1、线性代数及其应用概况一点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容整体概述概况三点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容概况二点击此处输入相关文本内容点击此处输入相关文本内容代数由费马和笛卡尔的工作产生于17世纪关孝和或莱布尼兹引入行列式,雅可比和范德蒙发展詹姆斯或凯莱引入矩阵克莱姆,高斯,若当引入方程组我国九章算术中有一章方程历史背景1859 (清朝)李善兰翻译成“代数学”:识点内在联系图个知线性代数知识篇五矩 阵线性方程组行列式向量组一一对应一 一 对 应一一一一对对应应特征问题与二次型线性方程组求解为核心矩阵运算为主线11 11221121 1222221 122nnnnmm
2、mnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb11 1122121 12222a xa xba xa xb核心第一节 矩阵矩阵概念的引入矩阵概念的引入一、一、矩阵的定义矩阵的定义二、二、三三、 小小结结、思思考考题题第一章 矩阵 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa221122222121112121111. 线性方程组的解取决于 , 2 , 1,njiaij 系数 n,ibi21 常数项 nnnnnnnbaaabaaabaaa21222221111211对线性方程组的研究可转化为对这张表的研究.线性方程组的系数与常数项按原位置可排为线性变换 .co
3、ssin,sincos11yxyyxx 对应 cossinsincosXYO yxP, 111, yxP这是一个以原点为中心旋转 角的旋转变换. 由 个数排成的 行 列的元数表nm mn njmiaij, 2 , 1;, 2 , 1 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211称为 维矩阵. .简称 矩阵. .nm nm 记作 mnmmnnaaaaaaaaaA112222111211简记为 .ijnmijnmaaAA 元元的的矩阵矩阵nmA,.(,为为代代表表元元）简简称称为为元元的的元元素素个个数数称称为为这这ijaAnm 元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵.则
4、则例例如如.3,2,1, jijiaij 012101210A例如 34695301是一个 实矩阵,42 2222222613i是一个 复矩阵,33 421是一个 矩阵,13 9532是一个 矩阵,41 4是一个 矩阵.11 例如 2222222613i是一个3 阶方阵.几种特殊矩阵(2)(2)只有一行元素的矩阵 ,21naaaA 称为行矩阵( (或行向量) ).nA方阵. .也可记作阶阶称称为为的的矩矩阵阵行行数数和和列列数数都都等等于于nAn,)1(主对角线副(反)对角线只有一列元素的矩阵,21 naaaB称为列矩阵( (或列向量).).全为零的方阵称为上三角矩阵。即即主主对对角角线线以以
5、下下元元素素形形如如）（3 nnnnaaaaaa00022211211O 称为( (或）.（4） n 00000021形如 的方阵, ,OO全为零的方阵称为下三角矩阵。即即主主对对角角线线以以上上元元素素形形如如 nnnnaaaaaa21222111000O矩矩阵阵的的方方阵阵，即即既既是是上上三三角角又又是是下下三三角角记作.,21ndiagA (5) 数(纯)量矩阵（标量矩阵） 100010001nII称为单位矩阵（或单位阵）. .有时也记作E E. .OO全为1矩阵矩阵称对角线元相等的对角称对角线元相等的对角为数量矩阵或标量阵。 aaa000000000当 时，记作1 a （6）元素全为
6、零的矩阵称为零矩阵， 零矩阵记作 或 . .nm nmO O注意 .00000000000000000000 不同阶数的零矩阵是不“相等”的.例如BA与与 2. 2.两个矩阵 为同维矩阵,并且对应元素相等,即 ijijbBaA 与与 , 2 , 1;, 2 , 1njmibaijij 则称矩阵 相等,记作.BA 例如 9348314736521与与为同维矩阵. 同维矩阵与矩阵相等的概念 1. 1.两个矩阵的行数相等, ,列数相等时, ,称为同维矩阵.例1 设,131,213321 zyxBA.,zyxBA求求已已知知 解,BA . 2, 3, 2 zyx(1)(1)矩阵的概念 mnmmnnaa
7、aaaaaaaA112222111211列的一个数表列的一个数表行行nm(2) 特殊矩阵 方阵 ;nm 上（下）三角阵单位矩阵; ;零矩阵.100010001 ,21 naaaB ,21naaaA n 00000021行矩阵与列矩阵; nnnnaaaaaa21222111000 nnnnaaaaaa00022211211O ？是是否否等等于于数数一一维维矩矩阵阵11 是的！是的！100001000010B矩阵棣属关系:单位阵数量阵对角阵三角阵方阵矩阵。 答:对.第二节 矩阵的运算第一章 矩阵一一、矩矩阵阵的的加加法法二、数乘矩阵二、数乘矩阵三、矩阵与矩阵相乘三、矩阵与矩阵相乘四、矩阵的转置运算
8、四、矩阵的转置运算五五、小小结结、思思考考题题、定义 mnmnmmmmnnnnbababababababababaBA221122222221211112121111设有两个 矩阵 那末矩阵 与 的和记作 ，规定为nm ,bB,aAijij ABBA 说明 只有当两个矩阵是同维矩阵时，才能进行加法运算.例如 1234569818630915312 1826334059619583112.98644741113 2 2、 矩阵加法的运算规律 ;1ABBA .2CBACBA mnmmnnaaaaaaaaaA1122221112113 .,4BABAAOAOAA ,ija .负矩阵负矩阵的的称为矩阵
9、称为矩阵A1 1、定义.112222111211 mnmmnnaaaaaaaaaAA 规规定定为为或或的的乘乘积积记记作作与与矩矩阵阵数数, AAA ;1AA ;2AAA .3BABA 2 2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起来, ,统称为矩阵的线性运算. .（设 为 矩阵， 为数） ,nm BA、注：OAAAAA 0;)1(;1.,223,240242,213571:1XAXBBA求求且且设设矩矩阵阵例例 BABAX23232,: 减减法法运运算算可可知知由由矩矩阵阵数数乘乘解解 573812 24024223213571引引例例发发送送三三种种电电脑脑集集团团公公司司向向两两家家代
10、代理理商商某某IT下表所示：下表所示：的数量（单位：套）如的数量（单位：套）如商品名代理商WorkPadPCTabletNC甲甲乙乙11a12a13a21a22a23a：表表格格中中的的数数据据对对应应矩矩阵阵 232221131211aaaaaaA：件件重重量量也也可可以以列列成成矩矩阵阵这这三三种种电电脑脑的的单单价价及及单单 323122211211bbbbbbB).3 , 2 , 1(21 iibibii的单件重量的单件重量种电脑种电脑表示第表示第种电脑的单价，种电脑的单价，表示第表示第其中，其中，重量是多少？重量是多少？电脑的总电脑的总公司向代理商乙所发送公司向代理商乙所发送试问：该
11、试问：该IT 232221131211aaaaaaA 323122211211bbbbbbB的的意意义义即即、显显然然，由由BA.322322221221即即为为所所求求可可知知bababa 家家代代理理商商所所发发送送电电脑脑的的于于是是，可可得得该该公公司司向向两两总价值与总重量矩阵：总价值与总重量矩阵： 322322221221312321221121321322121211311321121111babababababababababababaC.的的“乘乘积积”、是是矩矩阵阵我我们们可可以以认认为为矩矩阵阵BAC于于是是，有有、定义 skkjiksjisjijiijbabababac
12、12211 , 2 , 1;, 2 , 1njmi 并把此乘积记作.nssmnmBAC 设 是一个 矩阵， 是一个 矩阵，那么规定矩阵 与矩阵 的乘积是一个 矩阵 ，其中 ijaA sm ijbB ns nm ijcC AB例2222263422142 C22 16 32 816设,415003112101 A 121113121430B例3 3? )3(42)2(.,BAAB求求故 121113121430415003112101ABC. 解 ,43 ijaA ,34 ijbB .33 ijcC5 671026 2 17 10.267321426471165233 BA注意只有当第一个矩阵的
13、列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘. 106861985123321例如不存在. 而有意义有意义 985123321106861、矩阵乘法的运算规律 ;1BCACAB ,2ACABCBA ;CABAACB BABAAB 3（其中 为数）; ;4nmnmmnnmAAIIA 若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即 并且 5nkAk 个个kkAAAA ,AAAkmkm .mkkmAA 为为正正整整数数k,m即即列的乘积列的乘积的第的第与与行行第第元为元为的的证证,),()(:)2(jCBiAjiCBA .),()(111元元的的为为jiACABcabacbankkjiknkkjiknkkjk
14、jik 注意矩阵一般不满足交换律，即：,BAAB .BAABkkk 例4 设 1111A 1111B则,0000 AB,2222 BA.BAAB 故故但也有例外，比如设,2002 A,1111 B则有, AB22 2 2 BA22 2 2.BAAB 000011111111AB同理，由同理，由.OBOAOAB 或或一一般般推推不不出出可可知知，注意矩阵乘法一般不满足消去律，亦即：.YXAYAX 一一般般推推不不出出例5 5 计算下列乘积： 123321;321123 1解 3216429633211231 10132231123321 3213332312322211312113212bbba
15、aaaaaaaabbb 解332222112bababa 321bbb.222322331132112233322222111bbabbabbabababa 321333231232221131211321bbbaaaaaaaaabbb331221111bababa =333223113bababa 解 0010010010012A.002012222 .001001kAA求求设设 例6 6 00100100201222223AAA 32323003033 由此归纳出 200021121 kkkkkAkkkkkkk 用数学归纳法证明当 时，显然成立.2 k假设 时成立，则 时，nk 1 nk
16、,001001000211211 nnnnnnnnnnnnAAA所以对于任意的 都有k .00021121 kkkkkkkkkkkA ,00102111111 nnnnnnnnnn kkkkkkkkkkkkkkkkkIcIcIIA 0002)1(000100010)(000100010)()()000100010(:12122211另另解解定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 . AAA例,854221 A;825241 TA ,6,18 B.618 TB、转置矩阵转置矩阵的运算性质 ;1AATT ;2TTTBABA ;3TTAA .4TTTABAB 元元的的元
17、元的的证证),(),()(:)4(ijABjiABT TTTABAB )(故故.),(元元的的列列的的第第行行乘乘的的第第列列的的第第行行乘乘的的第第jiABjAiBiBjATTTT 例7 7 已知,102324171,231102 BA .TAB求求解法1 102324171231102AB,1013173140 .1031314170 TAB解法2 TTTABAB 213012131027241.1031314170 2、对称阵与反对称阵对称阵定义 设 为 阶方阵，如果满足 ，即那末 称为对称阵.AnTAA n,j , iaajiij21 A.A为对称阵为对称阵例如例如 601086161
18、2称称为为则则矩矩阵阵如如果果AAAT, 对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相等。 说明.反对称矩阵反对称矩阵. 0. iijiijaaa显然，反对称矩阵中，显然，反对称矩阵中，即满足即满足例8 设列矩阵 满足 TnxxxX,21 , 1 XXT.,2,IHHHXXIHnITT 且且阵阵是是对对称称矩矩证证明明阶阶单单位位矩矩阵阵为为证明 TTTXXIH2 TTTXXI2 ,2HXXIT .是对称矩阵是对称矩阵H2HHHT 22TXXI TTTXXXXXXI44 TTTXXXXXXI44 TTXXXXI44 . I ,().);););).AnBnAABBABABBACABDBAB例例8 8
19、设设 是是 阶阶对对称称阵阵是是 阶阶反反对对称称阵阵 则则下下列列矩矩阵阵中中为为反反对对称称阵阵的的是是()(),.()TTTTTTTTABBAB AA BABBABA DABB ABA ABBAAB 选选其其实实为为对对称称阵阵例9 证明任一 阶矩阵 都可表示成对称阵与反对称阵之和.nA证明TTAA 2而而2AAT 为对称矩阵.TTAA 222TTAAAA 为反对称矩阵. 22TTAAAAA 命题得证.矩阵运算 加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵与反对称阵（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘不满足交换律,消去律.（1）只有当两个矩阵是
20、同维矩阵时，才能进行加减，法运算.注意 （3）矩阵的数乘运算是该数乘以矩阵中每一个元素.问等式问等式阶方阵阶方阵为为与与设设,nBA BABABA 22成立的充要条件是什么? ,22BABBAABABA 故 成立的充要条件为矩阵A、B可交换。即 BABABA 22.BAAB 答 ?)(,2222222成成立立的的条条件件问问BAABBABABA .BAAB 有有哪哪些些方方法法问问讨讨论论阶阶方方阵阵为为设设nAnA,思考题解答答TTTTTT )()()()1( 利利用用结结合合律律 例.已知， 求 9633 1642321TA是是矩矩阵阵，且且(1);(2)TnAn （ 为为正正整整数数）。
21、13(3,2,1) 214;141TnnAA 数数学学归归纳纳法法为为偶偶数数当当为为奇奇数数当当例例如如找找规规律律写写答答案案)3(,21212121212121212121212121212121)2(2nInAAIAAn 第三节 逆矩阵一、概念的引入一、概念的引入质质二二、逆逆矩矩阵阵的的概概念念和和性性三三、逆逆矩矩阵阵的的求求法法四、小结、思考题四、小结、思考题第一章 矩阵, 111 aaaa,11IAAAA 则矩阵 称为 的逆矩阵或逆阵.A1 A在数的运算中，当数 时，0 a有aa11 a其中 为 的倒数，a （或称 的逆）； 在矩阵的运算中，I单位阵 相当于数的乘法运算中 的1
22、，A那么，对于矩阵 ，1 A如果存在一个矩阵 ,使得 定义 对于 阶矩阵 ，如果有一个 阶矩阵 则说矩阵 是可逆的，并把矩阵 称为 的逆矩阵.nAB, IBAAB BAnA使得.1 AA的逆矩阵记作的逆矩阵记作例 设,21212121,1111 BA, IBAAB .的一个逆矩阵的一个逆矩阵是是AB说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是唯一的.AA若设 和 是 的可逆矩阵，BCA则有,ICAACIBAAB 可得IBB BCA ABC .CCI 所以 的逆矩阵是唯一的,即A.1 ACB证证例如 设,3002 A.的逆阵的逆阵求求A解则 310021BIBAAB 3100211BA .,2111AA
23、AA 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若逆矩阵的运算性质.,)1(IBAIABA 则必有则必有可逆，且可逆，且如果矩阵如果矩阵证证IIAAAABABAAABAIBA 111)()()( , 0,3且且可可逆逆则则数数可可逆逆若若AA .111 AA 且且亦亦可可逆逆则则为为同同阶阶方方阵阵且且均均可可逆逆若若,4ABBA 1111 ABBAABAB1 AIA,1IAA .111 ABAB证明 1ABB1 1 A ,)()(111111IBBIBBBAABABAB .1212 AA推推广广1AmA1 mA1 1A TTTAAAA11 TI , I .11TTAA .,10kkAAIAA 定定义义可
24、可逆逆时时当当另另外外证明 为为正正整整数数kT1 .,5AAAAT 且且亦亦可可逆逆则则可可逆逆若若T1 IIAAAATTTT 11证证明明, 022 IAA由由 IAIAIAA2 得得AIAIIAA22 .,2,:, 022并并求求它它们们的的逆逆矩矩阵阵都都可可逆逆证证明明满满足足方方程程设设方方阵阵IAAIAAA 例1 11 A .211IAA 1 A022 IAA又又由由 0432 IIAIA IIAIA 3412 IAIA34121 .43AI 12 IA例2 2 设,0112 A.的逆阵的逆阵求求A解设 是 的逆矩阵, dcbaBA则 dcbaAB0112 1001 100122
25、badbca利用待定系数法 , 1, 0, 02, 12badbca . 2, 1, 1, 0dcba又因为 0112 2110 0112 2110,1001 所以.21101 AABAB 714121,61ABAABAA且且oo.B求求ABABAA61 ABAIA61 IBIA61 .611 IAB解:,满满足足关关系系设设三三阶阶矩矩阵阵BA例3 3可逆，且可逆，且依题意，显然依题意，显然A 7421A11000100017000400026 16000300016 610003100016.100020006 116 IAB即即4例例）均为可逆阵，）均为可逆阵，、（、（、已知同阶方阵已知
26、同阶方阵BABA 111）则（则（BAAABBA)()(11 BABAC)()(11 ABABB1)()( BBAAD1)()( 解解11111111 ABABBAIBIABA11)( BBAAABABBA1111)()( . ）（故故而而选选择择 B同理，同理，111111 IAIBABBA111111)( ABABBABAABBBAABA1111)()( . ）（故故而而也也可可选选择择D说明：说明：.()到到了了加加法法的的交交换换律律满满足足交交换换律律！而而是是使使用用法法），并并不不能能说说明明矩矩阵阵乘乘、选选择择（DB，叫做，叫做逆阵乘积的形式的技巧逆阵乘积的形式的技巧表示成一
27、矩阵与其表示成一矩阵与其并将并将称适当乘上单位阵称适当乘上单位阵II.单位阵技巧单位阵技巧1、逆矩阵的概念及运算性质.2、逆矩阵的计算方法： ;1 待定系数法待定系数法 节节介介绍绍）（本本章章第第初初等等变变换换法法5.2对待具体矩阵，有对待具体矩阵，有，有有对对待待抽抽象象矩矩阵阵 A;)()(法法凑凑IAA ?,11 BAYBYABAXBAXA是是否否有有唯唯一一解解矩矩阵阵方方程程是是否否有有唯唯一一解解那那么么矩矩阵阵方方程程可可逆逆若若.1的的唯唯一一性性决决定定的的这这是是由由于于是是的的 A答.,101020101,2BAIABBA求求且且已已知知 .201030102,)()
28、(:2 IABIAIAIAIABIA所所以以可可逆逆因因为为由由已已知知得得解解第四节 分块矩阵一、矩阵的分块一、矩阵的分块则则二二、分分块块矩矩阵阵的的运运算算法法三三、小小结结、思思考考题题第一章 矩阵对于行数和列数较高的矩阵 ，为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算. . 具体做法是：将矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为 的子块，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵. .AAA,321 BBB bbaaA110101000001例 A001aba110000b110 1B2B3B即 bbaaA110101000001,4321 CCCC A
29、1a1C002C10010a3Cbb11004C即又例如又例如, BIOA ,4321AAAA bbaaA110101000001 bbaaA110101000001 aaA01其其中中 bbB11 1001I 0000O 0101aA其中其中 1012aA 1003bA bA1004 有有相相同同的的分分块块法法采采用用列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与设设矩矩阵阵,1BA那那么么列列数数相相同同的的行行数数相相同同与与其其中中,ijijBA.11111111 srsrssrrBABABABABA srsrsrsrBBBBBAAAAA11111111, 那末那末为数为数设设,21111
30、 srsrAAAAA.1111 srsrAAAAA 分分块块成成矩矩阵阵为为矩矩阵阵为为设设,3nlBlmA ,11111111 trtrststBBBBBAAAAA那那末末的的行行数数的的列列数数分分别别等等于于其其中中,2121ijjjitiiBBBAAA srsrCCCCAB1111 ., 1;, 11rjsiBACkjtkikij 其其中中 即即是是方方阵阵且且非非零零子子块块都都其其余余子子块块都都为为零零矩矩阵阵上上有有非非零零子子块块角角线线的的分分块块矩矩阵阵只只有有在在主主对对若若阶阶矩矩阵阵为为设设.,5AnA,21 sAAAAOO ,411 srAAA设设rA11sA.1
31、1 TsrTTAAA则则TsA1TrA1TsA1TrA1.11 TsrTTAAA则则,21 sAAAAOO ., 2 , 1对对角角矩矩阵阵为为分分块块那那末末称称都都是是方方阵阵其其中中AsiAi 并并有有均均可可逆逆、则则都都可可逆逆每每个个子子块块若若, 2 , 1BAsiAi ,621 sAAAA设设oo;21 sAAAAoo1 1 1 1 OAAAOBs21 OAAAOBs121 1 1 1 ssBBBAAA00000000000072121.0000002211 ssBABABA 10011001A00001121 例1 设,1011012100100001 A,021114011
32、0210101 B.AB求求解分块成分块成把把BA, IIO1A 0211140110210101B 11BI21B22B则 2221111BBIBIAOIAB.2212111111 BABBAIB.2212111111 BABBAIBAB又21111BBA 110121011121 11012043,1142 02141121221BA,1333 于是 2212111111BABBAIBAB.1311334210210101 例2 2 设,120130005 A.1 A求求解 120130005A,21 AOOA ,51 A;5111 A,12132 A;321112 A;321112 A
33、12111AOOAA;5111 A.3201100051 例3 3 设,003100005104002000 A.1 A求求解解.算算看成分块矩阵可简化计看成分块矩阵可简化计显然将显然将A,21 OAAOA取取,02141011 A则则,300512 A于是于是 OAAOOAAOA11121211 0002100410300005001A2A例4 (4 (性质) ) 设有分块形式：有分块形式：阶方阵阶方阵An nA ,21 TnTTA 21及及.,21 AAdiagn；乘积乘积，试求矩阵，试求矩阵又有对角矩阵又有对角矩阵 解解：AA有有意意义义，必必需需取取矩矩阵阵依依题题意意，为为使使 的行
34、分块形式，即有的行分块形式，即有 nA 21 TnTT 21 TnnTT 2211同同理理，有有 n 21 nA ,21 nn ,2211 在矩阵理论的研究中, ,矩阵的分块是一种最基本, ,最重要的计算技巧与方法. .(1) 加法采采用用相相同同的的分分块块法法同同维维矩矩阵阵 ,(2) 数乘的的每每个个子子块块乘乘需需乘乘矩矩阵阵数数AkAk,(3) 乘法.,的的列列划划分分相相一一致致划划分分与与的的列列的的需需相相乘乘与与若若BABA 分块矩阵之间的运算分块矩阵之间与一般矩阵之间的运算性质类似(4) 转置 srAAA11rA11sATsA1TrA1 TsrTTAAA11(5) 分块对角
35、阵的逆阵 sAAAA21OO ., 2 , 1112111 siAAAdiagAsiAA且且可可逆逆可可逆逆,都都是是可可逆逆方方阵阵和和其其中中设设CBCODBA .,1 AA并并求求可可逆逆证证明明证,1 YWZXA设设.000 IIYWZXCDB则则 .,ICYOCWODYBZIDWBX .,1111OWDCBZCYBX.11111 CODCBBA因因此此第五节 初等变换和初等矩阵同解变换同解变换方程组的方程组的一、初等变换的引入一、初等变换的引入 二二、矩矩阵阵的的初初等等变变换换三、初等矩阵的概念三、初等矩阵的概念四四、初初等等矩矩阵阵的的应应用用五五、小小结结、思思考考题题第一章
36、矩阵引例求解线性方程组 12130232121321xxxxxxxx我们来分析用消元法解下列方程组的过程解解132 123 31 13135023232321xxxxxxx132)(I 13135023232321xxxxxxx1325 3223 4121302332321xxxxxx132 3100232321xxxxx132323)121( 3 3100232321xxxxx1323 12 21 31031321xxx)(II的的解解。即即原原方方程程组组显显然然，方方程程组组)()(III小结：1上述解方程组的方法称为Gauss消元法三三类类：中中用用到到的的变变换换不不外外经经观观察察
37、，发发现现解解题题过过程程 2（1）交换两个方程的次序；（3）一个方程加上另一个方程的常数k倍ij（ 与 相互替换）（以替换）i i（2）以不等于的常数 乘上某个方程； j（以替换）k ij3上述三种变换都是可逆的由于三种变换都是可逆的，所以变换前的方程组与变换后的方程组是同解的故这三种变换是同解变换ji)(A若若),(B)(B则则);(Ajik )(A若若),(Bji)(A若若),(Bi )(B则则);(Ai 1 )(B则则).(A)( k ji因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的系数和常数进行运算，未知量并未参与运算若记 121110130121)(bAA则对方程组的变换完全可以转换为对
38、矩阵 (方程组（I）的增广矩阵）的变换A定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换: ）；记记作作两两行行对对调调两两行行（对对调调ijrji,1 ;02乘乘以以某某一一行行的的所所有有元元素素以以数数 ）记记作作行行乘乘（第第)(, iri .)(3 ）记记作作行行上上倍倍加加到到第第行行的的对对应应的的元元素素上上去去（第第倍倍加加到到另另一一行行把把某某一一行行所所有有元元素素的的krjkikij定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换, 且变换类型相同 同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是把“r”换成“c”)ijr)( ir逆变换逆变换;)1( i
39、r)(krij逆变换. )( krij ijr等价关系的性质：；反身性反身性）（A A 1A;B , B A 2则则若若对对称称性性）（C. AC,BB, A 3则则若若）传传递递性性（等价，记作等价，记作与与就称矩阵就称矩阵，矩阵矩阵经有限次初等变换变成经有限次初等变换变成如果矩阵如果矩阵BABABA具有上述三条性质的关系称为等价关系例如，两个线性方程组同解，就称这两个线性方程组等价3定定义义定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵. .I三种初等变换对应着三种初等方阵. 矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应用广泛. 行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一
40、以以数数乘乘某某行行或或某某列列；以以数数对对调调两两行行或或两两列列；k. 30. 2. 1 行行（列列）矩矩阵阵，得得初初等等两两行行（列列），即即中中第第对对调调)(,ijijcrjiI对对调调两两行行或或两两列列、1 1101111011ijijCR行行第第 i行行第第 j列列第第 i列列第第 j).(ijijCR，得得左左乘乘阶阶初初等等行行矩矩阵阵用用nmijijaARm )( mnmminiijnjjnijaaaaaaaaaaaaAR21212111211行行第第 i行行第第 j).( ijrjiAA行对调行对调行与第行与第的第的第把把：施行第一种初等行变换施行第一种初等行变换相
41、当于对矩阵相当于对矩阵，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等列列矩矩阵阵以以类类似似地地，ACnij mnmimjmnijnijijaaaaaaaaaaaaAC12222111111).( ijcjiAA列对调列对调列与第列与第的第的第把把：施行第一种初等列变换施行第一种初等列变换相当于对矩阵相当于对矩阵 02乘某行或某列乘某行或某列、以数、以数 阵阵），得得初初等等行行（列列）矩矩（即即列列第第行行乘乘单单位位矩矩阵阵的的第第以以数数)()()(0 iicrji 1111)()( iiCR行行第第 i第 i 列).()( iiCR；行行的的第第乘乘相相当当于于以以数数)( iriA mnmminii
42、niaaaaaaaaaAR212111211)( 行行第第 i类类似似地地，得得左左乘乘矩矩阵阵以以ARi)( ).( )( iiciAAC列列的第的第乘以乘以相当于以数相当于以数，其结果，其结果矩阵矩阵右乘右乘以以上上去去列列加加到到另另一一行行列列乘乘某某行行、以以数数)()(3k)()( kcijIkkrjiIkjiij列列上上列列加加到到第第的的第第乘乘或或以以行行上上行行加加到到第第的的第第乘乘以以 1111)()(kkCkRjiij行行第第i行行第第j，得得左左乘乘矩矩阵阵以以AkRij)( mnmminjnijijiniinijaaakaakaakaaaaaaaaAkR21221
43、12111211)().(krjkiAij行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第等等价价于于把把 ).()(kcikjAAkCjiji列列上上加加到到第第列列乘乘以以的的第第把把，其其结结果果相相当当于于右右乘乘矩矩阵阵类类似似地地，以以 mnmjmjmimnjjinjjijiaakaaaaakaaaaakaaakAC1222221111111)( 定理1 1 设 是一个 矩阵，对 施行一次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的 阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵. .nm mnAAAAA综合得综合得初等变换初等矩阵初等逆变换初等逆矩阵 1；的的逆逆变变换
44、换是是其其本本身身，则则变变换换ijijijRRr );1()()1()(1 iiiiRRrr ，则则的的逆逆变变换换为为变变换换. )()()()(1kRkRkrkrijijijij ，则则的的逆逆变变换换为为变变换换的的变变换换把把它它变变为为形形如如下下式式总总可可经经过过有有限限次次初初等等对对于于任任何何矩矩阵阵, nmA 2定定理理.标准形标准形nmrOOOIN ，必可找到初等矩阵，必可找到初等矩阵矩阵矩阵亦即，对任一亦即，对任一Anm 使得使得,11slCCRRnmrOOOI slCACRR11.为为零零阵阵，其其余余元元素素全全的的左左上上角角是是一一个个单单位位矩矩N特点：.
45、,有有关关的的实实数数是是个个与与三三个个数数唯唯一一确确定定，其其中中此此标标准准形形由由nmrrnm证明略证明略 00000310003011040101例如， 00000310004010130110B12r 00000310003011040101)1()1(2414ccN 00000001000001000001 0000030100310104100134 c 00000301003001040001.的的标标准准形形即即为为矩矩阵阵矩矩阵阵BN)4(15 c)3(25 c)3(35c注意注意有有四四种种变变形形：标标准准形形N OIr,)1( OIr)2()()4(nmrIr O
46、I 0)3( 121110130121)(bAA比如对节首的引例，有比如对节首的引例，有 31100001031001r 010000100001)31(14c)31(34c OI ,3 矩矩阵阵的的标标准准形形分分解解成成：可可改改写写可可逆逆阵阵，定定理理由由于于可可逆逆阵阵的的乘乘积积仍仍是是2，使得，使得阶可逆阵阶可逆阵、阶可逆阵阶可逆阵，必可找到，必可找到矩阵矩阵对任一对任一定理定理QnPmAnm 2QOOOIPAnmr )2 . 5 . 1(.)2 . 5 . 1(的标准形分解的标准形分解为矩阵为矩阵一般称式一般称式A1例例.342172建建立立标标准准形形分分解解试试对对矩矩阵阵
47、 A解解 342172A12r)4()2(1312rr 503021)5()31(232rr 001021)2(12c 001001 OI2标准形有有初初等等矩矩阵阵的的对对应应关关系系，于于是是，根根据据初初等等变变换换与与 OI2)2()2()4()31()5(12121213223ACRRRRR 仍仍是是初初等等阵阵，即即得得根根据据初初等等矩矩阵阵的的逆逆矩矩阵阵)2()2()4()31()5(11221121213223 COIRRRRRA)2()5()31()4()2(12212312113112112 COIRRRRR)2()5()3()4()2(122232131212 COI
48、RRRRR)2()5()3()4()2(1223232131212 COIIRRRRR)()2(150010001)3()4()2(1222131212 COIRRRR)2(150030001)4()2(122131212 COIRRR )2(154030001)2(1221212 COIRR)2(154030001)2(1221212 COIRR )2(15403200112212 COIR )2(1540010321222 CIOI)(QOIPOI 221021154001032.解解毕毕 定理3 3 A A为可逆方阵的充分必要条件是存在有限个初等方阵.,2121llPPPAPPP 使使.
49、,:1 BPAQQnPmBAnm 使使阶阶可可逆逆方方阵阵及及阶阶可可逆逆方方阵阵存存在在的的充充分分必必要要条条件件是是矩矩阵阵推推论论2推推论论可可经经过过可可逆逆的的充充分分必必要要条条件件是是阶阶矩矩阵阵AAn.的充分必要条件的充分必要条件可逆可逆为单位矩阵，即矩阵为单位矩阵，即矩阵有限次初等行变换后化有限次初等行变换后化AIA r逆逆矩矩阵阵的的方方法法。变变换换求求，可可以以得得到到利利用用初初等等行行利利用用推推论论2注意：注意：（应用一）利用初等变换求逆阵的方法：，有有可可逆逆时时，由由当当lPPPAA21 ,11111IAPPPll , 111111 AIPPPll及及 IP
50、PPAPPPllll1111111111 1 AI IAPPPll11111 . )(2 1 AIIAIAnn就就变变成成时时，原原来来的的变变成成当当把把施施行行初初等等行行变变换换，矩矩阵阵即即对对. ,343122321 1 AA求求设设 解例 2 2 103620012520001321 100343010122001321IA)2(12 r)3(13 r 111100012520011201 111100563020231001)2(31 r)5(32 r.111253232311 A)1(21r)1(23 r 11110025323010231001)21(2 r）（ 13 r 1
