1、 科目代码： 602 科目名称： 数学分析 第 1 页 共 2 页 南京师范大学南京师范大学 20212021 年硕士研究生入学考试初试试题（年硕士研究生入学考试初试试题（ A A 卷）卷） 科目代码： 602 科目名称： 数学分析 满分： 150 分 考生注意：认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在考生注意：认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 一、一、计算下列各题（每小题 5 分，共 20 分） 1. 设nnxln31
2、=，求+1lim1nnnxxn. 2.()xxxex1101lim+. 3. 设dxxxannnnn+=101123，求nnnalim. 4. .sincoscos20d+ 二 、二 、 设)(xf是 开 区 间I内 的 凸 函 数 ， 即 对Iyx ,及) 1, 0(， 均 有)()1 ()()1 (yfxfyxf+. 证明: )(xf在I的任何闭子区间上有界， 并举例说明)(xf在I内不一定有界.（15 分） 三、三、设)(xf在);(10 xU内二阶连续可微，记+=0010,)(21)(xxdxxfI （1）证明：)()(lim00 xfI=+； （2）假设0)(0 xf. 求)()(0
3、 xfI当+0时的主要部分.（15 分） 四、四、设函数)(xf在区间 1, 1上二阶可导，且有 . 1)(min, 0) 1 ()0( 1, 0=xfffx 证明：存在. 8)(),1, 0( f （15 分） 五、五、讨论级数)0(1) 1(11+=+aaannnn的敛散性（包括条件收敛和绝对收敛） （15 分） 六、六、设)(xf在,上二阶连续可微，且)()(),()(ffff=，证明：)(xf的Fourier 系数有如下估计： 科目代码： 602 科目名称： 数学分析 第 2 页 共 2 页 分）（ 10)(;1;122=nnobnoann 七、七、2224222,00,0( , ),
4、x yxyxyxyf x y+=设证明 (1). ( , )(0,0)f x y 在处任意方向的方向导数都存在; (2). ( , )(0,0)f x y 在处不可微. (15分） 八、八、证明函数20cos( )(,). 151 ()xI ydxxy+= +在上可导（ 分） 九 、九 、 计 算 曲 线 积 分222222()(2)(3),LIyz dxzx dyxy dz=+其 中L是 平 面2| 1. (15xyzxyzL+=+=与柱面的交线，从 轴正向看去， 为逆时针方向分） 十、十、设2fDR是有界开区域上的一致连续函数，证明： fD(1).可将 连续延拓到 的边界； . (15)fD(2). 在 上有界分
