1、2021年高考理数真题试卷（全国乙卷）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（共12题；共60分）1.设2（z+ ）+3(z- )=4+6i，则z=（ ）. A.1-2iB.1+2iC.1+iD.1-i2.已知集合S=s|s=2n+1，nZ，T=t|t=4n+1，nZ，则ST=（ ） A.B.SC.TD.Z3.已知命题p： xR，sinx1；命题q： xR， e|x|1，则下列命题中为真命题的是（ ） A.p qB.p qC.p qD.(pVq)4.设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ） A.f(x-1)-1B.f(x
2、-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+15.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ） A.B.C.D.6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ） A.60种B.120种C.240种D.480种7.把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数y=sin(x- )的图像，则f(x)=（ ） A.sin( )B.sin( )C.sin( )D.sin( )8
3、.在区间（0，1）与（1，2）中各随机取1个数，则两数之和大于 的概率为（ ） A.B.C.D.9.魏晋时期刘徽撰写的海岛算经是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海盗的高。如图，点E，H，G在水平线AC上，DE和FG是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，EG称为“表距”，GC和EH都称为“表目距”，GC与EH的差称为“表目距的差”。则海岛的高AB=（ ）. A.B.C.D.10.设a0，若x=a为函数 的极大值点，则（ ） A.abB.abC.aba2D.aba211.设B是椭圆C： （ab0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足 ，则C的离心率的取值范围是（ ） A.B.C
4、.D.12.设 ， ， ，则（ ） A.abcB.bcaC.bacD.cab二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。（共4题；共20分）13.已知双曲线C： （m0）的一条渐近线为 +my=0，则C的焦距为_. 14.已知向量 =（1，3），b=（3，4），若（ - ） ， 则=_。 15.记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为 ，B=60，a2+c2=3ac，则b=_. 16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）. 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或
5、演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（共5题；共60分）17.某厂研究了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下： 旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为 和 ，样本方差分别记为s12和s22（1）求 ， ， s12 ， s22； （2）判断新设备生产产品的该项
6、指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果 - ，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）. 18.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PD底面ABCD，PD=DC=1，M为BC的中点，且PBAM， （1）求BC； （2）求二面角A-PM-B的正弦值。 19.记Sn为数列an的前n项和，bn为数列Sn的前n项和，已知 =2. （1）证明：数列bn是等差数列； （2）求an的通项公式. 20.设函数f（x）=ln（a-x），已知x=0是函数y=xf（x）的极值点。 （1）求a； （2）设函数g（x）= ，证明：g（x）1. 21.己知抛物线C：x2=2py（p
7、0）的焦点为F，且F与圆M：x2+（y+4）2=1上点的距离的最小值为4. （1）求p； （2）若点P在M上，PA，PB是C的两条切线，A，B是切点，求 PAB的最大值. 四、选修4一4：坐标系与参数方程（共1题；共10分）22.在直角坐标系xOy中， C的圆心为C（2，1），半径为1. （1）写出 C的一个参数方程； （2）过点F（4，1）作 C的两条切线， 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条直线的极坐标方程. 五、选修4一5：不等式选讲（共1题；共10分）23.已知函数f（x）=|x-a|+|x+3|. （1）当a=1时，求不等式f（x）6的解集； （2）若f（x）-
8、a，求a的取值范围. 答案解析部分一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.【解析】【解答】设所以a=b=1，所以z1+i。 故答案为：C 【分析】先设z的代数式，代入运算后由复数相等的条件，即可求得结果。2.【解析】【解答】当n=2k时，S=s|s=4k+1, 当n=2k+1 时,S=s|s=4k+3, 所以S,所以, 故答案为：C. 【分析】分n的奇偶讨论集合S。3.【解析】【解答】因为命题P是真命题，命题 q也是真命题， 故答案为：A 【分析】先判断命题p，q的真假，然后判断选项的真假。4.【解析】【解答】因为 f(x)=
9、， 所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件， 故答案为：B。 【分析】将 函数变形为f(x)=后，判断。5.【解析】【解答】如图，连接AC，设AC与BD交于O，连接OD1,AD1,BP,设正方体的棱长为x， 因为D1P|OB|BD,且D1P=BO=BD,所以四边形OD1PB是平行四边形，所以BP|OD1,所以 即为所求的角，易证平面BDD1B1,故OD1, 又,所以. 故答案为：D 【分析】在正方体中，作辅助线，通过平移线，作出所要求的角。6.【解析】【解答】由题意知，必须有2个人一组，其他
10、各组只有1个人，所以分配方法是：， 故答案为：C. 【分析】利用排列与组合来求解。7.【解析】【解答】根据图象平移的规律可知，将y= y=sin(x- )的图像 上所有的点向左平移平移个单位，纵坐标不变，得到再把所得到的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍，即函数的周期变原来的2倍，就得到函数y=， 故答案为：B。 【分析】根据三角函数图象的相位，周期变化规律来解题。8.【解析】【解答】不妨设这两个数为a,b且 0a1, 1b 的a,b取值的可行域如图中阴影部分表示， 直线a+b 与正方形的两个交点分别为,则可计算事件(a+bR人svyf概率为P, 故选B。 【分析】利用几何概型解答。9.【解
11、析】【解答】如图，连接DF,直线DF交AB于M， 则ABAM+BM,设则 因为,所以所以 故答案为：A. 【分析】通过作辅助线，(如图)，然后利用解直角形的知识来解答。10.【解析】【解答】当a0时，若a为极大值点，则(如图1)，必有ab,aba2.故B,C项错； 当aba2,故A错。 故答案为：D. 【分析】对a的正负进行讨论，根据极值点的意义，作图分析，得到正确选项。11.【解析】【解答】依题意，点B(0,b),设P(x0,y0),则有 移项并用十字相乘法得到： 因为恒成立，即恒 成立， 据此解得， 故答案为：C。 【分析】由两点间的距离公式，表示出|PB|2 ， 再根据椭圆上任意点的纵坐标y0的取值范围，解相关不等式得到结果。12.【解析】【解答】构造函数f(x)=ln(1+x)-， 则b-c=f(0.02)，则当x0时，, 所以f/(x)0,所以f(x)在单调递减，所以f(0.02)f(0),即b-c0,所以bc; 再构造函数则而, 当 所以所以g(x)在（0，2）上单调递增，所以所以bc-a，而由绝对值的几何意义，即求x到a和-3距离的最小值.
