1、中国科学院大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（丙） 中国科学院大学 2020 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题 科目名称：高等数学（丙） 考生须知： 考生须知： 1本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1本试卷满分为 150 分，全部考试时间总计 180 分钟。 2所有答案必须写在答题纸上，写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 一、选择题一、选择题 (本题满分 60 分，每小题 6 分。请从题目所列的选项中选择一个正确项填充空格。每题的四个备选项中只有一个是正确的，
2、不选、错选或多选均不得分。请将你的选择标清题号写在考场发的答题纸上，直接填写在试题上无效。) 1. 已知函数( )f x在0 x 处连续，且220()lim1hf hh，则下列说法正确的是（ ） 。 A(0)0f且(0)f存在 B(0)1f且(0)f存在 C(0)0f且(0)f存在 D(0)1f且(0)f存在 2. 计算301 tan1 sinlimxxxx=（ ） 。 A0 B. 12 C. 13 D. 14 3. 二元函数( , )f x y在点(0,0)处可微的一个充分条件是（ ） 。 A( , )(0,0)lim ( , )(0,0)0 x yf x yf. B0( ,0)(0,0)l
3、im0 xf xfx，且0(0, )(0,0)lim0yfyfy. C22( , )(0,0)( , )(0,0)lim0 x yf x yfxy. D0lim( ,0)(0,0)0 xxxfxf，且0lim(0, )(0,0)0yyyfyf. 4. 已知D是以c为半径，坐标原点为圆心的圆，则Dxydxdy的值为（ ） 。 A0 B. 22c C. 42c D.44c 科目名称：高等数学（丙） 第 1 页 共 4 页 5. 设方程xyxyze，则2222zzxy的表达式是（ ） 。 A22()exyxy B()exyxy C2exyxy D(1)exyxy 6. 设03a ，15a ， 且对任
4、何自然数1n 有112(1)3nnnnaana， 则幂级数0nnna x的收敛半径为（ ） 。 A1 B23 C32 D2 7. 若反常积分011badxxx收敛，则（ ） 。 A1a 且1b B. 1a 且1b C. 1a 且1ab D. 1a 且1ab 8. 根据行列式的定义， 212111( )321111xxxf xxx中3x的系数为（ ） 。 A. 2 B. 1 C. -2 D. -1 9. 设A、B是 3 阶方阵，且4A ，3B ，则23TA B的值为（ ） 。 A108 B. 274 C. 972 D. 324 10. 设T=（10-1），矩阵TA=，n为正整数， naIA|为（
5、 ） 。 A22naa（） B.2a C.2na D.22na2 （） 二、 （本题满分二、 （本题满分 10 分）分）求矩阵1124A （1）特征值、特征向量； （2）并判定所对应的特征向量是否正交？ 科目名称：高等数学（丙） 第 2 页 共 4 页 三 （本题满分（本题满分 10 分）分） 已知三阶方阵3 33 3(),()ijijAaBb，计算下式： （1）*TAA，其中*A是A的伴随矩阵，TA是A的转置矩阵。若111213,aaa为三个相等的正数，求13a。 （2）若矩阵,A B等价，| 0A ，求|B。 四、 （本题满分（本题满分 10 分）分）有线性方程组：123451234523
6、4512345132322635433xxxxxxxxxxaxxxxxxxxxb （1）,a b取何值时方程组无解？ （2）, a b取何值时方程组有解，并写出其全部解。 五、 （本题满分本题满分 10 分）分） 已知向量组 123451152221010,331565011054 （1） 求向量组的秩和一个极大线性无关组；（2） 把不属于极大线性无关组的向量用极大线性无关组线性表示。六、 （本题满分本题满分 10 分）分）设曲线( )yf x与2yxx在点（1,0）处有公共切线，计算lim()2nnnfn。 七、 （本题满分 10 分本题满分 10 分）设数列 na有界，且满足条件：2nna
7、a，3nnaa，nN。证明数列 na收敛。 八、 （本题满分八、 （本题满分 10 分）分） 求由曲线3cosr与曲线1cosr 所围图形的公共部分的面积。 科目名称：高等数学（丙） 第 3 页 共 4 页 九 、（ 本 题 满 分九 、（ 本 题 满 分10分 ）分 ） 已 知 函 数( )uf r且222lnrxyz满 足 方 程2222223 2222(+)uuuxyzxyz，求( )f x的表达式。 十、 （本题满分十、 （本题满分 10 分）分）设函数( )f x在区间 , a b上具有连续导数，( )( )0f af b且有2( )1bafx dx 。请证明：不等式2221( )( )4bbaafxdxx fx dx。 科目名称：高等数学（丙） 第 4 页 共 4 页
