1、2021年高考理数真题试卷（全国甲卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.设集合M=x|0x4，N=x| x5，则MN=（ ） A.x|0x B.x| x4C.x|4x5D.x|0x52.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（ ）A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超过
2、6.5万元3.已知 ，则z=（ ） A.-1- iB.-1+ iC.- +iD.- -i4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量，通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记数法的数据V满足L=5+lgV。已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记数法的数据约为（ ）（ 1.259） A.1.5B.1.2C.0.8D.0.65.已知F1 ， F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且F1PF2=60，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ） A.B.C.D.6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E,F,G.该正方体截去
3、三棱锥A-EFG后，所得多面体的三视图中，正试图如右图所示，则相应的侧视图是（ ） A.B.C.D.7.等比数列an的公比为q，前n项和为Sn ， 设甲：q0，乙:Sn是递増数列，则（ ） A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m）,三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一.右图是三角高程测量法的一个示意图，现有以A，B，C三点，且A，B,C在同一水平而上的投影A,B，C满足 .由c点测得B点的仰角为15，曲， 与 的差
4、为100 :由B点测得A点的仰角为45，则A,C两点到水平面 的高度差 约为（ ） A.346B.373C.446D.4739.若 , ，则 （ ） A.B.C.D.10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0 不相邻的概率为（ ） A.B.C.D.11.已知A,B,C是半径为1的求O的球面上的三个点，且ACBC,AC=BC=1，则三棱锥O-ABC的体积为（ ） A.B.C.D.12.设函数f(x)的定义域为R ， f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当 时， .若 ,则 （ ） A.B.C.D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）13.曲线 在点（-1
5、，-3）处的切线方程为_。 14.已知向量a=(3,1)，b=(1,0)， ，若ac，则k=_。 15.已知F1 ， F2为椭圆C： 的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点堆成的两点，且 ，则四边形PF1QF2的面积为_。 16.已知函数 的部分图像如图所示，则满足条件 的最小正整数x为_。 三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）17. 甲、乙两台机床生产同种产品,产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质
6、量情况统计如下表： 一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少？ （2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异? 附： 18.已知数列an的各项均为正数，记Sn为an的前n项和，从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立. 数列an是等差数列：数列 是等差数列；a2=3a1注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.19.已知直三棱柱ABC-A1B1C1.中，侧面AA1B1B为正方形，AB= BC = 2，E，F分别为AC和CC1的中点，D为棱A1B1上的点，BF丄A1B
7、1. （1） 证明：BFDE； （2）当为B1D何值时，面BB1C1C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？ 20.抛物线C的顶点为坐标原点O,焦点在x轴上，直线L：x = 1交C于P，Q两点，且OP丄OQ.已知点M（2,0）,且 M与L相切， （1）求 M的方程； （2）设A1,A2,A3,是C上的三个点,直线A1 A2 ， A1 A3均与 M相切，判断A2A3与 M的位置关系，并说明理由. 21.己知a0且a1，函数f（x）= （x0）， （1）当a=2时，求f（x）的单调区间； （2）若曲线y= f（x）与直线y=1有且仅有两个交点，求a的取值范围. 四、选修4一4：坐标系与参数方程（共1
8、题；共10分）22.在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 =2 cos. （1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）设点A的直角坐标为（1,0）,M为C上的动点，点P满足 = ,写出 P的轨迹C1的参数方程，并判断C与C1是否有公共点. 五、选修4一5：不等式选讲（共1题；共10分）23.已知函数f（x）=|x-2|， g（x） =|2x + 3|-|2x-1|. （1）画出f（x）和y=g（x）的图像； （2）若f（x+a）g（x）,求a的取值范围. 答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选
9、项中，只有一项是符合题目要求的。1.【解析】【解答】解：MN即求集合M,N的公共元素，所以MN=x|x4， 故答案为：B 【分析】根据交集的定义求解即可.2.【解析】【解答】解：对于A，由频率分布直方图得 对于B，由频率分布直方图得 对于D，由频率分布直方图得 故不正确的是C 故答案为：C 【分析】根据频率分布直方图直接求解即可.3.【解析】【解答】解： 故答案为：B 【分析】根据复数的运算法则直接求解即可.4.【解析】【解答】解：由题意得，将L=4.9代入l=5+lgV，得lgV=-0.1=， 所以 故答案为：C 【分析】根据对数的运算法则，结合对数式与指数式的互化求解即可.5.【解析】【解
10、答】解：由 |PF1|=3|PF2| ， |PF1|-|PF2|=2a得 |PF1|=3a，|PF2|=a 在F1PF2中，由|F1F2|2= |PF1|2+|PF2|2-2|PF1|PF2|cosF1PF2 得(2c)2=(3a)2+a2-23aacos60 解得 所以 故答案为：A 【分析】根据双曲线的定义，结合余弦定理以及离心率公式直接求解即可.6.【解析】【解答】解：由题意得正方体如图所示， 则侧视图是 故答案为：D 【分析】根据三视图的画法求解即可.7.【解析】【解答】解：当a1=-1，q=2时，Sn是递减数列，所以甲不是乙的充分条件； 当Sn是递增数列时，an+1=Sn+1-Sn0
11、，即a1qn0，则q0，所以甲是乙的必要条件； 所以甲是乙的必要条件但不是充分条件. 故答案为：B 【分析】根据充要条件的判定，结合等比数列的性质求解即可.8.【解析】【解答】解：如图，过C作BB的垂线交BB于点M，过B作AA的垂线交AA于点N， 设BC=CM=m，AB=BN=n， 在ABC中，由正弦定理得， 在BCM中，由正弦定理得， 则， 解得， 得A,C两点到水平面ABC的高度差AA-CC273+100=373. 故答案为：B 【分析】根据正弦定理求解即可.9.【解析】【解答】解：由题意得 ， 则， 解得sin=， 又因为 , 所以 所以 故答案为：A 【分析】根据二倍角公式，结合同角三
12、角函数基本关系求解即可.10.【解析】【解答】解： 将4个1和2个0随机排成一行 共有种排法， 先将4个1全排列，再用插空法将2个0插入进行排列，共有种排法， 则所求概率为 故答案为：C 【分析】根据古典概型，结合插空法求解即可.11.【解析】【解答】解：记ABC的外接圆圆心为O1 ， 由ACBC，AC=BC=1知O1为AB的中点，且， 又球的半径为1，所以OA=OB=OC=1，所以OA2+OB2=AB2 ， ， 则OO12+O1C2=OC2 则OO1O1C，OO1AB， 所以OO1平面ABC， 所以 故答案为：A 【分析】根据直角三角形的几何性质，结合三棱锥的外接球的性质，运用三棱锥的体积公
13、式直接求解即可.12.【解析】【解答】解：因为f(x+1)是奇函数，所以f(1)=0，即a+b=0，则b=-a， 又f(0)=f(-1+1)=f(-1+2)=f(1)=0， 由f(0)+f(3)=6得a=-2， 所以 故答案为：D 【分析】根据函数的奇偶性，利用函数的性质求解即可.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.【解析】【解答】解：由题意得， 所以在点（-1，-3）处的切线斜率k=5，故切线方程为y+3=5(x+1)，即5x-y+2=0 故答案为：5x-y+2=0 【分析】根据导数的几何意义，结合直线的点斜式方程求解即可.14.【解析】【解答】解：， 由得， 解得 故答案
14、为： 【分析】根据向量的坐标运算，结合向量垂直的判断条件求解即可.15.【解析】【解答】解：由|PQ|=|F1F2|，得|OP|=|F1F2|，所以PF1PF2 ， 所以 故答案为：8 【分析】根据椭圆的定义及直角三角形的性质，结合三角形的面积公式求解即可16.【解析】【解答】解：由得T=，=2 将点代入， 得 则， 所以 所以 等价于 则或 由图象得最小整数， 所以x=2 故答案为：2 【分析】根据余弦函数的图象与性质求解即可.三、解答題：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。17.【解析】【
15、分析】（1）根据频率=频数/总体直接求解即可； （2）根据独立性检验的方法直接求解即可.18.【解析】【分析】选(1)(2)做条件时，证明 ：根据等差数列的定义得出 ，且 也是等差数列 ， 进一步递推出 ； 若选 作条件证明： 由 ，显然 再写出前n项的和与a1,n的关系式 ，进而证明 是等差数列.； 选作条件证明： 先设 ， 进一步形为 ， 再根据 an与sn的关系，分为，n1，推导出 ,显然 为等差数列 。19.【解析】【分析】（）根据条件，先证明 两两垂直 ，再建立如图所示空间直角坐标系，定义相关点的坐标，用空间向量证明 （）先设 设出平面 平面 的法向量及 平面 的法向量 ，分别求出二
16、法向量，再由向量的夹角公式，得到夹角余弦值，当其值最大时正弦值最小，确定此时的值即为B1D的值。20.【解析】【分析】（1） 先设抛物线的方程 由对称性，可知 ， 进而由可以很容易求出抛物线的P值，进而写出抛物线的方程； 由于圆M的圆心已知,且与x=1相切，立刻知道半径，故很容易求得M的方程； （）先设出三点的坐标，分斜率不存在及 直线 斜率均存在讨论， 分别写出相应的直线方程，根据相关直线与圆相切的条件，分别代入抛物线方程，利用达定理，点到直线距离公式等知识，推导结论。21.【解析】【分析】（1）当时，函数 用导数研究其单调性； （）首先将问题转化为方程有两个解的问题，进一步转化为函数与函数有两听问题，然后利用导数研究相关函数的单调性及函数的最大值，进而得到结果。四、选修4一4：坐标系与参数方程22.【解析】【分析】（）先将 两边平方 可得 ，然后用 替换即可得到C的直角坐标方程； （）先 设 及M 再由，建立，与的关系式，此即点P的轨迹C1的参数方程，进一步化成直角方程（圆），最后根据两圆圆心距，判断位置关系。 五、选修4一5：不等式选讲23.【解析】【分析】（）先去绝对值将二函数解析式写成分段函数物形式，然后分段作图； （）将上面两个函数图象画在同一个直角坐标系内，（注意f（x+a）与f（x）图象的关系），由 f（x+a）g（x）, 确定a的取值范围。
