1、JIANZHU RUODIAN YINGYONG JISHUJIANZHU RUODIAN YINGYONG JISHU1JIXIE KONGZHI GONGCHENG JICHU 第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析 2第三章第三章 控制系统的时域分析控制系统的时域分析3.1 3.1 时域分析提法时域分析提法 1 13.2 3.2 时间相应与输入信号时间相应与输入信号 2 23.3 3.3 一阶系统时间响应一阶系统时间响应 3 33.4 3.4 二阶系统时间响应二阶系统时间响应 4 43.5 3.5 高阶系统时间响应高阶系统时间响应 5 53.6 3.6 动态性能指标动态性能指
2、标 6 63 3.1 3.1 时域分析的提法时域分析的提法 n 时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方时域分析法是一种直接在时间域中对系统进行分析的方 法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的法，具有直观、准确的优点，可以提供系统时间响应的 全部信息。全部信息。时域分析的基本思想时域分析的基本思想系统的时域响应系统的时域响应n 当系统受外加作用所引起的输出（即当系统受外加作用所引起的输出（即x(t)）随时间的变）随时间的变 化规律，我们称其为系统的化规律，我们称其为系统的“时域响应时域响应”。4 3.1 3.1 时域分析的提法时域分析的提法 系统的时域响应系统的时域响应由两部
3、分组成：由两部分组成：瞬态响应和稳态响应瞬态响应和稳态响应。n 瞬态响应瞬态响应 是指在输入信号的作用下，系统的输出量从是指在输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到达到一个新的稳定状态的响应过程（亦称为动态初始状态到达到一个新的稳定状态的响应过程（亦称为动态响应），又称过渡过程。响应），又称过渡过程。 n 稳态响应稳态响应 是指当时间是指当时间t t趋于无穷大时系统的输出响应，趋于无穷大时系统的输出响应，它反映了系统的精度。它反映了系统的精度。系统的时域响应系统的时域响应5 3.1 3.1 时域分析的提法时域分析的提法 系统产生瞬态响应的原因是，由于系统包含一些储能系统产生瞬态响应的原因是
4、，由于系统包含一些储能元件，所以当输入信号作用于系统时，输出量不能立即跟元件，所以当输入信号作用于系统时，输出量不能立即跟随输入信号而变化。而是在系统达到稳态响应之前逐渐趋随输入信号而变化。而是在系统达到稳态响应之前逐渐趋近于稳态响应的变化过程。近于稳态响应的变化过程。 值得指出的是，通常人们只讨论稳定系统的时域响应，值得指出的是，通常人们只讨论稳定系统的时域响应，而且往往通过在典型输入信号作用下系统输出的运动状况而且往往通过在典型输入信号作用下系统输出的运动状况对系统的运动性能进行分析。对系统的运动性能进行分析。系统的时域响应系统的时域响应6 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入
5、信号 n时间响应时间响应u时间响应指的是在控制系统的输入作用下，被控制量时间响应指的是在控制系统的输入作用下，被控制量（即系统输出）随时间的变化情况。通过时间分析就可（即系统输出）随时间的变化情况。通过时间分析就可以直接了解控制系统的动态性能。为了明确地了解系统以直接了解控制系统的动态性能。为了明确地了解系统的时间响应及其组成，下面以质量的时间响应及其组成，下面以质量- -弹簧系统来分析。质弹簧系统来分析。质量为量为 与弹簧刚度为与弹簧刚度为 的单自由度系统在输入的单自由度系统在输入 外力外力为为 的作用下的作用下, ,系统的输出为系统的输出为 ，系统的动，系统的动力学方程为：力学方程为： （
6、3.1） 假定方程的初始条件（系统的初始状态）为：假定方程的初始条件（系统的初始状态）为：)cos( tF时间响应及其组成时间响应及其组成( )y tk)cos()()(tFtkytym m7 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 质量质量- -弹簧图片弹簧图片图图3.1 质量质量-弹簧图片弹簧图片8 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 时间响应方程时间响应方程这一非齐次常微分程的完全解由两部分组成：这一非齐次常微分程的完全解由两部分组成： 式中的式中的 是齐次常微分方程的通解，是齐次常微分方程的通解， 是其特解。是其特解。 用微分方程求解法可得出满足初始条件
7、式（用微分方程求解法可得出满足初始条件式（3.23.2）的解为）的解为: : 式中，式中， 为系统的无阻尼固有频率；为系统的无阻尼固有频率； 。0t) 0 ()(),0 ()(ytyyty)()()(21tytyty)(1ty)(2ty)cos(11)cos()0()sin()0()(21tkFtytytynnnn)cos(11)(22tKFtymknn9 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 时间响应方程时间响应方程 这一非齐次常微分程的完全解：这一非齐次常微分程的完全解： )cos(11)cos(11)cos()0()sin()0()(22tKFtkFtytytynnnn
8、零输入响应：由零输入响应：由“无输入时系统的初态无输入时系统的初态”引起的自由响引起的自由响应。应。 零状态响应：零状态响应： “无输入时系统的初态无输入时系统的初态”为零，而仅由为零，而仅由输入引起的响应。这是从振动的来源来划分。输入引起的响应。这是从振动的来源来划分。 控制工程所要研究的系统往往是零状态响应。控制工程所要研究的系统往往是零状态响应。 10 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 时间响应方程时间响应方程)cos(11)cos(11)cos()0()sin()0()(22tKFtkFtytytynnnn 从振动的性质来看：从振动的性质来看： 自由响应：由自由响应
9、：由“系统的初态系统的初态”和作用力引起的自由响振和作用力引起的自由响振动。动。 强迫响应：强迫响应： 由作用力引起的强迫振动。由作用力引起的强迫振动。 11 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 对任意系统的动力学微分方程的通解对任意系统的动力学微分方程的通解 表示线性系统表示线性系统在没有控制作用下由初始条件引起的运动，习惯上称为在没有控制作用下由初始条件引起的运动，习惯上称为自由运动或自由响应，零输入响应。自由运动或自由响应，零输入响应。 此外，还可以根据工作状态的不同而把系统的时间响应此外，还可以根据工作状态的不同而把系统的时间响应分为瞬时响应与静态响应两部分。瞬态响应
10、是指在某一分为瞬时响应与静态响应两部分。瞬态响应是指在某一输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状输入信号的作用下，系统的输出量从初始状态到稳定状态的过渡过程；而稳态响应是指在态的过渡过程；而稳态响应是指在 时系统的输出时系统的输出状态状态 。时间响应的组成时间响应的组成)(1ty)(tyt12 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 研究系统的动态特性，就是研究系统在输入信号作用研究系统的动态特性，就是研究系统在输入信号作用下，输出量是怎样按输入量的作用而变化的，亦即系统对下，输出量是怎样按输入量的作用而变化的，亦即系统对输入信号如何产生影响。输入信号如何产生影响。 在
11、分析和设计系统时，需要有一个对各种系统性能进在分析和设计系统时，需要有一个对各种系统性能进行比较的基础，这种基础就是预先规定一些具有特殊形式行比较的基础，这种基础就是预先规定一些具有特殊形式的试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统随这些输的试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统随这些输入信号的响应。入信号的响应。输入信号输入信号2211)(iOiOXXsGXX13 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 典型输入信号典型输入信号n选取典型输入信号时必须考虑下列原则：选取典型输入信号时必须考虑下列原则：l （1 1）选取的输入信号的形式非常重要。选取典型输）选取的输入信号的形式
12、非常重要。选取典型输入信号时必须考虑下列原则：入信号时必须考虑下列原则：l （2 2）所选输入信号的形式应尽可能简单，便于用数）所选输入信号的形式应尽可能简单，便于用数学式表达及分析处理。学式表达及分析处理。l （3 3）应选取那些能使系统在最不利的情况下的输入）应选取那些能使系统在最不利的情况下的输入信号作为典型输入信号。信号作为典型输入信号。l 根据以上原则，常用的典型输入信号有以下几种：根据以上原则，常用的典型输入信号有以下几种： 14 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 常用的典型输入信号常用的典型输入信号n（1 1）单位阶跃信号）单位阶跃信号如图如图3.23.2（a
13、)a)所示，其幅值高度等于所示，其幅值高度等于1 1个单位时称为单位个单位时称为单位阶跃信号阶跃信号 ，其数学表达式为：，其数学表达式为： （3.63.6） 其拉氏变换式为其拉氏变换式为： （3.73.7） 阶跃信号是评价系统动态性能时应用较多的一种典型输阶跃信号是评价系统动态性能时应用较多的一种典型输入信号。实际工作中电源的突然接通、断开，负载的突变，入信号。实际工作中电源的突然接通、断开，负载的突变，开关的转换等，均可视为阶跃信号。开关的转换等，均可视为阶跃信号。 0, 00, 1)()(tttutxistuL1)(15 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 输入信号的图形
14、输入信号的图形)(t)(tr)(ta)(th1ht)(tft(d)(a)(b)(c)(e)16 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 常用的典型输入信号常用的典型输入信号n（2 2）单位斜坡信号）单位斜坡信号 如图如图3.23.2（b b）所示，其斜率等于）所示，其斜率等于1 1的信号称为单位斜的信号称为单位斜坡信号，其数学表达式为坡信号，其数学表达式为 ： （3.83.8） 其拉氏变换式为其拉氏变换式为： (3.9(3.9） 单位斜坡信号的曲线是一种等速度函数，实际工作中的单位斜坡信号的曲线是一种等速度函数，实际工作中的数控机床加工斜面时的进给指令信号、大型船闸匀速升降数控机
15、床加工斜面时的进给指令信号、大型船闸匀速升降时的信号等，均可用斜坡信号模拟。时的信号等，均可用斜坡信号模拟。 0, 00,ttttrtxi 21strL17 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 常用的典型输入信号常用的典型输入信号n（3 3）单位加速度信号）单位加速度信号 如图如图3.23.2（c c）所示，即为单位加速度信号，其数学表达）所示，即为单位加速度信号，其数学表达式为：式为： (3.10)(3.10) 其拉氏变换式为其拉氏变换式为： (3.11)(3.11) 单位加速度信号的曲线是一种等加速度函数，实际工单位加速度信号的曲线是一种等加速度函数，实际工作作 中，特别
16、是在分析随机系统的稳态精度时，经常用到这中，特别是在分析随机系统的稳态精度时，经常用到这类信号。如：随机系统中位置作等加速度移动的进给指令类信号。如：随机系统中位置作等加速度移动的进给指令信号可用加速度信号模拟。信号可用加速度信号模拟。 0,210, 02ttttatxi 31staL18 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 n（4 4）单位脉冲信号）单位脉冲信号 用用 表示，其数学表达式为：表示，其数学表达式为： （3.123.12） 且定义且定义 （3.133.13） 此积分表示脉冲面积为此积分表示脉冲面积为1 1。应该指出，符合这种数学定义的理想脉。应该指出，符合这种数
17、学定义的理想脉冲函数，在工程实践中是不可能发生的。为了尽量接近于单位脉冲信冲函数，在工程实践中是不可能发生的。为了尽量接近于单位脉冲信号，通常用宽度号，通常用宽度h h很窄而高度为很窄而高度为 的信号作为单位脉冲信号的信号作为单位脉冲信号 见图见图3.2(d)3.2(d)。实际应用中，常把时间很短的冲击力、脉冲信号、天线上的。实际应用中，常把时间很短的冲击力、脉冲信号、天线上的阵风扰动等可用脉冲信号模拟。单位脉冲信号的拉氏变换为：阵风扰动等可用脉冲信号模拟。单位脉冲信号的拉氏变换为： 常用的典型输入信号常用的典型输入信号 t 1tL 00 ,1, 0, 0hhthhttttxi1dtth119
18、 3.2 3.2 时间响应与输入信号时间响应与输入信号 常用的典型输入信号常用的典型输入信号n（5 5）单位正弦信号）单位正弦信号 如图如图3.23.2（e)e)所示，即为单位正弦信号，其数学表达式所示，即为单位正弦信号，其数学表达式为：为： （3.143.14） 其拉氏变换式为：其拉氏变换式为： （3.153.15） 在实际中如电源的波动、机械振动、元件的噪声干扰在实际中如电源的波动、机械振动、元件的噪声干扰等均可近似为正弦信号。正弦信号是系统或元件作动态性等均可近似为正弦信号。正弦信号是系统或元件作动态性能试验时广泛采用的输入信号。能试验时广泛采用的输入信号。 需要说明的是，上述的典型输入
19、信号，在实验条件需要说明的是，上述的典型输入信号，在实验条件下用得很成功，然而在许多实际生产过程中往往不能使用。下用得很成功，然而在许多实际生产过程中往往不能使用。 txisin22)(stxLi20 3.3 3.3 一阶系统一阶系统时间响应时间响应 对于任何一个控制系统，如果其数学模型及初始条件、对于任何一个控制系统，如果其数学模型及初始条件、外界输入给定，我们总可以通过求出其时域响应表达式来外界输入给定，我们总可以通过求出其时域响应表达式来对其瞬态响应特性和稳态响应特性进行分析。粗略地说，对其瞬态响应特性和稳态响应特性进行分析。粗略地说，在控制系统的全部响应过程里，系统的瞬态性能表现在过在
20、控制系统的全部响应过程里，系统的瞬态性能表现在过渡过程完结之前的响应中。系统性能的分析，又以准确的渡过程完结之前的响应中。系统性能的分析，又以准确的定量方式来描述而被称为系统的性能指标。在系统分析中，定量方式来描述而被称为系统的性能指标。在系统分析中，无论是本章介绍的时域分析法，还是后面各章的其它系统无论是本章介绍的时域分析法，还是后面各章的其它系统分析方法，都是紧密地围绕系统的性能指标来分析控制系分析方法，都是紧密地围绕系统的性能指标来分析控制系统的。统的。 需要指出的是，需要指出的是，只有稳定系统，对于其瞬态特性和稳只有稳定系统，对于其瞬态特性和稳态特性的研究才是有意义的。态特性的研究才是
21、有意义的。T一阶系统的瞬态响应一阶系统的瞬态响应21 3.3 3.3 一阶系统一阶系统时间响应时间响应一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型 R i(t) C)(tur)(tuc 控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。控制系统的运动方程为一阶微分方程，称为一阶系统。如如RCRC电路电路: :)()()(tutudttduCRrcc 22 3.3 3.3 一阶系统一阶系统时间响应时间响应l由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其方程的一般由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。其方程的一般 形式为：形式为： (3.16)l其传递函数为其传递函数为 (3.17) 式中，式中， 为时间常数，具
22、有时间单位为时间常数，具有时间单位“秒秒”的量纲。的量纲。对于不同的系统，由不同的物理量组成。它表达了一阶系对于不同的系统，由不同的物理量组成。它表达了一阶系统本身的与外界作用无关的固有特性，亦即为一阶系统的统本身的与外界作用无关的固有特性，亦即为一阶系统的特征参数。从上面的表达式可以看出，一阶系统的典型形特征参数。从上面的表达式可以看出，一阶系统的典型形式是惯性环节，式是惯性环节， 是表征系统惯性的一个主要参数。是表征系统惯性的一个主要参数。 T一阶系统的数学模型一阶系统的数学模型)()()(00txtxtTxi11)()()(0TssXsXsGiT23 3.3 3.3 一阶系统一阶系统时间
23、响应时间响应一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应l当单位阶跃信号当单位阶跃信号 作用于一阶系统时，一阶系统的单作用于一阶系统时，一阶系统的单位阶跃响应为位阶跃响应为： (3.18)l取上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃输入的时间响应取上式进行拉氏反变换，可得单位阶跃输入的时间响应（称为单位阶跃响应）为：（称为单位阶跃响应）为： (3.19) )(tusTssXsGsXi111)()()(0)0( ,1111)()(1010tesTsLsXLtxTt24 3.3 3.3 一阶系统一阶系统时间响应时间响应一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应l上式中右边第一项是单位阶跃响应的稳态分量，
24、它等于单上式中右边第一项是单位阶跃响应的稳态分量，它等于单位阶跃信号的幅值，第二项是瞬态分量，当位阶跃信号的幅值，第二项是瞬态分量，当 时，瞬时，瞬态分量趋于零。态分量趋于零。 随时间随时间 变化的曲线如图变化的曲线如图3.3(a)3.3(a)所所示，是一条按指数规律单调上升的曲线。这一指数曲线示，是一条按指数规律单调上升的曲线。这一指数曲线在在 那一点的切线斜率等于那一点的切线斜率等于 ，因为：，因为： )(0txT1t0ttTeTdttdxtTt1|1|)(010025 3.3 3.3 一阶系统一阶系统时间响应时间响应一阶系统的单位阶跃响应曲线一阶系统的单位阶跃响应曲线l上这是一阶系统单位
25、阶跃响应曲线的一个特点。根据这一上这是一阶系统单位阶跃响应曲线的一个特点。根据这一点，可以在参数未知的情况下，由一阶系统的单位阶跃响应点，可以在参数未知的情况下，由一阶系统的单位阶跃响应实验曲线来确定其时间常数实验曲线来确定其时间常数 。下面分析。下面分析 对系统的影对系统的影响。响。 图（3.3） 一阶系统的单位阶跃响应曲线TT26 3.3 3.3 一阶系统一阶系统时间响应时间响应一阶系统的时间常数一阶系统的时间常数n（1 1）时间常数）时间常数 时间常数时间常数 越小，越小， 上升速度越快，达到稳定值用上升速度越快，达到稳定值用的时间就越短，也就是系统惯性越小，反之，系统对信号的的时间就越
26、短，也就是系统惯性越小，反之，系统对信号的响应越缓慢，惯性越大。所以响应越缓慢，惯性越大。所以 的大小反映了一阶系统惯的大小反映了一阶系统惯性的大小。性的大小。n（2 2）调整时间）调整时间 从响应开始到进入稳态所经过的时间叫做调整时间（或过从响应开始到进入稳态所经过的时间叫做调整时间（或过渡时间）。渡时间）。 通常希望响应速度越快越好，调整构成系统的元件参数，通常希望响应速度越快越好，调整构成系统的元件参数，减小减小 值，可以提高系统的快速性。值，可以提高系统的快速性。 TT)(0txT27 3.3 3.3 一阶系统一阶系统时间响应时间响应u一阶系统输入信号为单位脉冲信号一阶系统输入信号为单
27、位脉冲信号 时，输入信号的时，输入信号的拉氏变换为：拉氏变换为： 单位脉冲响应为：单位脉冲响应为： 则，单位脉冲响应函数则，单位脉冲响应函数 等于其传递函数的拉氏变换等于其传递函数的拉氏变换 （3.20)3.20) 一阶系统的单位脉冲响应一阶系统的单位脉冲响应)(t) 0( ,1)1/(1 )()()(/111teTTsLsGLsWLtTt1)()(tLsXi)()()()()(0sGsXsGsXsWi( ) t28 3.3 3.3 一阶系统一阶系统时间响应时间响应一阶系统的单位脉冲响应曲线一阶系统的单位脉冲响应曲线u单位脉冲响应函数曲线如图单位脉冲响应函数曲线如图3.43.4所示，从图中可知
28、一阶系所示，从图中可知一阶系统的单位脉冲响应函数是一单调下降的指数曲线，而且统的单位脉冲响应函数是一单调下降的指数曲线，而且 只有瞬态项只有瞬态项 ，其稳态项为零。，其稳态项为零。 TteT/1)(t图（3.4） 一阶系统的单位脉冲响应曲线29 3.3 3.3 一阶系统一阶系统时间响应时间响应例：某一阶系统如图例：某一阶系统如图, ,（1 1）求调节时间）求调节时间tsts, ,（2 2）若要求）若要求tsts=0.1s,=0.1s,求反馈系数求反馈系数 KhKh . . 例题例题0.1C(s)R(s)E(s)100/s(- -)解解: : (1)(1) 与标准形式对比得：与标准形式对比得：T
29、=1/10=0.1T=1/10=0.1，tsts=3T=0.3s=3T=0.3s 10/110101001 . 0)/100(1/100)()(1)()(sssssHsGsGs 30 3.3 3.3 一阶系统一阶系统时间响应时间响应例题例题(2)(2) 要求要求tsts=0.1s=0.1s，即即3T=0.1s, 3T=0.1s, 即即 , , 得解。得解。 解题关键：解题关键：化闭环传递函数为标准形式。化闭环传递函数为标准形式。hhhKsKsKss100/1/1/1001/100)( 31 . 01001 hK3 . 0hK31 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统二阶系统
30、 由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。由二阶微分方程描述的系统，称为二阶系统。工程实践中，虽然控制系统多为高阶系统，但在一工程实践中，虽然控制系统多为高阶系统，但在一定准确度条件下，可忽略某些次要因素近似的用一定准确度条件下，可忽略某些次要因素近似的用一个二阶系统来表示。因此，详细讨论和分析二阶系个二阶系统来表示。因此，详细讨论和分析二阶系统的特性，具有重要的意义。统的特性，具有重要的意义。32 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应 二阶系统的动力学方程及传递函数分别为：二阶系统的动力学方程及传递函数分别为： (3.21) (3.22) 式中，式中， 称为无阻尼固有频率；称为无
31、阻尼固有频率； 称为系统的阻尼比。称为系统的阻尼比。不同系统的不同系统的 和和 值，取决于各系统的元件参数。值，取决于各系统的元件参数。显然，显然， 和和 是二阶系统的特征参数，它们表明了二阶系是二阶系统的特征参数，它们表明了二阶系统本身与外界无关的性。统本身与外界无关的性。 222220022nnnioinonnsssXsXsGtxtxtxtx二阶系统的数学模型二阶系统的数学模型nnn33 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的特征方程二阶系统的特征方程 系统的特征方程为：系统的特征方程为： 从而解得特征根（闭环极点）为：从而解得特征根（闭环极点）为： 则从传递函数的角度
32、来看，方程的特征根就是传递函数的两个极点。并且随着阻尼比 取值的不同，二阶系统的特征根也不同。 0222nnss122 , 1nns 系统的特征方程为：系统的特征方程为： 从而解得特征根（闭环极点）为：从而解得特征根（闭环极点）为： 则从传递函数的角度来看，方程的特征根就是传递函数则从传递函数的角度来看，方程的特征根就是传递函数的两个极点。并且随着阻尼比取值的不同，二阶系统的的两个极点。并且随着阻尼比取值的不同，二阶系统的特征根也不同特征根也不同。34 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的特征方程二阶系统的特征方程图图二二阶阶系系统统极极点点分分布布左左半半平平面面001
33、=1两两个个相相等等根根jn=0d=njn=0 j右右半半平平面面1两两个个不不等等根根035 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应阻尼系统阻尼系统l（1 1）当）当 时，称为欠阻尼状态，方程有一时，称为欠阻尼状态，方程有一对实部为负的共轭复根，对实部为负的共轭复根， 此时，二阶系统的传递函数的极点是一对位于复平此时，二阶系统的传递函数的极点是一对位于复平面面ss左平面内的共轭复数极点。如图左平面内的共轭复数极点。如图3.53.5（a a）所示。）所示。这时，系统称为欠阻尼系统。这时，系统称为欠阻尼系统。l（2 2）当）当 时，称为临界阻尼状态。系统有时，称为临界阻尼状态。系统有一
34、对相等的负实根，一对相等的负实根， ，如图，如图3.53.5（b b）所示，这时，系统称为临界阻尼系统。）所示，这时，系统称为临界阻尼系统。ns2,110122 , 11nnjs36 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应l（3 3）当）当 时，称为过阻尼状态，系统有两时，称为过阻尼状态，系统有两个不等的负实根，即个不等的负实根，即 （3.24) (3.25) 如图如图3.53.5（c c）所示，这时，系统称为过阻尼系统。）所示，这时，系统称为过阻尼系统。122 , 1nns过阻尼系统过阻尼系统22 , 11nnjsns2,11137 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应
35、无阻尼系统无阻尼系统l（4 4）当）当 时时, ,称为零阻尼状态称为零阻尼状态. .系统有一对纯虚系统有一对纯虚根，根， 如图如图3.53.5（d d）所示，这时，系统称为无阻尼系统。）所示，这时，系统称为无阻尼系统。图3.5 复平面上二阶系统特征根分布038 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应l 下面分别讨论二阶系统不同阻尼比时的单位阶跃响应。下面分别讨论二阶系统不同阻尼比时的单位阶跃响应。单位单位 阶跃输入信号的拉氏变为阶跃输入信号的拉氏变为 ，二阶系统，二阶系统单位阶跃的拉氏变换为：单位阶跃的拉氏变换为：l （1 1）当）当 时，
36、称为欠阻尼状态，方程有一对时，称为欠阻尼状态，方程有一对实部为负的共轭复根，实部为负的共轭复根， 式中，式中， 称为有阻尼固有频率。取拉氏变称为有阻尼固有频率。取拉氏变换得到的换得到的 222222212nndnodnnndndsXsss ssss 21dn ssssXsGsXnnni122220ssXi/1)(1039 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应l 下面分别讨论二阶系统不同阻尼比时的单位阶跃响应。下面分别讨论二阶系统不同阻尼比时的单位阶跃响应。单位单位 阶跃输入信号的拉氏变为阶跃输入信号的拉氏变为 ，二阶系统，二阶系统单位阶跃
37、的拉氏变换为：单位阶跃的拉氏变换为：l （1 1）当）当 时，称为欠阻尼状态，方程有一对时，称为欠阻尼状态，方程有一对实部为负的共轭复根，实部为负的共轭复根， 式中，式中， 称为有阻尼固有频率。取拉氏变称为有阻尼固有频率。取拉氏变换得到的换得到的 222222212nndnodnnndndsXsss ssss 21dn ssssXsGsXnnni122220ssXi/1)(1040 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应 时间响应为：时间响应为： (3.27)式中，式中， 。上式中第一项是稳态项，第。上式中第一项是稳态项，第二项瞬态项是随时
38、间二项瞬态项是随时间 t t而衰减的正弦振荡函数。振而衰减的正弦振荡函数。振荡频率为荡频率为 ，振幅的衰减速度取决于系统的时间，振幅的衰减速度取决于系统的时间衰减常数衰减常数 。d1n 21sin,01ntodexttt 21arctg41 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应l（2 2）临界阻尼情况（）临界阻尼情况（ ） 系统有两个相等的负实根，这时系统有两个相等的负实根，这时 取拉氏反变换得到的时间响应：取拉氏反变换得到的时间响应： （3.28） 11ntonx te 1 2222221112nnnonnnnnX sss ss sss
39、 ss 42 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应l（3 3）过阻尼情况（）过阻尼情况（ ） 系统有两个不等的负实数特征根，见式（系统有两个不等的负实数特征根，见式（3.253.25）。这）。这时传递函数可以写成：时传递函数可以写成： 取拉氏反变换得到的时间响应取拉氏反变换得到的时间响应： 从式（从式（3.293.29）看出，两个指数正是系统的两个极）看出，两个指数正是系统的两个极点点 ， 与与 的乘积。从的乘积。从s s平面看，愈靠近虚轴的根，平面看，愈靠近虚轴的根，过渡时间愈长，对过程的影响愈大，愈起主导作用。过渡时间愈长，对过程的影
40、响愈大，愈起主导作用。t2s1s 1222212121ttssnoeextss1 22112121211nOssXss sssssssssss43 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位阶跃响应二阶系统的单位阶跃响应l（4 4）如果）如果 ，代入式（，代入式（3.263.26）中，并取拉氏反）中，并取拉氏反变换，便可得零阻尼情况下的响应，即：变换，便可得零阻尼情况下的响应，即： （3.30） 此时，系统的响应变成无阻尼的等幅振荡。此时，系统的响应变成无阻尼的等幅振荡。 式（式（3.273.27） 式（式（3.303.30）所描述的单位阶跃响应曲线如图）所描述的单位阶跃响
41、应曲线如图3.63.6所示。由图可知所示。由图可知, ,当当 时，二阶系统的单位阶跃响应随着阻尼比的减时，二阶系统的单位阶跃响应随着阻尼比的减小，其振荡特性愈剧烈，但仍为衰减；小，其振荡特性愈剧烈，但仍为衰减；当当 时，达到等幅振荡时，达到等幅振荡；当当 时，曲线单调上升，不再具有振荡的特点。时，曲线单调上升，不再具有振荡的特点。 从瞬态响应的持续时间上看，无振荡的曲线中从瞬态响应的持续时间上看，无振荡的曲线中, , 时比时比 时时的持续时间短，而的持续时间短，而 比比 的情况更早结束瞬态过程的情况更早结束瞬态过程。111101100 1cos,0ooxttt 44 3.4 3.4 二阶系统二
42、阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位阶跃响应曲线二阶系统的单位阶跃响应曲线图3.6 二阶系统的单位阶跃响应曲线0123456789101112 nt c(t)0.20.40.60.81.01.21.41.61.82.0=00.10.20.30.40.50.60.70.81.02.045 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应 当输入信号当输入信号 为单位脉冲信号时为单位脉冲信号时 ，二阶系统的单位脉冲响应为：二阶系统的单位脉冲响应为： 取其拉氏反变换取其拉氏反变换, ,得到二阶系统在单位脉冲信号作用下得到二阶系统在单位脉冲信号作用下的时间响
43、应。的时间响应。 （1 1） 欠阻尼情况（欠阻尼情况（ ） 21222sin,021ntnnodnnxtLet tss011iXs ixt2222nOnnXsss46 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应 （2 2）临界阻尼情况（）临界阻尼情况（ ） （3.33） （3 3）过阻尼情况（）过阻尼情况（ ） (3.34) (3.34) 1221212,021sts tnnox tLeetssss1 2122,0ntnonnxtLtets147 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应 （4
44、 4）零阻尼情况（）零阻尼情况（ ） （3.24） 按不同的按不同的 值可求出一簇相应的单位脉冲响应函值可求出一簇相应的单位脉冲响应函数的曲线（如图数的曲线（如图3.73.7所示）。由图可知，在所示）。由图可知，在 时，单位脉冲响应函数总是正值，至少为零；在时，单位脉冲响应函数总是正值，至少为零；在 时，单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，且时，单位脉冲响应曲线是减幅的正弦振荡曲线，且 愈小，衰减愈慢，振荡频率愈小，衰减愈慢，振荡频率 愈大，故欠阻尼系统愈大，故欠阻尼系统又称二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于又称二阶振荡系统，其幅值衰减的快慢取决于 。 dn110 2122sin,0non
45、nnxtLtts48 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位脉冲响应二阶系统的单位脉冲响应 通过二阶系统对上述两种典型信号的响应分析可知，通过二阶系统对上述两种典型信号的响应分析可知，它们所显示的规律是一致的，这是二阶系统本身的特点。它们所显示的规律是一致的，这是二阶系统本身的特点。系统的特征性完全取决于系统的结构参数。如果已知二系统的特征性完全取决于系统的结构参数。如果已知二阶系统的参数阶系统的参数 和和 ，则完全可以由系统极点的分布来，则完全可以由系统极点的分布来预见系统的响应情况。选择参数预见系统的响应情况。选择参数 和和 时究竟应考虑时究竟应考虑哪些性能指标的要
46、求，将在下一节详细讨论。哪些性能指标的要求，将在下一节详细讨论。 nn49 3.4 3.4 二阶系统二阶系统时间响应时间响应二阶系统的单位脉冲响应曲线二阶系统的单位脉冲响应曲线图3.7 二阶系统的单位脉冲响应曲线50 3.5 3.5 高阶系统高阶系统时间响应时间响应高阶系统高阶系统u用三阶或三阶以上的微分方程描述的系统叫做高阶用三阶或三阶以上的微分方程描述的系统叫做高阶系统。实际上，大量的系统，特别是机械系统，几系统。实际上，大量的系统，特别是机械系统，几乎都可用高阶微分方程来描述。对高阶系统的研究乎都可用高阶微分方程来描述。对高阶系统的研究和分析，一般是比较复杂的。这就要求在分析高阶和分析，
47、一般是比较复杂的。这就要求在分析高阶系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题系统时，要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化，从前述可知，高阶系统总可化为零阶、一阶简化，从前述可知，高阶系统总可化为零阶、一阶与二阶环节的组合，并且也可包含延时环节，而一与二阶环节的组合，并且也可包含延时环节，而一般所关注的往往是高阶系统中的二阶振荡环节的特般所关注的往往是高阶系统中的二阶振荡环节的特征。因此，本节将着重阐明高阶系统过渡过程的主征。因此，本节将着重阐明高阶系统过渡过程的主导极点的概念，并利用这一概念，将高阶系统简化导极点的概念，并利用这一概念，将高阶系统简化为二阶振荡系统，在此基础上利用关于二
48、阶系统的为二阶振荡系统，在此基础上利用关于二阶系统的一些结论对高阶系统作近似分析。一些结论对高阶系统作近似分析。51 3.5 3.5 高阶系统高阶系统时间响应时间响应高阶系统的时间响应分析高阶系统的时间响应分析u用设高阶系统动力学方程的一般表达形式（此处未计入用设高阶系统动力学方程的一般表达形式（此处未计入延时环节）为：延时环节）为： （3.35） u在零初态时，对上式取拉氏变换得到系统的传递函数在零初态时，对上式取拉氏变换得到系统的传递函数： （3.36） u系统的特征方程式为系统的特征方程式为：00111asasasannnn mntxbtxbtxbtxbtxatxatxatxaiimim
49、mimnnnn011100011010 mnasasasabsbsbsbsXsXsGnnnnmmmmi01110111052 3.5 3.5 高阶系统高阶系统时间响应时间响应高阶系统的时间响应分析高阶系统的时间响应分析u用特征方程有有用特征方程有有n n个特征根，设其中个特征根，设其中n1n1个为实数根，个为实数根，n2n2对为共轭虚根，应有：对为共轭虚根，应有：n= n1 +2 n2n= n1 +2 n2，由此，特征方程可，由此，特征方程可以分解为以分解为n1n1个一次因式个一次因式 及及n2n2个二次因子个二次因子 的乘积。也即系统的传递函数有的乘积。也即系统的传递函数有 个实极点和个实极
50、点和 对共轭复数极点对共轭复数极点。1, 2 , 1njpsj222, 2 , 1,2nkssnknkk1n2n53 3.5 3.5 高阶系统高阶系统时间响应时间响应高阶系统的单位阶跃响应高阶系统的单位阶跃响应u设系统传递函数的设系统传递函数的m m个零点为个零点为-zi(i-zi(i=1,2,m),=1,2,m),则系统则系统的传递函数可写为：的传递函数可写为： （3.37）u则系统在单位阶跃输入信号的作用下，输出为则系统在单位阶跃输入信号的作用下，输出为 （3.38） 12112212njnknknkkjmiisspszsKsG 121122102njnknknkkjmiisspsszsK
