1、第一章 直角三角形1.2 直角三角形的性质和判定（）1.如图，在方格纸上（设小方格边长为单位1）画一个顶点都在格点上的直角三角形，使其两直角边分别为3，4，量出这个直角三角形斜边的长度.ACBa=3b=4c=?我量得c为5.c=5思考思考2在方格纸上，以图中的RtABC的三边为边长分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形，那么这三个正方形的面积S1、S2、S3之间有什么关系呢？S1ACB34S2S3讨论讨论3由图可知，S1=32，S2=42，为了求S3，我们可以先算出红色区域内大正方形的面积，再减去4个小三角形的面积，得S3=52.32+42=52，S1+S2=S3.在图中，S1+S2=S3
2、，即BC2+AC2=AB2，那么是否对所有直角三角形，都有两直角边的平方和等于斜边的平方呢？S1ACB34S2S34如图，任作一个RtABC，C=90，若BC=a，AC=b，AB=c，那么a2+b2=c2是否成立呢？ACBabc步骤1：先剪出4个如右图所示的直角三角形，由于每个直角三角形的两直角边长为a，b（其中ba），于是它们全等（SAS），从而它们的斜边长相等.设斜边长为c.新知探究 1 5步骤2：再剪出1个边长为c的正方形，如下图所示.c6步骤3：把步骤1和步骤2中剪出来的图形拼成如图所示的图形.由于DHKEIH，2=4.又1+2=90，1+4=90.又KHI=90，1+KHI+4=18
3、0，即D，H，E在一条直线上.DEFGHIJKaaaabbbbcccc12347DEFGHIJKaaaabbbbcccc1234同理E，I，F在一条直线上；F，J，G在一条直线上；G，K，D在一条直线上.因此拼成的图形是正方形DEFG，它的边长为(a+b)，它的面积为(a+b)2.又正方形DEFG的面积为c2+2ab，即(a+b)2=c2+2ab，a2+b2=c2.8直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.a2+b2=c2.结论其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，较长的一边为股，斜边为弦（如图），因此这一性质被称为勾股
4、定理.弦股勾9【例1】如图，在等腰三角形ABC中，已知AB=AC=13cm，BC=10cm，ADBC于点D.你能算出BC边上的高AD的长吗？ABCD解：在ABC中， AB=AC=13，BC=10，ADBC， BD= BC=5. 在RtADB中， 由勾股定理得，AD2+BD2=AB2， AD= 故AD的长为12cm.12222213512.ABBD101.在RtABC中，C=90.（1）已知a=25，b=15，求c；（2）已知a=5，c=9，求b；（3）已知b=5，c=15，求a.答案：（1） ； （2） ； （3） .5 342 1410 2练习练习11如图，电工师傅把4m长的梯子AC靠在墙上
5、，使梯脚C离墙角B的距离为1.5m，准备在墙上安装电灯.当他爬上梯子后发现高度不够，于是将梯脚往墙角移近0.5m，即移动到C处.那么，梯子顶端是否往上移动0.5m呢？思考思考12如图，是由实物图抽象出来的示意图.在RtABC中，计算出AB；在RtABC中，计算出AB，则可得出梯子往上移动的距离为（AB-AB）m.AABCC墙面地面梯子在RtABC中，AC=4m，BC=1.5m，由勾股定理得，在RtABC中，AC=4m，BC=1m，故AB=因此AA=3.87-3.71=0.16(m).即梯子顶端A点大约向上移动了0.16m，而不是向上移动了0.5m.2241.513.753.71 m .AB 2
6、241 = 153.87 m，13【例2】（“引葭赴岸”问题）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深，葭长各几何？”意思是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在池的中央，其出水部分为1尺.如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，它的顶端恰好碰到池边的水面.问水深与芦苇长各为多少？ABCB15分析：根据题意，先画出水池截面示意图，如右图.设AB为芦苇，BC为芦苇出水部分，即1尺，将芦苇拉向岸边，其顶部B点恰好碰到岸边B.14解：如图，设水池深x尺， 则AC=x尺，AB=AB=（x+1）尺. 因为正方形池塘边长为10尺，所以BC=5尺. 在RtACB中，根据勾股
7、定理，得 x2+52=(x+1)2， 解得 x=12. 则芦苇长为13尺.答：水池的深度为12尺，芦苇长为13尺.ABCB15151.如图，一艘渔船以30海里/h的速度由西向东追赶鱼群.在A处测得小岛C在船的北偏东60方向；40min后，渔船行至B处，此时测得小岛C在船的北偏东30方向.已知以小岛C为中心，周围10海里以内有暗礁，问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁危险？ABC东北6030答案：不会有触礁危险.练习练习162.如图，AE是位于公路边的电线杆，高为12m，为了使电线CDE不影响汽车的正常行驶，电力部门在公路的另一边竖立了一根高为6m的水泥撑杆BD，用于撑起电线.已知两根杆子之间的
8、距离为8m，电线CD与水平线AC的夹角为60.求电线CDE的总长L（A，B，C三点在同一直线上，电线杆、水泥杆的粗细忽略不计）.DBCAE答案：104 3m.17我们已经知道勾股定理：“直角三角形两直角边a，b的平方和，等于斜边c的平方.”那么，这个定理的逆命题成立吗？思考思考18如图，在ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，且a2+b2=c2，那么ABC是直角三角形吗？ABCabc如果我们能构造一个直角三角形，然后证明ABC与所构造的直角三角形全等，即可得ABC是直角三角形.新知探究 219如图，作RtABC，使C=90，BC=a，AC=b.在RtABC中，根据勾股定理得，AB 2=a2+
9、b2，a2+b2=c2，AB2=c2，AC=c.在ABC和ABC中，BC=BC=a，AC=AC=b，AB=AB=c，ABCABC.C=C=90.ABC是直角三角形.ABCab20如果三角形的三条边长a，b，c满足关系：a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.结论先构造满足某些条件的图形，然后根据所先构造满足某些条件的图形，然后根据所求证的图形与所构造图形之间的关系，完求证的图形与所构造图形之间的关系，完成证明，这也是常用的问题解决策略成证明，这也是常用的问题解决策略. .21【例3】判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=6，b=8，c=10；（2）a=12，b=15
10、，c=20.分析 ：根据勾股定理的逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要看两条较短边长的平方和是否等于最长边的平方.满足满足a2+b2=c2的三个正整数称为勾股数的三个正整数称为勾股数.22解：（1）62+82=100，102=100， 62+82=102. 这个三角形是直角三角形. （2）122+152=369,202=400， 122+152202. 这个三角形不是直角三角形.23【例4】如图，在ABC中，已知AB=10，BD=6，AD=8，AC=17.求DC的长.ABCD解：在ABD中，AB=10，BD=6，AD=8，62+82=102，即AD2+BD2=AB2，ADB为直角三角形
11、.ADB=90.ADC=180-ADB=90.在RtADC中，DC2=AC2-AD2，2217815.DC244.判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形.（1）a=8，b=15，c=17；（2）a=10，b=24，c=25；（3）a=4，b=5，c=41.答案：（1）（3）是直角三角形； （2）不是直角三角形.练习练习255.如图，在边长为4的正方形ABCD中，F为CD的中点，E是BC上一点，且EC=1/4BC.求证：AEF是直角三角形.ABCDEF26通过本节通过本节课课，你有，你有什么什么收获？收获？你还存在哪些疑问，和同伴交流你还存在哪些疑问，和同伴交流. .我思 我进步27此课件可编辑版，如对课件有异议或侵权的请及时联系删除！课件可编辑版，请放心使用！.
