1、 科目代码： 838 科目名称： 高等代数 第 1 页 共 2 页 南京师范大学南京师范大学 20212021 年硕士研究生入学考试初试试题（年硕士研究生入学考试初试试题（ A 卷）卷） 科目代码： 838 科目名称： 高等代数 满分： 150 分 考生注意：认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在考生注意：认真阅读答题纸上的注意事项；所有答案必须写在答题纸答题纸上，写在本试题纸或草稿纸上上，写在本试题纸或草稿纸上均无效；均无效；本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！本试题纸须随答题纸一起装入试题袋中交回！ 1.1. （每（每小小题题 1010 分，共分，共 2020 分）计算下列行列式
2、：分）计算下列行列式： (1) (2) 2.2. （2020 分）设分）设 是大于是大于 1 1 的整数，的整数，证明：证明：在在有理数域有理数域 上不可约当上不可约当且仅当且仅当 是素数是素数. . 3.3. （1515 分）证明：如果分）证明：如果 是是矩阵矩阵( (),),那么那么 4.4. （每（每小小题题 1010 分，共分，共 2020 分）线性方程组分）线性方程组 的系数矩阵为的系数矩阵为 . . 设设是矩阵是矩阵 中划去第中划去第 列剩下的列剩下的矩阵的行列式矩阵的行列式. . 证证明：明： (1)(1) 是方程组的一个解；是方程组的一个解； (2)(2) 如果如果 的秩为的秩
3、为，那么方程组的解全是那么方程组的解全是的倍数的倍数. . 科目代码： 838 科目名称： 高等代数 第 2 页 共 2 页 5. （1010 分）分）设设是是级正定矩阵，其中级正定矩阵，其中是是级矩阵级矩阵. 证明：证明：都是正定矩阵都是正定矩阵. 6.6. （每（每小小题题 1010 分，共分，共 3030 分）设分）设 为一数域，为一数域，表示表示 上所有迹为上所有迹为 0 0 的的 3 3 阶矩阵组成阶矩阵组成的集合的集合. . 证明：证明：是是的一个子空间；的一个子空间； 求求的一组基和维数；的一组基和维数； 证明：证明：，其中其中表示表示 3 3 阶单位矩阵阶单位矩阵生成的子空间生成的子空间. . 7.7. （1515 分）设分）设 为一数域，令为一数域，令，其中其中 , , 求求上线性变换上线性变换的所有不变子空间的所有不变子空间. . 8.8. （每（每小小题题 1010 分，共分，共 2020 分）设分）设是是 阶实对称矩阵，它的阶实对称矩阵，它的 个特征值排序成个特征值排序成，证明：证明： (1)(1) 对于对于( ( 为实数域为实数域) )中任一非零列向量中任一非零列向量 . . (2)(2) ，. .
