1、12本章内容本章内容1.1 矢量代数矢量代数1.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系1.3 标量场的梯度标量场的梯度1.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度1.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度1.6 无旋场与无散场无旋场与无散场1.7 拉普拉斯运算与格林定理拉普拉斯运算与格林定理1.8 亥姆霍兹定理亥姆霍兹定理31. 1. 标量和矢量标量和矢量矢量的大小或模矢量的大小或模：AA矢量的单位矢量矢量的单位矢量：标量标量：一个只用大小描述的物理量。一个只用大小描述的物理量。AAeA矢量的代数表示矢量的代数表示：AeAeAAA1.1 矢量代数矢量代数矢量矢量：一个既有大小又
2、有方向特性的物理量，常用黑体字一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字 母或带箭头的字母表示。母或带箭头的字母表示。 矢量的几何表示矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示一个矢量可用一条有方向的线段来表示 注意注意：单位矢量不一定是常矢量单位矢量不一定是常矢量A矢量的几何表示矢量的几何表示常矢量常矢量：大小和方向均不变的矢量。大小和方向均不变的矢量。 自由矢量自由矢量 4zzyyxxAeAeAeA矢量用坐标分量表示矢量用坐标分量表示zAxAAyAzxyO222xyzAAAAA模的计算模的计算单位矢量单位矢量|yxzAxyzAAAAeeeeAAAAcoscoscosxyzeee方
3、向角与方向余弦方向角与方向余弦,|cos,|cos,|cosAAAAAAzyx5位置矢量位置矢量(矢径矢径)xyzre xe ye z222rrxyz位矢位矢 的大小的大小( (模模) )为为r 起点在坐标原点，终点在点起点在坐标原点，终点在点M的矢量的矢量 为点为点M的位置矢量的位置矢量, ,简称简称位矢：位矢： 。 rr*Mxyzxzyoxeyezecoscoscosx ry rz r位矢位矢 的方向余弦的方向余弦rOM 直角坐标的表达式：直角坐标的表达式：6（1）矢量的加减法）矢量的加减法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 两矢量的加减在几何上是以这两矢量为两矢量的加减
4、在几何上是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线邻边的平行四边形的对角线, ,如图所示。如图所示。矢量的加减符合交换律和结合律矢量的加减符合交换律和结合律2. 矢量的代数运算矢量的代数运算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的减法矢量的减法BAABB 在直角坐标系中两矢量的加法和减法：在直角坐标系中两矢量的加法和减法：结合律结合律()()ABCABCABBA交换律交换律7（2 2）标量乘矢量）标量乘矢量（3）矢量的标积（点积）矢量的标积（点积）zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的标积符合交换律矢量的标积符合交换律1zzyyxxeeeeee0
5、xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 与与 的夹角的夹角ABA B A B 0BA/ A BAB8（4）矢量的矢积（叉积）矢量的矢积（叉积）sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 与与 的叉积的叉积AB用坐标分量表示为用坐标分量表示为写成行列式形式为写成行列式形式为BAABBA若若 ，则，则BA/0BA若若 ，则，则负交换率负交换率9（5 5）矢量的混合运算）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()
6、( 分配律分配律 分配律分配律 标量三重积标量三重积 矢量三重积矢量三重积101.2 三种常用的正交曲线坐标系三种常用的正交曲线坐标系 在电磁场与波理论中，在电磁场与波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：三种常用的正交曲线坐标系为：直角直角坐坐标系、圆柱坐标系和球坐标系标系、圆柱坐标系和球坐标系。 三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系正交曲线坐标系；三条正交曲线称为；三条正交曲线称为坐标轴坐标轴；描述坐标轴的量称；描述坐标轴的量称为为坐标变量坐标变量。 三维坐标系中一个坐标的等值曲面，称为该坐标的三维坐标系中一个
7、坐标的等值曲面，称为该坐标的坐标曲面坐标曲面；三维坐标系中两个坐标曲面的交集即为坐标曲线；三个坐标曲面三维坐标系中两个坐标曲面的交集即为坐标曲线；三个坐标曲面的交点确定三维空间点的坐标。的交点确定三维空间点的坐标。111. 直角坐标系直角坐标系zeyexerzyx位置矢量位置矢量面积元面积元线元矢量线元矢量ddddxyzrexeye zdd dxSy zdd dzSx y体积元体积元zyxVdddddd dySx z坐标变量坐标变量zyx,坐标单位矢量坐标单位矢量zyxeee, 点点P(x0,y0,z0)0yy（平面）（平面） o x y z0 xx（平面）（平面）0zz（平面（平面）P 直角
8、坐标系直角坐标系 xezeyex yz直角坐标系的长度元、面积元、体积元直角坐标系的长度元、面积元、体积元 odzd ydxdd dxSy zdd dzSx ydd dySx z坐标曲面坐标曲面000;xxyyzz坐标曲线上坐标曲线上xyz增大方向增大方向两两正交，满足右手螺两两正交，满足右手螺旋法则旋法则均为常矢量均为常矢量12矢量在直角坐标系中表达及运算矢量在直角坐标系中表达及运算xxyyzzAe Ae Ae A()()()xxxyyyzzzABeABeABeABxxyyzzA BA BA BA B zyxzyxzyxBBBAAAeeeBA132. 圆柱坐标系圆柱坐标系z,坐标变量坐标变量
9、,zee e 坐标单位矢量坐标单位矢量圆柱坐标系圆柱坐标系坐标曲面坐标曲面000;zz 分别指向各自坐标变量增大的方向分别指向各自坐标变量增大的方向 两两正交，满足右手螺旋法则两两正交，满足右手螺旋法则 不是常矢量不是常矢量,ee14圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系圆柱坐标系与直角坐标系之间的变换关系cossinxyzz22arctan( / )xyy xzzoxy单位圆单位圆 直角坐标系与柱坐标系之间直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系xeyeeecossinsincosxyxyeeeeee cossinsincosxyeeeeee坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢
10、量之间的关系l 和和 是随是随 变化的变化的eesincoscossinxyxyeeeeeeee 15zzAe Ae Ae A()()()zzzABeABeABeABzzA BA BA BA B zzzeeeA BAAABBB矢量在圆柱坐标系中的表示及运算矢量在圆柱坐标系中的表示及运算16dd ddd ddd dzSzSzS zeerz位置矢量位置矢量ddddzreee z 线元矢量线元矢量zVdddd体积元体积元面元矢量面元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系中的线元、面元和体积元173. 球坐标系球坐标系球坐标系球坐标系, r坐标变量坐标变量eeer,坐标单位矢量坐标单位矢量坐标
11、曲面坐标曲面000;rr 分别指向各自坐标变量增大的方向分别指向各自坐标变量增大的方向 两两正交，满足右手螺旋法则两两正交，满足右手螺旋法则 三个单位矢量均不是常矢量三个单位矢量均不是常矢量18球坐标系与直角坐标系之间的变换关系球坐标系与直角坐标系之间的变换关系sincossinsincosxryrzr222222arccos( /)arctan( / )rxyzzxyzy xsincossinsincoscoscoscossinsinsincosrxyzxyzxyeeeeeeeeeee 球坐标系与直角坐标系的坐标单位矢量之间的关系球坐标系与直角坐标系的坐标单位矢量之间的关系sincoscos
12、cossinsinsincossincoscossinxryrzreeeeeeeeeee19eezereeesin0cossincos0001oz单位圆单位圆 柱坐标系与求坐标系之间柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系坐标单位矢量的关系zeeree圆柱坐标系与球坐标系的坐标单位矢量之间的关系圆柱坐标系与球坐标系的坐标单位矢量之间的关系202dsin d drSr dsin d dSrrdd dSr r球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系中的线元、面元和体积元rerr位置矢量位置矢量dddsin drrere re r 线元矢量线元矢量dddsind2rrV 体积元体积元面元矢量面元矢量2
13、1rrAe Ae Ae A()()()rrrABe ABeABeABrrA BA BA BA B rrreeeA BAAABBB矢量在球坐标系中的表示及运算矢量在球坐标系中的表示及运算224. 坐标单位矢量之间的关系坐标单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标直角坐标与与圆柱坐标系圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标圆柱坐标与与球坐标系球坐标系直角坐标直角坐标与与球坐标系球坐标系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsincoscossin23 在正交曲线坐标系中，其坐标变量在正交曲线坐标
14、系中，其坐标变量 不一定都不一定都是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉是长度，其线元必然有一个修正系数，这些修正系数称为拉梅系数，若已知其拉梅系数梅系数，若已知其拉梅系数 ，就可正确写出其线元、，就可正确写出其线元、面元和体元。面元和体元。123( ,)u u u123,h h h体元：123123dd ddVh h h u uu123112233dddduuulh u eh u eh u e线元：112323ddduSh h uu e221313dd duSh hu u e331212dd duSh hu u e面元：正交曲线坐标系：正交曲线坐标系：24a. 在直角坐标系中，
15、在直角坐标系中，x,y,z 均为长度量，其拉梅系数均为均为长度量，其拉梅系数均为1， 即：即：1321hhh1231,1hhhb. 在柱坐标系中，坐标变量为在柱坐标系中，坐标变量为 , 其中其中 为角度，其对为角度，其对应的线元应的线元 ，可见拉梅系数为：，可见拉梅系数为：( , , ) z d e c.在球坐标系中，坐标变量为在球坐标系中，坐标变量为 ，其中，其中 均为均为 角度，其拉梅系数为：角度，其拉梅系数为：( , , )r , 1231,sinhhrhr注意：注意：25q 如果物理量是标量，称该场为如果物理量是标量，称该场为标量场标量场。 例如例如：温度场、电位场、高度场等。：温度场
16、、电位场、高度场等。q 如果物理量是矢量，称该场为如果物理量是矢量，称该场为矢量场矢量场。 例如例如：流速场、重力场、电场、磁场等。：流速场、重力场、电场、磁场等。q 如果场与时间无关，称为如果场与时间无关，称为静态场静态场，反之为，反之为时变场时变场。定义：定义：确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个在该区域上定义了一个场场。p 什么是场？什么是场？p 场有哪些性质？场有哪些性质？p 产生场的源是什么？产生场的源是什么？p 场的分布和变化用什么来描述？场的分布和变化用什么来描述？26q温度场温度场: : 标量场标量
17、场q流速场：矢量场流速场：矢量场27时变标量场和矢量场可分别表示为：时变标量场和矢量场可分别表示为： ( , , , )u x y z t 、( , , , )F x y z t从数学上看，场是定义在空间区域上的函数，即场是空间点从数学上看，场是定义在空间区域上的函数，即场是空间点M的的函数函数( , , )u x y z 、( , , )F x y z、静态标量场和矢量场可分别表示为：静态标量场和矢量场可分别表示为：直角坐标系下，直角坐标系下，(, )u M t 、(, )F M t()u M 、()F M矢量场的坐标分量表示（一个矢量场对应三个标量场）矢量场的坐标分量表示（一个矢量场对应三
18、个标量场）, , )( , , )( , , )( , , )xxyyzzF x y ze F x y ze F x y ze F x y z（注：注：场矢量场矢量与与位置矢量位置矢量的区别！的区别！ 场矢量分量与位置矢量分量的区别场矢量分量与位置矢量分量的区别 矢量与矢量场的不变特性矢量与矢量场的不变特性 标量函数和矢量函数其大小或方向与所选择的标量函数和矢量函数其大小或方向与所选择的坐标系无关坐标系无关( (t t 定定) ) 选择适当的坐标系选择适当的坐标系( , )()( )(cossin )(sin ) (sincos ) cos( , )xyF x yeye xeeeeeF 直角坐
19、标系圆柱坐标系291. 1. 标量场的等值面标量场的等值面等值面等值面: :三维标量场中取得三维标量场中取得同一数值同一数值的点在空间形成的曲面。的点在空间形成的曲面。等值线等值线：二维标量场中取得：二维标量场中取得同一数值同一数值的点在空间形成的曲线。的点在空间形成的曲线。Czyxu),(等值面方程等值面方程：1.3 标量场的梯度标量场的梯度( (Gradient of Scalar Field) )30 由隐函数存在定理知：函数由隐函数存在定理知：函数u u为单值，且连续偏导数为单值，且连续偏导数 不全为零时，等值面一定存在；不全为零时，等值面一定存在； 常数常数C C 取一系列不同的值，
20、就得到一系列不同的等值面，形取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；成等值面族； 标量场的等值面充满场所在的整个空间；标量场的等值面充满场所在的整个空间； 过空间任意一点有且仅有一个等值面通过，即互不相交。过空间任意一点有且仅有一个等值面通过，即互不相交。 等值面的特点等值面的特点：,xyzuuu31标量场的等值线标量场的等值线( (面面) )意义意义: : 形象直观地描述了物理量在空间的分布状态，如等温面形象直观地描述了物理量在空间的分布状态，如等温面(线线)、等高线等、等高线等注：是场的注：是场的整体分布现象整体分布现象32例：例：设在坐标原点置一电量为设在坐标原点置一电
21、量为q q的电荷，在空间形成电位场，电位的电荷，在空间形成电位场，电位满足标量函数满足标量函数 ，其中，其中r是空间点到电荷的距离，于是电位是空间点到电荷的距离，于是电位场的等值面就是电位相同的点所构成的曲面，由方程场的等值面就是电位相同的点所构成的曲面，由方程（C为常数不为零）为常数不为零）12,.C C4qur4quCr即是以原点为中心的球面，以不同常数值即是以原点为中心的球面，以不同常数值 就得到一就得到一族同心球面。族同心球面。332. 方向导数方向导数意义意义：方向导数表示场在：方向导数表示场在某点某点处沿处沿某方向某方向的的空间变化率空间变化率。0000()()|limlimMll
22、u Mu Muulll 概念概念： l0ul u(M)沿沿 方向增加；方向增加； l0ul u(M)沿沿 方向减小；方向减小； l0ul u(M)沿沿 方向无变化。方向无变化。 M0lMl方向导数的概念方向导数的概念 l特点特点：方向导数既与点：方向导数既与点M0有关，也与有关，也与 方向有关方向有关。34coscoscosuuuulxyz 的方向余弦。的方向余弦。 l式中式中： coscoscos、方向导数的计算公式方向导数的计算公式(直角坐标系直角坐标系)35例例1 1：求函数：求函数 在点在点 M(1,0,1) 处沿处沿的方向导数。的方向导数。222uxyz22xyzleee解解：222
23、uxxxyz222uyyxyz222uzzxyz在在M(1,0,1)处有处有12ux0uy12uz的方向余弦的方向余弦l122cos,cos,cos3331coscoscos2uuuulxyz36问题问题：在空间某点处，沿哪个：在空间某点处，沿哪个方向方向变化率最大、该变化率最大、该最大的变最大的变化率化率( (的值的值) )又是多少？又是多少？标量标量场中给定点对应场中给定点对应无穷无穷多个方向多个方向方向导数方向导数：函数：函数u(M) 在给定点处沿某个方向的变化率的问在给定点处沿某个方向的变化率的问题。题。37coscoscosuuuulxyz改写为两个矢量的点积形式改写为两个矢量的点积
24、形式 coscoscosxyzxyzuuuueeeeeelxyzcoscoscosxyzxyzuuuGeeexyzleee令令 lp矢量矢量 表示点表示点M处沿曲线处沿曲线l方向的单位矢量，仅仅与方向的单位矢量，仅仅与l的方向的方向有关，有关，与函数与函数u(M)无关无关；p矢量矢量 只与函数只与函数u(M)在点在点M处的三个偏导数有关，与曲线的处的三个偏导数有关，与曲线的方向无关，在给定点处为一方向无关，在给定点处为一固定矢量固定矢量； G38cos,uG lGG ll表明：表明： G在在l方向上的投影等于函数方向上的投影等于函数u在该方向上的方向导数在该方向上的方向导数 则则 当当 方向和
25、方向和 方向相同时，即方向相同时，即 ，方向导数取得，方向导数取得最大值，该最大值为最大值，该最大值为 ； 其他方向上，其他方向上， 。lGcos,1G lGuGl矢量矢量 的方向对应着函数的方向对应着函数u( (M) )变化率最大的方向！变化率最大的方向！矢量矢量 的模为这个最大变化率的值！的模为这个最大变化率的值！ GG这正是我们寻找的！这正是我们寻找的！ 39梯度的表达式梯度的表达式：1gradzuuuueeez圆柱坐标系圆柱坐标系 11gradsinruuuueeerrr球坐标系球坐标系gradxyzuuuueeexyz直角坐标系直角坐标系 3. 标量场的梯度标量场的梯度（ 或或 ）g
26、raduu意义意义：描述标量描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念概念： ，其中其中 取得最大值的方向取得最大值的方向maxgrad|luuelluel梯度的定义与坐标系的选择无关，它是由标量场的梯度的定义与坐标系的选择无关，它是由标量场的场分布所决定，但是它的表达形式与坐标系有关场分布所决定，但是它的表达形式与坐标系有关40附：附：哈密顿算子哈密顿算子 （矢性微分算子）（矢性微分算子）l 算子本身并无意义，而是一种微分运算符号，同时又被算子本身并无意义，而是一种微分运算符号，同时又被看做矢量，它在运算中具有看做矢量，它在运算中具有矢量矢量和和
27、微分微分双重性质；双重性质；l 算子不对位于它左边的物理量产生作用，而算子不对位于它左边的物理量产生作用，而必对必对它右边它右边的物理量产生作用；的物理量产生作用；xyzeeexyz 直角坐标系下直角坐标系下 梯度的表示梯度的表示：xyzuuuueeexyz直角坐标系下直角坐标系下 u41标量场的梯度是标量场的梯度是矢量矢量，它在空间某点，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。场的空间变化率。标量场在某个方向上的方向导数，是标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。
28、梯度在该方向上的投影。梯度的性质梯度的性质：标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面），且指标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面），且指向场值增加的方向向场值增加的方向luul 梯度场梯度场：标量场中每一点的梯度与场中点一一对应所形成的矢量场：标量场中每一点的梯度与场中点一一对应所形成的矢量场42 例例 三维高度场的梯度三维高度场的梯度 高度场的梯度与过该点的等高线垂高度场的梯度与过该点的等高线垂直，数值等于该点位移的最大变化率直，数值等于该点位移的最大变化率 指向地势升高的方向指向地势升高的方向 例例 电位场的梯度电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的等位线垂电位场的梯度与过该点的
29、等位线垂直，数值等于该点的最大方向导数直，数值等于该点的最大方向导数 指向电位增加的方向指向电位增加的方向43梯度运算的基本公式梯度运算的基本公式：20()()()1( )( )( ,)CCuCuuvuvuvuvvuuvuuvvvfufuufffu vuvuv 44 解解 (1)由梯度计算公式，可求得由梯度计算公式，可求得P点的梯度为点的梯度为PzyxPzyxzeyexe)(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.2.1 设一标量函数设一标量函数 (x,y,z) = x2y2z 描述了空间标量描述了空间标量场。试求：场。试求： (1) 该函数该函数 在点在点
30、P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。单位矢量。 (2) 求该函数求该函数 沿单位矢量沿单位矢量方向的方向导数，并以点方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。值作以比较，得出相应结论。ooo60cos45cos60coszyxleeee45表征其方向的单位矢量表征其方向的单位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿由方向导数与梯度之间的关系式可知，沿el方向的方
31、向方向的方向导数为导数为对于给定的对于给定的P P点，上述方向导数在该点取值为点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212 yx46而该点的梯度值为而该点的梯度值为 222(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 显然，梯度显然，梯度 描述了描述了P P点处标量函数点处标量函数 的最大变化率，的最大变化率，即最大的方向导数，故即最大的方向导数，故 恒成立。恒成立。PPPl 47例例：已知：已知证明：证明：31(1),(2),(3)( )( )RRRf Rf RRRR xyzeeexyz ()()(),xy
32、zRexxeyyezzRRxyzeeexyz ,x y z其中：其中： 表示对表示对x,y,z的运算，的运算， 表示对表示对 的运算，的运算，解：解： xyzRRRReeexyz(1)(1)222()()()()()()xyzexxeyyezzRRxxyyzz(2)(2)231RRRRR 48p 在电磁场中，通常以在电磁场中，通常以 表示场点的坐标，以表示场点的坐标，以 表表示源点的坐标，因此以上运算结果在电磁场中非常有用。示源点的坐标，因此以上运算结果在电磁场中非常有用。( , , )x y z( ,)x y z( )( )( )( )xyzf Rf Rf Rf Reeexyz(3)(3)x
33、yzdfRdfRdfReeedRxdRydRz同理同理dfdf RRdRdR R( )dff RRdR则则( )( )f Rf R 49 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个该区域上定义了一个场场。如果物理量为矢量，则该物理量所确。如果物理量为矢量，则该物理量所确定的场为定的场为矢量场矢量场。矢量场矢量场 矢量场中各点的场量是随空间位置变化的矢量，矢量场为矢量场中各点的场量是随空间位置变化的矢量，矢量场为空间坐标的函数。空间坐标的函数。矢量场的矢量函数表达矢量场的矢量函数表达( , , )( , , )( , ,
34、 )( , , )xxyyzzF x y ze F x y ze F x y ze F x y z( , , )FF x y z50n 矢量场的描述方式矢量场的描述方式n 矢量场性质矢量场性质n 产生矢量场的源？产生矢量场的源？研究内容：研究内容：散度和旋度：从散度和旋度：从点点的性质揭示矢量场的特性的性质揭示矢量场的特性散度和旋度的基础：通量和环流散度和旋度的基础：通量和环流511.4 矢量场的通量与散度矢量场的通量与散度 1. 矢量线矢量线 意义意义：形象直观地描述了矢量场的空间分形象直观地描述了矢量场的空间分 布状态。布状态。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢
35、量线方程矢量线方程：概念概念：矢量线是这样的曲线，其上每一矢量线是这样的曲线，其上每一 点的切线方向代表了该点矢量场点的切线方向代表了该点矢量场 的方向。的方向。矢量线矢量线OM Fdrrrdr52矢量线不仅存在，而且充满了矢量场所在空间；矢量线不仅存在，而且充满了矢量场所在空间；矢量场空间任意一点处，有且仅有一条矢量线通过；矢量场空间任意一点处，有且仅有一条矢量线通过；即矢量线互不相交。即矢量线互不相交。 矢量线的特点矢量线的特点：53例例1 1：设在坐标原点置一电量为设在坐标原点置一电量为q q的电荷，则在其周围空间的任一的电荷，则在其周围空间的任一点处所产生的电场强度为点处所产生的电场强
36、度为rr34qErrxyzre xe ye z其中其中 为为M点的矢径；点的矢径； ，求电场强度，求电场强度 的矢的矢量线。量线。E例例2 2：求矢量场求矢量场 通过点通过点 的矢量的矢量线方程。线方程。22()xyzAxzeyzexye(2, 1,1)M542. 矢量场的通量矢量场的通量 问题问题： 如何定量描述矢量场的大小？如何定量描述矢量场的大小？ 引入通量的概念。引入通量的概念。 几个概念几个概念：有向曲线、有向曲面有向曲线、有向曲面/ /面元面元( (正方向的选择正方向的选择) )55矢量场穿过面积元的通量（标量积）矢量场穿过面积元的通量（标量积）通量的概念通量的概念FSdne矢量场
37、通过曲面的通量（面积分）矢量场通过曲面的通量（面积分）dSSdFSddFSddnSe S其中：其中：面积元矢量；面积元矢量；ne面积元的法向单位矢量；面积元的法向单位矢量；dSddnF e S穿过面积元穿过面积元 的通量。的通量。例如：电通量、磁通量例如：电通量、磁通量56 如果曲面如果曲面 S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是SnSSeFSFdd矢量场穿过闭合曲面的通量矢量场穿过闭合曲面的通量57矢量场通过面积元的通量矢量场通过面积元的通量通量的物理意义通量的物理意义FSdne
38、FSdne矢量场通过曲面的通量矢量场通过曲面的通量dSFSF与与 相交成锐角相交成锐角(d0)neddFSF与与 相交成钝角相交成钝角(d0)ne穿向曲面穿向曲面S正侧的正通量和穿向曲正侧的正通量和穿向曲面的负通量的代数和！面的负通量的代数和！000580通过闭合曲面有通过闭合曲面有净的矢量线穿出净的矢量线穿出0有净的矢有净的矢量线进入量线进入0进入与穿出闭合曲进入与穿出闭合曲面的矢量线相等面的矢量线相等矢量场通过闭合曲面通量矢量场通过闭合曲面通量 通过闭合曲面的通过闭合曲面的通量通量从从宏观上宏观上建立了与曲面内产生矢量场建立了与曲面内产生矢量场的的源源的关系。的关系。dsFS正源正源负源负
39、源三种可能结果三种可能结果p 表示穿出闭合曲面的正通量和进入闭合曲面负通量的代数和表示穿出闭合曲面的正通量和进入闭合曲面负通量的代数和无源？无源？59例：例：位于原点的点电荷位于原点的点电荷q所产生的电场中，任何一点所产生的电场中，任何一点M处的电位移处的电位移矢量为矢量为24qDrr r其中其中r是点电荷是点电荷q到点到点M的距离，的距离， 是从点电荷是从点电荷q指向指向M的单位矢量。的单位矢量。设设S为以点电荷为中心，为以点电荷为中心，R为半径的球面，求从内穿出为半径的球面，求从内穿出S的电通量。的电通量。 球面球面S S内产生电通量的源，正是球面内的电荷；内产生电通量的源，正是球面内的电
40、荷； 静电场中的正电荷就是发出矢量线的正通量源；负电荷即为静电场中的正电荷就是发出矢量线的正通量源；负电荷即为负通量源负通量源60通量源在闭合曲面内的分布情况？通量源在闭合曲面内的分布情况？通量源的强弱？通量源的强弱？ 矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量，不能反映场域矢量场穿过闭合曲面的通量是一个积分量，不能反映场域内内每一点每一点的通量特性；为了研究矢量场在空间某点附近的通量的通量特性；为了研究矢量场在空间某点附近的通量特性特性(即源的特性即源的特性)，引入矢量场的，引入矢量场的散度散度！613. 矢量场的散度矢量场的散度定义：矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面定义：矢量通过包含
41、该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限元体积之比的极限(流出单位体积封闭面的通量流出单位体积封闭面的通量)00( , , ) d ( , , )limlimSVVF x y zSdiv F x y zVV l 矢量场的散度为一矢量场的散度为一标量标量; ;l 表示场中表示场中一点处一点处通量对体积的变化率，即该点处单位体积通量对体积的变化率，即该点处单位体积内散发出的该矢量的通量，具有场的内散发出的该矢量的通量，具有场的局部性质局部性质; ; l 描述了矢量场中描述了矢量场中某点处某点处通量源的通量源的密度密度( (强度强度) )62散度的物理意义散度的物理意义l 散度恒为零的矢量场
42、散度恒为零的矢量场 为为无源场无源场；l 如果把矢量场中每一点的散度与场中之点一一对应起来就如果把矢量场中每一点的散度与场中之点一一对应起来就得到一个标量场，称为该矢量场产生的得到一个标量场，称为该矢量场产生的散度场散度场。( 0)div A 与与 沿空间坐标变化有关，但与所取体积无关，只沿空间坐标变化有关，但与所取体积无关，只要要 即可。即可。以以 点为顶点作一个平行六点为顶点作一个平行六面体面体, ,故故 经过左右两面的通量为：经过左右两面的通量为：F F0 V),(zyxMF用偏微分代替偏增量，得用偏微分代替偏增量，得: :(x,y+y,z)(x+x,y,z)(x,y,z +z)xyzM
43、 (x,y,z)yen/yen /xyz直角坐标系下散度表达式的推导直角坐标系下散度表达式的推导 2( , )( , , )yyQF x yy zx zF x y zx z ( , )( , , )yyF x yy zF x y zx z 2yyFFQy x zx y zyy 同理，前后、上下面的通量分别为同理，前后、上下面的通量分别为: :故从该平行六面体穿出的通量为故从该平行六面体穿出的通量为: :令令 ，则，则0 zyxV 1xFQx y zx ，3zFQx y zz 123()yxzSFFFF dSQQQx y zxyz 0limySxzVF dSFFFdivFFVxyz 65圆柱坐标
44、系圆柱坐标系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐标系球坐标系zFyFxFFzyx直角坐标系直角坐标系散度的表达式散度的表达式：散度的有关公式散度的有关公式：0()()()()CCCfCffkFkF kf FfFFfFGFG 为常矢量为标量函数为常量664. 散度定理散度定理ddSVFSF V 体积的剖分体积的剖分VS1S2en2en1S通量与散度的关系：通量与散度的关系：p 该定理是矢量散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系，该定理是矢量散度的体积分与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系，是矢量分析中一个重要恒等式，在电磁理论中非常有
45、用。是矢量分析中一个重要恒等式，在电磁理论中非常有用。67例例1： 求求r 例例2：设：设 ，求，求 ，其中，其中 为可导函数。为可导函数。()( )A Mf r rA ( )f r68例例3 3：在位于原点的点电荷在位于原点的点电荷q所产生的电场中，求电位移矢量所产生的电场中，求电位移矢量D在在任何一点的散度。任何一点的散度。p 除了点电荷所在原点外，电位移矢量的散度处处为零，即为一无源场；除了点电荷所在原点外，电位移矢量的散度处处为零，即为一无源场；p 电场穿过包含电荷电场穿过包含电荷q的任何封闭曲面的电通量都等于的任何封闭曲面的电通量都等于q；24qDrresD dSqp 穿过任一封闭曲
46、面穿过任一封闭曲面S S的电通量，等于的电通量，等于S S所围电荷的代数和所围电荷的代数和( (电学中的高斯定电学中的高斯定理！理！) )p 电荷连续分布的电场中，电位移矢量的散度等于电荷连续分布的电场中，电位移矢量的散度等于电荷分布的体密度电荷分布的体密度！11NNeeiiiiqQD 691.5 矢量场的环流和旋度矢量场的环流和旋度 （Circulation and Rotation of Vector Field） 1. 矢量场的环流与旋涡源矢量场的环流与旋涡源 ClzyxFd),(环流的定义：环流的定义：dlFC矢量场的环流 矢量场矢量场F沿场中沿场中闭合路径闭合路径的的曲线积分曲线积分
47、称为矢量场称为矢量场F沿闭合路径的环流沿闭合路径的环流 不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通不是所有的矢量场都由通量源激发。存在另一类不同于通量源的源量源的源, ,它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合它所激发的矢量场的力线是闭合的，它对于任何闭合曲面的通量为零但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。曲面的通量为零但在场所定义的空间中闭合路径的积分不为零。xyzCF dxF dyF dz 70实例实例：力场中的环流：力场中的环流( , , ) dCF x y zlW表示表示：质点沿闭合路径运转一周，场力所做的功。：质点沿闭合路径运转一周，场力所做的功。 实例实例：流速场
48、中的环流：流速场中的环流表示表示：单位时间内，沿闭合回路：单位时间内，沿闭合回路l正向流动的环流。正向流动的环流。 ( , , ) dCv x y zlQ71( , , ) dCH x y zlI实例实例：磁场的环流与电流的关系：磁场的环流与电流的关系： 表示表示：由安培环路定理可知，磁场强度：由安培环路定理可知，磁场强度H沿闭合路径沿闭合路径C的环流就的环流就是穿过以路径是穿过以路径C为边界的任意曲面为边界的任意曲面S的总的电流强度（代数和）。的总的电流强度（代数和）。72意义意义：反映了矢量场的漩涡源：反映了矢量场的漩涡源性质性质：产生环流的源既不发出也不汇聚矢量线；：产生环流的源既不发出
49、也不汇聚矢量线； 所产生的矢量场的矢量线是所产生的矢量场的矢量线是闭合曲线闭合曲线分析分析：矢量场的环流与矢量场穿过闭合曲面的通量一：矢量场的环流与矢量场穿过闭合曲面的通量一 样，都是描述矢量场性质的量。如果矢量场的环样，都是描述矢量场性质的量。如果矢量场的环 流不等于零，则认为场中有产生该矢量场的源。流不等于零，则认为场中有产生该矢量场的源。73通量是一个闭合曲面积分通量是一个闭合曲面积分环流是一个闭合曲线积分环流是一个闭合曲线积分均为矢量场中均为矢量场中源源的的一种一种整体性整体性概念概念通量通量环流环流散度散度？环流是一个数量环流是一个数量： 与场矢量有关与场矢量有关 与回路与回路C C
50、 的形状和取向有关的形状和取向有关74u 定义定义M点处环流面密度：点处环流面密度： 回路回路C构成的面元为构成的面元为 故上述极限与故上述极限与 方向有关。方向有关。 与与 有一角度有一角度 0limCnSF dlS lSdrlSdSd/maxnnLL rlSdSd 0 nLlSdrSd max0nnLL lSdu 红线代表红线代表实际涡旋场矢量线实际涡旋场矢量线， 为为M处涡旋面正法线方向处涡旋面正法线方向rSd通过定义通过定义环流面密度环流面密度来描述某点处的漩涡源强度来描述某点处的漩涡源强度 但是：环流面密度与但是：环流面密度与方向方向有关！有关！75 矢量场的环流给出了矢量场与积分回
