1、第 1 页，共 17 页 高三（上）期中数学试卷高三（上）期中数学试卷 题号一二三总分得分一、选择题（本大题共 4 小题，共 12.0 分）1.若函数() = sin( + )是偶函数，则的一个值是()A. 0B. 2C. D. 22.设 ，则“25 0”是“|1| 0)，若存在0 ，满足|(0)| 12019，则称0为函数()的一个“近似整零点”，若()有四个不同的“近似整零点”，则 a 的取值范围是_三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）17.如图， 在 中， =6， 斜边 = 4， D 是 AB的中点 现将 以直角边 AO 为轴旋转一周得到一个圆锥，点 C 为圆锥底面圆周上的
2、一点，且 =2(1)求该圆锥的全面积；(2)求异面直线 AO 与 CD 所成角的大小(结果用反三角函数值表示)第 3 页，共 17 页18.在 中，内角 A、B、C 所对的边分别为 a、b、c，已知 + = 2，5 = 7(1)求 cosB 的值；(2)设() = sin( + )，解不等式() 1219.某公司为了应对金融危机，决定适当进行裁员，已知这家公司现有职工 2m 人(60 0)，左顶点为(4,0)，经过点(2,3)，过 点 A 作斜率为( 0)的直线 l交椭圆 C 于点 D，交 y 轴于点 E(1)求椭圆 C 的方程；(2)已知 P 为 AD 的中点，(3,0)，证明：对于任意的(
3、 0)都有 恒成立；(3)若过点作直线的平行线交椭圆 C 于点 M，求| + |的最小值21.设数列和的项数均为 m，则将两个数列的偏差距离定义为,，其中, = |11| + |22| + + |.(1)求数列 1，2，7，8 和数列 2，3，5，6 的偏差距离；(2)设 A 为满足递推关系 + 1=1 + 1的所有数列的集合，和为 A 中的两个元素，且项数均为 m，若1= 2，1= 3，和的偏差距离小于 2020，求m 最大值；(3)记 S 是所有 8 项数列|1 8,= 0或1的集合， ，且 T 中任何两个元素的偏差距离大于或等于 4，证明：T 中的元素个数小于或等于 16第 5 页，共
4、17 页第 6 页，共 17 页答案和解析答案和解析1.【答案】B【解析】解： 函数() = sin( + )是偶函数， () = ()，即sin( + ) = sin( + )， ( + ) = + + 2或 + + + = + 2， ，当( + ) = + + 2时，可得 = ，不满足函数定义；当 + + + = + 2时， = +2， ，结合选项可得 B 为正确答案故选：B由函数的奇偶性可得的取值范围，结合选项验证可得本题考查正弦函数图象，涉及函数的奇偶性，属基础题2.【答案】B【解析】【分析】本题考查充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题根据充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推
5、结果【解答】解： 25 0， 0 5， |1| 1， 0 2， 0 5推不出0 2，0 20 5， 0 5是0 2的必要不充分条件，即25 0是|1| 1的必要不充分条件故选：B3.【答案】C【解析】解 ： 椭圆的参数方程为 = 2 = sin， 0,2)，整理为直角坐标方程为24+ 2= 1，所以焦点的坐标为( 3,0).第 7 页，共 17 页故选：C直接利用参数方程和直角坐标方程之间的转换，求出椭圆的直角坐标方程，进一步求出焦点的坐标本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，椭圆的方程的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型4.【答案】
6、D【解析】解：由数列的构造方法可知1= 1，3= 2，7= 4，15= 8，可得：21= 21，所以数21首次出现于第21项，所以当 = 21 + (1 21)时，有=(1 21)，故2019=996=485=230=103=40=9=2= 1，故选：D由数列的构造方法找出规律21= 21，再结合数列重复出现，找出相等两项间隔21项，从而算出2019的值本题主要考查了利用归纳推理求数列项的值，求解时敏锐发现数列排列规律是关键，是中档题5.【答案】|1 1【解析】解：由21 0得 1或 1，即 = | 1或 1，则 = |1 1，故答案为：|1 1根据函数成立的条件求出函数的定义域，结合集合补集
7、的定义进行求解即可本题主要考查集合的基本运算， 结合函数成立的条件求出函数的定义域是解决本题的关键比较基础6.【答案】5 5【解析】解： 1= 1 + 2，2= 3 + 4，12= (1 + 2)(3 + 4) = 5 + 10， |12| = |5 + 10| =(5)2+ 102= 5 5故答案为：5 5第 8 页，共 17 页利用复数代数形式的乘除运算求解12，再由复数的模的计算公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题7.【答案】32【解析】解：在二项式(331)5中，取 = 1，即可得到展开式的系数和为(31)5= 32故答案为：32直接在给出的二项式中取 =
8、 1，即可求得展开式的系数和本题考查二项式定理的应用，通过给二项式的 x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，是基础题8.【答案】29216= 1【解析】解：由题意可得 = 5，即2+ 2= 25，由一条渐近线是34 = 0，双曲线2222= 1的渐近线方程为 = 0，可得=43，解得 = 3， = 4，则双曲线的方程为29216= 1故答案为：29216= 1可得 = 5，运用双曲线的 a，b，c 的关系，以及渐近线方程，可得 a，b 的关系，解方程可得 a，b，即可得到所求双曲线的方程本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程，考查方程思想和运算能力，属于基础题9.【答案】2【解
9、析】解 ： 若是等差数列的前 n 项和，1= 1， = 4，则= + 4 (1)2= 22，故2+ 1=222+ 1= 2故答案为：2第 9 页，共 17 页直接利用等差数列的求和公式的应用和极限的关系式的应用求出结果本题考查的知识要点：等差数列的求和公式的应用，极限的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型10.【答案】1【解析】解：由题意得，即求(4)的值 () = 3(4+2)， (4) =log3(1 + 2) = 1， (4) = 1即所求的解 = 1故答案为 1根据互为反函数的两个函数间的关系知，欲求满足1() = 4的 x 值，即求(4)的值本题主要考查了反
10、函数的概念，互为反函数的两个函数的函数值和关系，属于基础题11.【答案】13【解析】解：原式 = 512 =52+ 122sin( + ) = 13( + )，所以当 + =2+2, 时，行列式的最大值为 13故答案为：13先写出行列式结果，再用三角函数知识求解最大值本题考查行列式与三角函数的综合应用，属于基础题12.【答案】43【解析】解：正方体的棱长为 2，中间四边形的边长为： 2，八面体看做两个正四棱锥，棱锥的高为 1，多面体的中心为顶点的多面体的体积为：2 132 2 1 =43故答案为：43求出多面体中的四边形的面积，然后利用体积公式求解即可本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能
11、力以及计算能力第 10 页，共 17 页13.【答案】427【解析】解：某学生选择物理、化学、地理这三门学科参加等级考，每门学科考+得 70 分，考 A 得 67 分，考+得 64 分，该生每门学科均不低于 64 分，基本事件总数 = 3 3 3 = 27，其总分至少为 207 分包含的基本事件个数： = 33+ 2311= 4， 则其总分至少为 207 分的概率 =427故答案为：427先求出基本事件总数 = 3 3 3 = 27，其总分至少为 207 分包含的基本事件个数 = 33+ 2311= 4，由此能求出其总分至少为 207 分的概率本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知
12、识，考查运算求解能力，是基础题14.【答案】1【解析】解：由= (1)1，得log99=1log991，99991=1=99199，则数列log99是以991= 9999199=199为首项，以99199为公比的等比数列， 99100=199 (99199)99= 1故答案为：1由已知数列递推式可得数列log99是以991= 9999199=199为首项，以99199为公比的等比数列，然后利用等比数列的通项公式求解本题考查数列递推式，考查等比关系的确定，是中档题15.【答案】4 5【解析】解：先简化本题，将2看成一个整体，仍记为，则本题化为已知、是平面内三个单位向量，若 ，求| +2| + |
13、6 +2|的最小值，根据题意设 = (1,0)， = (0,1)，2对应的点 C 在单位圆上，第 11 页，共 17 页 | +2|2= 5 + 4，|2 + |2= 5 + 4， | +2| = |2 + |， |2 + |表示 C 点到(2,0)的距离，|6 +4|表示点 C 到(6,4)的距离，而单位圆与以点(2,0)，(6,4)为端点的线段相交，所以 +2| + |6 +2|的最小值为(2,0)和(6,4)两点的距离4 5，故答案为：4 5本题中2是一个整体，首先简化，根据条件 ，建立直角坐标系，将| +2|转化为|2 + |， 进一步转化为两点间的距离， 同理|6 +4|也可以表示为
14、两点间的距离，最后数形结合可知，最小值为两点间的距离本题需要对向量的模考察非常深刻，题目属于难题16.【答案】(0,120192【解析】解：设四个“近似整零点”为 m， + 1， + 2， + 3，则4 2019 = () + ( + 3)( + 1)( + 2) |()| + |( + 3)| + |( + 1)| + |( + 2)| 4 12019， 120192故答案为：(0,120192设四个 “近似整零点” 为 m， + 1， + 2， + 3， 再利用绝对值不等式的性质和|(0)| 12019，求得 a 的取值范围本题考查“近似整零点”的定义，求解的关键是读懂新定义，且理解“近似
15、整零点”只与图象的开口大小有关，且四个整零点的最小距离为 3，此时 a 可取得最大值，属于中档题17.【答案】解：(1) 中， = 2即圆锥底面半径为 2圆锥的侧面积侧= = 8.4故圆锥的全面积全=侧+底= 8 + 4 = 12.6(2)过 D 作/交 BO 于 M，连 CM则为异面直线 AO 与 CD 所成角.8 平面 平面 第 12 页，共 17 页在 中， = 2 3 =3， 是 AB 的中点 是 OB 的中点， = 1 =5在 中，tan =53=153，.10 = arctan153，即异面直线 AO 与 CD 所成角的大小为arctan153.12【解析】(1)求出圆锥底面半径，
16、圆锥的侧面积侧，然后求解圆锥的全面积(2)过 D 作/交 BO 于 M，连 CM，说明为异面直线 AO 与 CD 所成角，在 中，求解异面直线 AO 与 CD 所成角的大小本题考查异面直线所成角的求法，几何体的全面积的求法，考查空间想象能力以及计算能力18.【答案】解：(1) 5 = 7， 由正弦定理可得5 = 7，即 =75， + = 2， = 2 = 275 =35， =2+ 222=2+ (35)2(75)22 35= 12(2) = 12， (0,)， =23， () = sin( +23)， () 12，即sin( +23) 12， 2 +6 +23 2 +56， ，解得22 2 +
17、6， ， 不等式() 12的解集为22,2 +6， 【解析】(1)由已知利用正弦定理可得 =75， =35，利用余弦定理可求 cosB 的值(2)由 = 12， (0,)，可求 =23，可得解析式() = sin( +23)，进而根据正弦函数的图象和性质即可解得sin( +23) 12的解集，从而得解第 13 页，共 17 页本题主要考查了正弦定理，余弦定理，正弦函数的图象和性质等知识在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题19.【答案】解：(1)设公司裁员人数为 x，获得的经济效益为 y 千元，则由题意得当0 310 2时， = (2)(100 + )20；当310 2 12 2时，
18、= (2)(100 + 2)20； =(100 + )(2)20,0 0.6(100 + 2)(2)20,0.6 ， ；(2)当0 0，当0 60 0.6时，即60 150时，当 = 60时，y 有最大值，1= 2+80 + 3600；当0.6 时， = (2)(100 + 2)20 = 222(30) + 200；由得对称轴 = 30， 60 150， 当0.6 30 时，即75 150时， = 30，y 有最大值，2= 22+80 + 1800； 当30 0.6时，即60 75时， = 0.6时，y 有最大值，3= 1.682+128； 当60 0当75 3825 0，即当60 0)，左顶
19、点为(4,0)，经过点(2,3)， = 4，42+92= 1， 2= 12 椭圆方程为：216+212= 1(2)设直线 l 的方程 = ( + 4)，(1,1)，(2,2) 交 y 轴于点(0,4)， 联立 = ( + 4)216+212= 1，得(3 + 42)2+322 + 64248 = 01+2= 3223 + 42，1 2=642483 + 42，1+2=243 + 42， 的中点(1623 + 42,123 + 42)， = (3,4)， = (1623 + 42,123 + 42) (3,4) = 0， 对于任意的( 0)都有 恒成立(3) /， 的方程可设为： = ，由216
20、+212= 1 = ，得 M 点横坐标为 = 4342+ 3由/，得| + |=| + |=2|=162+ 1242+ 3+ 84342+ 3=1342+ 942+ 3=13(42+ 3 +642+ 3) 22当且仅当 42+ 3 =642+ 3，即 = 32时取等号，第 15 页，共 17 页 当 = 32时，| + |的最小值为2 2【解析】(1)椭圆 C 左顶点为(4,0)，得出 = 4，经过点(2,3)，得42+92= 1，2= 12，进而的椭圆方程，(2)设直线 l 的方程 = ( + 4)，(1,1)，(2,2)交 y 轴于点(0,4)，联立 = ( + 4)216+212= 1，
21、得(3 + 42)2+322 + 64248 = 0，得1+2= 3223 + 42，1 2=642483 + 42，1+2=243 + 42，AD 的中点(1623 + 42,123 + 42)， = (3,4)，去证明 = 0即可(3)因为/， 所以 OM 的方程可设为 ： = ， 由216+212= 1 = ， 得 M 点横坐标为 = 4342+ 3，由/，得| + |=| + |=2|=162+ 1242+ 3+ 84342+ 3=1342+ 942+ 3=13(42+ 3 +642+ 3) 2 2进而得出结论本题考查直线与椭圆相交问题，恒成立，最值问题，属于中档题21.【答案】解：(
22、1)由题意知，数列 1，2，7，8 和数列 2，3，5，6 的偏差距离为|12| + |23| + |75| + |86| = 6(2)设1= ，其中 0，且 1，由 + 1=1 + 1，得2=1 + 1，3= 1，4=1 + 1，5= 1=5， 中数列的项周期性重复，且间隔 4 项重复一次， 中，43= 2，43= 3，41= 12，4=13，( )， 中，43= 3，42= 2，41= 13，4=12，( ).由 + 1 = 1| = 1|，得项数 m 越大，数列和的距离越大由4 = 1| =733460 = 1| =4 865 = 1| =73 865 2018.3，3464 = 1|
23、=4 866 = 1| =73 866 2020.7， = 1| 2020 当 3464时， = 1| 2020，第 16 页，共 17 页 的最大值为 3463(3)假设 T 中的元素个数大于等于 17 个因为数列中，= 0或 1所以仅由数列的前三项组成的数组(1,2,3)有且只有 8 个：(0,0，0)，(1,0，0)，(0,1，0)，(0,0，1)，(1,1，0)，(1,0，1)，(0,1，1)，(1,1，1)那么这 17 个元素(即数列)之中必有三个具有相同的1，2，3设这三个数列分别为：1，2，3，4，5，6，7；：1，2，3，4，5，6，7；：1，2，3，4，5，6，7；其中1=1
24、=1，2=2=2，3=3=3因为这三个数列中每两个的距离大于等于 3，所以与中， ( = 4,5，6，7)中至少有 3 个成立不妨设44，55，66由题意，得4，4中一个等于 0，而另一个等于 1又因为4= 0或 1所以4=4和4=4中必有一个成立，同理，得5=5和5=5中必有一个成立，得6=6和6=6中必有一个成立，所以“= ( = 4,5，6)中至少有两个成立”或“=( = 4,5，6)中至少有两个成立”中必有一个成立所以7 = 1| 2 和7 = 1| 2 中必有一个成立这与题意矛盾，所以 T 中的袁术个数小于等于 16【解析】(1)由数列距离的定义即可求得数列 1，2，7，8 和数列
25、2，3，5，6 的距离；(2)由数列的递推公式，即可求得 a，3，4，5，求得 A 中数列的项周期性重复，且间隔 4 项重复一次，求得数列和规律，可知随着项数 m 越大，数列和的距离越大，4 = 1= | =73，根据周期的定义，3460 = 1| =4 865 = 1| =73 865 2018.3，3464 = 1| =4 866 = 1| =73 866 2020.7， = 1|第 17 页，共 17 页| 2020， 3464时， = 1| 2020，求得 m 的最大值；(3)利用反证法，假设 T 中的元素个数大于等于 17 个，设出，最总求得7 = 1| 2，7 = 1| 2中必有一个成立，与数列的距离大于或等于 3 矛盾，故可证明 T 中的元素个数小于或等于 16本题考查数列的新定义，求数列的周期，考查反证法的应用，考查学生分析解决问题的能力，正确理解新定义是关键，属于难题
