性质：确定性可知错误；中注意集合中的元素是什么；中注意 = 0或 = 0的情况本题考查集合元素的性质和集合的表示，属基本概念的考查2.【答案】C【解析】解：设 0， 0， +1 2, +1 2，所以成立，利用柯西不等式，显然成立，2+ 5 + 42+ 5=2+ 5 +42+ 5，运用基本不等式不能取等号，此时2+5 = 4，显然不成立， + +2 2 +2 4，当 = 时成立，故正确的有三个，故选：C设 0， 0， +1 2, +1 2
6、，所以成立，利用柯西不等式，显然成立，2+ 5 + 42+ 5=2+ 5 +42+ 5，不成立， + +2 2 +2 4，当 = 时成立，得出结论考查基本不等式的应用，注意一正二定三相等，条件是否成立，基础题3.【答案】A【解析】解： = |( + 2) 0| 1= | 01 1 = |0 0 = | 1且 3，第 6 页，共 13 页则由 ，反之不成立 是 的充分不必要条件故选：A求解不等式(组)化简 A，B，再由充分必要条件的判定得答案本题考查一元二次不等式、绝对值的不等式及分式不等式的解法，考查充分必要条件的判定方法，是基础题4.【答案】B【解析】解：使关于 x 的不等式23(1) +
7、2(3) 0恒成立，开口向上，所以只需 = 9(1)28(3) = 2+6 + 9 = ( + 3)2 0，即 = 3，所以 t 有且只有一个故选：B使关于 x 的不等式23(1) + 2(3) 0恒成立， 开口向上， 所以只需 = 9(1)28(3) = 2+6 + 9 = ( + 3)2 0，求出即可考查了二次函数的性质，恒成立问题，基础题5.【答案】1,2【解析】解： = 1,0，2，3， = 0,3， = 1,2，故答案为：1,2根据补集的定义进行求解即可本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键比较基础6.【答案】3【解析】解： | + | (, )，解得 ，又关于
8、x 的不等式| + | (, )的解集为|2 4， = 2且 = 4，解得 = 3， = 1， = 3故答案为：3由题意，解不等式| + | 得出 ，再由已知解集为|2 4，从而得出 = 2且 = 4，两者联立解出 a，b 的值，即可得出答案本题考查绝对值不等式的解法， 属于基础题， 解答的关键是用参数表示出不等式的解集，第 7 页，共 13 页再由同一性得出参数的方程7.【答案】若2+3 0，则 2【解析】解：依题意得，原命题的题设为： = 2，结论为：2+3 0逆否命题：若2+3 0.，则 2，故答案为：若2+3 0.，则 2由已知可得，原命题的题设 P： = 2，结论 Q：2+3 0.逆
9、否命题是若非 Q，则非.从而可求写四种命题时应先分清原命题的题设和结论， 而命题的逆否命题的题设和结论分别进行否定，属于基础知识8.【答案】2,3，5，7【解析】解：作出文氏图，由() = 1,9， = 2，() = 4,6，8得 = 2,3，5，7，故答案为：2,3，5，7作出文氏图，根据集合关系进行求解即可本题主要考查集合的基本运算，结合文氏图是解决本题的关键比较基础9.【答案】12或 1【解析】解：集合 B 中的元素 2a，有两种可能， = 2 = 2，或者 = 2 = 2若 = 2 = 2，解之得， = 0 = 1，或者 = 0 = 0(经检验不符合)若 = 2 = 2，解之得 = 0
10、或者 =14，经检验 = 0时， = 0，不满足集合中元素互异性，所以舍去综上所述 =12或者1故答案为 =12或者1由集合相等，则集合中元素相等，再由集合中的元素满足互异性，确定性，无序性，排除不符合要求的解，得出结论本题考查集合相等，对解出的解，再由集合中的元素互异性，确定性，无序性去排除不第 8 页，共 13 页符合条件的解10.【答案】112【解析】解； 正实数 x，y 满足 + 3 = 1， + 3 = 1 2 3，化简得出 112( = 3 =12等号成立) xy 的最大值为112( =12, =16等号成立) 故答案为；112运用基本不等式得出 + 3 = 1 2 3，化简求解
11、112即可本题考查了运用基本不等式求解二元式子的最值问题，关键是判断，变形得出不等式的条件，属于容易题11.【答案】 32【解析】解：集合 = |23 0 = | 32， = | ，当 = 时，实数 a 的取值范围为 32故答案为： 32化简集合 A，根据 = 写出实数 a 的取值范围本题考查了交集的定义与运算问题，是基础题12.【答案】1 54【解析】解：当() = 1时，0 1可得，4 2 () 5有2 52，矛盾，则() 1；当() = 2时，1 2可得，4 2 () 5有1 54，满足条件；当() = 3时，2 3可得，4 2 () 5有23 56，矛盾；则() 3；由此类，当当()
12、4时也不符合题意；故答案为：1 0时，4 +6， = (,4 +6, + )；当 0时， +6 4， = +6,4； 当 0时，集合 A 的元素的个数无限；当 0时， +6 4， = +6,4，集合 A 的元素的个数有限，第 10 页，共 13 页令函数() = +6，( 5，且 +6 4，解得：3 2，根据对()的讨论，所以 = ，故答案为：3 0， 0，2+2=+，根据均值不等式可得，+ 2 ，+ 2 ，当且仅当 = 时取等号，所以由 + 可得+ + 2( +)，即2+2 +则2+2与 +的大小为2+2 +【解析】 0，利用基本不等式的性质即可得出本题考查了不等式的性质、基本不等式的计算，
13、属于基础题16.【答案】解：(1) | + 1|21| =2, 123,1 122, 1得，第 11 页，共 13 页13 1，故不等式的解集是(13,1)；(2)27 + 12 1可转化为28 + 1227 + 12 0，即(2)(6)(3)(4) 0，当 6时，四个因子都非负，不等式成立；当3 4时，四个因子两个为正两个为负，此时不等式成立；当 2时，四个因子都非正，不等式成立，综上知，不等式27 + 12 1的解集是(,2 (3，4) 6, + )【解析】(1)去绝对值号，分段解不等式即可得出不等式的解集；(2)不等式27 + 12 1可转化为28 + 1227 + 12 0，分解后可得
14、(2)(6)(3)(4) 0，由于四个因子的四个零点，把所有实数分成了五部分，分段讨论不等式是否成立即可得出不等式的解集本题考查分式不等式与绝对值不等式的解法，转化为整式不等式是常用的解答策略，本题也考查了简单高次不等式的解法，对于简单高次不等式可以分解为几个因子的乘积，分别判断每段上各个因子的符号，从而得出不等式的解集本题解法比较典型，要理解总结17.【答案】解：(1)由题意，设 = (15)2+17.5( , 0)将 = 10， = 20代入上式得：20 = 25 + 17.5，解得 =110， =110(15)2+ 17.5(10 25)(2)平均成本=11023 + 40=110 +4
15、03 2110 403 = 1当且仅当110 =40，即 = 20 10,25时上式“ = ”成立故当月产量为 20 吨时，每吨平均成本最低，最低成本为 1 万元【解析】(1)设出函数解析式，代入(10,20)，可得函数解析式；(2)求出每吨平均成本，利用基本不等式可求最值本题考查利用数学知识解决实际问题，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定函数解析式是关键18.【答案】解：(1)命题：“ |1 1，使等式2 = 0成立”是真命题，等价于 |1 1，使得 = 2 = (12)214，第 12 页，共 13 页 1 1， 14 2， = |14 2，即 1时， = |2 ，则2
16、 1，解得 94；当 2，即 1时， = | 2，则 1 142 2，解得 0得 2，解不等式22 + 1 0得 1，解不等式2 + 3 0得 ，综上，所求不等式组的解为(,1) (2, + )；(2)证明： 1= 24，2= 24，3= 24， 相加得1+2+3= (2)2+(2)2+(2)212， ，b， 1,2，3，4， 1+ 2+ 3 0即1、2、3至少有一个小于等于 0，1()、2()、3()中至少有一个非负；(3)由判别式大于等于 0，及(1) 0，可得2 4，2 4，2 4， + 1， + 1， + 1， 4， 4，第 13 页，共 13 页 4， 1 + 2，2 + 1， (2
17、)212 24 (2)2， 24为平方数， 当 9时，24 = (2)2 = 1，同理可得当 9时， = 1 = 2，此时1() = 2 + 1 = 0两根为 1 和1，2() = 2 + 1 = 0两根为 1 和1，3() = 2(2) + = 0无整数解，不符故 9不满足题意；当 8时，讨论可得(4,4，4)，(6,8，7)，(7,6，8)，(8,7，6)符合【解析】(1)代值直接计算即可；(2)只需证明1、2、3至少有一个小于等于 0 即可；(3)先判断当 9时，没有满足条件的有序三元组(,b，)，再讨论 8时，满足条件的有序三元组(,b，)即可本题考查一元二次不等式的解法及函数与方程的综合运用，考查逻辑推理能力，属于中档题
