1、 综合素质调研数学试卷综合素质调研数学试卷 一、单选题一、单选题 1下列二次函数中，对称轴为直线 x = 1 的是（ ） Ay=-x2+1 By= (x1) 2 Cy= (x+1) 2 Dy =-x2-1 【答案】B 【解析】【解答】解：A、y=-x2+1 的对称轴为 x=0，故选项 A 错误； B、y= (x1) 2的对称轴为 x=1，故选项 B 正确； C、y= (x+1) 2的对称轴为 x=1，故选项 C 错误； D、y =-x2-1 对称轴为 x=0，故选项 D 错误. 故答案为：B. 【分析】y=ax2+h（a0）的对称轴为直线 x=0，据此判断 A、D；y=a(x-h)2+k（a0
2、）的对称轴为直线x=h，据此判断 B、C. 2若，则的值为（ ） A B C D 【答案】D 【解析】【解答】解：， ， . 故答案为：D. 【分析】由已知条件可得 x= y，然后代入 中化简即可. 3在中，则的值为（ ） A B C D 【答案】A 【解析】【解答】解：在 中， ， ， 设 BC= 、AC= ， ， . 故答案为：A. 【分析】根据正切三角函数的概念可设 BC=4x，AC=3x，根据勾股定理可得 AB=5x，然后根据正弦函数的概念进行计算. 4若点 都在反比例函数 的图象上，则 的大小关系是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】将 A，B，C 三点分别代入 ，可
3、求得 ，比较其大小可得： 故答案为：C 【分析】因为 A，B，C 三点均在反比例函数上，故可将点代入函数，求解 ，然后直接比较大小即可 5如图，在ABCD中，E、F 分别是 AD、CD 边上的点，连接 BE、AF，他们相交于 G，延长 BE交 CD 的延长线于点 H，则图中的相似三角形共有（ ） A2 对 B3 对 C4 对 D5 对 【答案】C 【解析】【解答】根据相似三角形的判定可得AGBFGH，HEDHBC，HEDBEA，AEBCBH，共 4 对故答案选 C 【分析】熟记相似三角形的判定是解答的关键. 6如图，在 中，点 D 在 BC 上，连接 AD，点 E 在 AC 上，过点 E 作
4、，交 AD于点 F，过点 E 作 ，交 BC 于点 G，则下列式子一定正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】【解答】解： ， AEFACD， ，A 不符合题意； ， ， CEGCAB， ， ，B 不符合题意； ，D 不符合题意； ， ， ， ， ，符合题意 C 故答案为：C 【分析】根据由平行线易得AEFACD，CEGCAB，再根据相似三角形的性质和平行线分线段成比例定理逐个判断即可 7某气球内充满了一定质量 的气体，当温度不变时，气球内气体的气压 （单位： ）是气体体积 （单位： ）的反比例函数： ，能够反映两个变量 和 函数关系的图象是（ ） A B C D 【答案】B 【解
5、析】【解答】解：当 m 一定时， 与 V 之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数. 故答案为：B. 【分析】利用已知条件可知 与 V 之间成反比例函数，由此可得答案. 8已知如图：，且，则的大小是（ ） A45 B50 C55 D65 【答案】B 【解析】【解答】解：OA=OC， A=OCA， OB=OC， B=OCB=OCA+ACB=25 +OCA， A+AOB=B+ACB= ， . 故答案为：B. 【分析】由等腰三角形性质得A=OCA，B=OCB=25+OCA，由外角的性质得A+AOB=B+ACB=50+OCA，据此计算. 9如图，在中，D、E 在斜边 AB 边上，若，则的
6、面积为（ ） A6 B C4 D 【答案】C 【解析】【解答】解： ， ， 故答案为：C. 【分析】根据等腰直角三角形的性质可得A=B=45，结合内角和定理可得ACE=CDE，易证ACEBDC，根据相似三角形的性质可得 ACBC=AEBD=8，然后借助三角形的面积公式进行计算. 10如图，坐标系的原点为 O，点 P 是第一象限内抛物线 y x21 上的任意一点，PAx轴于点 A则 OPPA 值为（ ） A1 B2 C3 D4 【答案】B 【解析】【解答】解：设 P 点坐标为（a， a21） ，则 OAa，PA a21， ， OPPA a2+1（ a21）2 故答案为：B 【分析】设 P 点坐标
7、为（a， a21） ，则 OAa，PA a21，再利用两点之间的距离公式可得，最后利用线段的和差计算即可。 二、填空题二、填空题 11抛物线的顶点在 x 轴上，那么 . 【答案】 【解析】【解答】解：抛物线 的顶点纵坐标为 ， 顶点在 轴上， ， 解得 ，经检验符合题意 故答案为： . 【分析】根据顶点坐标公式（ ， ）可得抛物线的顶点纵坐标，然后令其等于 0 即可求出 a 的值. 12反比例函数图象与正比例函数图象交于，则的值为 . 【答案】14 【解析】【解答】解：将 ， 分别代入 ，得 ， 直线 与双曲线 相交， 与 互为相反数，即 ， ， 则 ， 故答案为：-14. 【分析】将 A、B
8、 的坐标分别代入反比例函数解析式中可得 x1y1=7，x2y2=7，根据 A、B 为反比例函数与正比例函数图象的交点可得 y1=-y2，y2=-y1，则 x1y2+x2y1=-(x1y1+x2y2)，据此计算. 13如图，在扇形 AOB 中，点 E 在弧 AB 上，点 F 在 OB 上，若，则扇形 AOB 半径为 . 【答案】 【解析】【解答】解：如图，延长 EF 交圆 O 于点 C，连接 OC， AEF = 90 AC 为 OO 的直径， A、O、C 三点共线， OA= OC, AOB = 90, BOAC， BO 是 AC 的垂直平分线， AF=CF 在 RtAEF中，EF =6，AE=8
9、， AF = = = 10 CF= AF=10 CE=CF + EF =16 AC = = = OA= AC= 即扇形 AOB 半径为 . 故答案为： . 【分析】延长 EF 交圆 O 于点 C，连接 OC，易得 AC 为圆 O 的直径，BO 是 AC 的垂直平分线，则AF=CF，根据勾股定理可得 AF，进而求出 CE，利用勾股定理求出 AC，据此可得 OA 的值. 14如图.直线与坐标轴相交于 A、B 两点，动点 P 在线段 AB 上，动点 Q 在线段OA 上、连结 OP，且满足，则当 度时，线段 OQ 的最小值为 . 【答案】30；2 【解析】【解答】解：如图，过点 O 作 OEAB于点
10、E，过点 Q 作 QFAB于点 F，设 OQ=m，PE=n 直线 与坐标轴相交于 A、B 两点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在 中, , , 在 Rt 中， ， ， , 整理得, , , , , 解得, 舍弃 或 , 的最小值为 2 , 的最小值为 2 , 此时 , , 故答案为：30，2. 【分析】过点 O 作 OEAB于点 E，过点 Q 作 QFAB于点 F，设 OQ=m，PE=n，易得 A（3，0） ，B（0， ） ，据此可得 OA、OB，利用三角函数的概念可得 tanOAB的值，得到OAB的度数，根据同角的余角相等可得OPE=PFQ，证明OEPPFQ，根据
11、三角函数的概念求出AE，QF，AF，利用相似三角形的对应边成比例可得关于 n 的一元二次方程，结合判别式0 可得 m的范围，进而可得 m 的最小值，然后求出 n、PE、OP 的值，利用三角函数的概念求出 cosPOQ的值，进而可得POQ的度数. 三、解答题三、解答题 15计算：. 【答案】解：原式 ， 【解析】【分析】代入特殊角的三角函数值，根据绝对值的性质、二次根式的性质及 0 次幂的运算性质分别化简，然后计算乘法，再计算加减法即可. 16如图，已知直钱与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点 D，抛物线与直线交于 A，E 两点，与 x 轴交于 B，C 两点，点 B 的坐标为，求该抛物线对应的
12、函数表达式. 【答案】解：令， 抛物线过， ， ， 该抛物线对应的函数表达式为：. 【解析】【分析】令直线解析式中的 x=0，可得 y=1，则 A（0，1） ，将 A（0，1） 、B（1，0）代入y= x2+bx+c 中求出 b、c 的值，据此可得抛物线的表达式. 17如图，一次函数 yx5 的图象与反比例函数 y (k0)在第一象限的图象交于 A(1，n)和 B 两点. （1）求反比例函数的解析式； （2）在第一象限内，当一次函数 yx5 的值大于反比例函数 y (k0)的值时，写出自变量 x 的取值范围. 【答案】（1）解：一次函数 y=x+5 的图象过点 A（1，n） ， n=1+5，解
13、得：n=4， 点 A 的坐标为（1，4）. 反比例函数 y= （k0）过点 A（1，4） ， k=14=4， 反比例函数的解析式为 y= . 联立 ，解得： 或 ， 点 B 的坐标为（4，1） （2）解：观察函数图象，发现： 当 1x4.时，反比例函数图象在一次函数图象下方， 当一次函数 y=x+5 的值大于反比例函数 y= （k0）的值时，x 的取值范围为 1x4 【解析】【分析】 （1）将点 A 的坐标（1，4）代入，即可求出反比例函数的解析式； （2）一次函数 yx5 的值大于反比例函数 y ，即反比例函数的图象在一次函数的图象的下方时自变量的取值范围即可. 18如图，在正方形 中， 为
14、边 的中点，点 在边 上，且 ，延长 交 的延长线于点 （1）求证： （2）若 ，求 的长 【答案】（1）证明：四边形 ABCD 为正方形，且 （2）解：四边形 ABCD 为正方形， 点 E 为 AD 的中点 在 中， 由（1）知， ，即 故 的长为 9 【解析】【分析】 （1）先根据正方形的性质、直角三角形的性质得出 ，再加上一组直角相等，根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）先根据正方形的性质、中点的性质求出 AE 的长，再根据勾股定理求出 BE 的长，最后根据相似三角形的性质、线段的和差即可得 19如图，某中学数学活动小组在学习了“利用三角函数测高”后，选定测量小河对岸一幢建筑物 B
15、C的高度，他们先在斜坡上的 D 处，测得建筑物顶端 B 的仰角为 30且 D 离地面的高度 DE5m坡底 EA30m，然后在 A 处测得建筑物顶端 B 的仰角是 60，点 E，A，C 在同一水平线上，求建筑物 BC 的高(结果用含有根号的式子表示) 【答案】解：过点 D 作 DHBC于点 H，如图所示： 则四边形 DHCE 是矩形，DH=EC，DE=HC=5， 设建筑物 BC 的高度为 xm，则 BH=（x5）m， 在 RtDHB中，BDH=30， DH= （x5） ，AC=ECEA= （x5）30， 在 RtACB中，BAC=50，tanBAC= ， = 解得：x= ， 答：建筑物 BC 的
16、高为 m 【解析】【分析】过点 D 作 DHBC于点 H，设建筑物 BC 的高度为 xm，则 BH=（x5）m，根据RtDHB和 RtACB的三角函数值得出答案 20如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，. （1）请作出绕 O 点逆时针旋转 90的，并求出线段 AB 扫过的面积. （2）以点 O 为位似中心，将扩大为原来的 2 倍，得到，在 y 轴的左侧. 【答案】（1）解：的三个顶点坐标分别是， 绕 O 点逆时针旋转 90，得， 如图所示： 即为所求 ， ， 线段 AB 扫过的面积； （2）解：的三个顶点坐标分别是， ， 如图所示， 即为所求. 【解析】【分析】 （1）根据旋转
17、的性质找出点 A、B、C 绕点 O 逆时针旋转 90的对应点 A1、B1、C1的位置，顺次连接可得A1B1C1，易得线段 AB 扫过的面积为：圆心角为 90，半径分别为 OB、OA的扇形的面积之差，据此计算； （2）分别给点 A、B、C 的横纵坐标乘以-2，可得点 A2、B2、C2的坐标，找出对应的位置，然后顺次连接即可. 21如图，AB 是的弦，点 C 是在过点 B 的切线上，且且交 AB 于点 P. （1）求证： （2）若的半径为，求证：为等边三角形. 【答案】（1）证明：.， ， BC 切于点 B，OB 为半径 ， ， ， ， ， ， . （2）证明：如图，作于 ， 是等边三角形. 【解
18、析】【分析】 （1）根据垂直的概念可得AOC=90，根据切线的性质可得OBC=90，根据等腰三角形的性质可得A=OBA，结合等角的余角相等可得APO=ABC，推出CPB=CBP，据此证明； （2）作 ODAB于 D，根据垂径定理可得 AD=BD=3，利用三角函数的概念求出 cosOBD的值，根据特殊锐角三角函数值得到OBD的度数，进而求出CBP的度数，然后结合 CP=CB 以及等边三角形的判定定理进行证明. 22已知函数（m 为常数） ，问： （1）无论 m 取何值，该函数的图象总经过 x 轴上某一定点，该定点坐标为 ； （2）求证：无论 m 为何值，该函数的图象顶点都在函数图象上： （3）若
19、抛物线与 x 轴有两个交点 A、B，且，求线段 AB 的最大值. 【答案】（1） （-1,0） （2）证明：， 函数的顶点坐标为， 当时， 无论 m 为何值该函数图象的顶点都在图象上； （3）解：令， 解得：， ， 令线段 AB 的长度为 z，则， 因为， 所以， 因为 z 随 m 增大而增大， 所以当时， 故线段 AB 的最大值为 3. 【解析】【解答】解： （1）令 ， ， 解得： ， ， 无论 m 取何值，该函数的图象总经过 x 轴上的点 ； 故答案为： （-1,0） ； 【分析】 （1）令 y=0，求出 x 的值，可得定点坐标； （2）将抛物线解析式化为顶点式，据此可得顶点坐标，然后将
20、顶点的横坐标代入 y=-(x+1)2中求出 y的值，据此判断； （3）令 y=0，求出 x 的值，然后表示出 AB，令线段 AB 的长度为 z，则 z=|m-1|，结合 m 的范围可得 m-10，则 z=m-1，然后根据一次函数的性质进行解答. 23在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O. （1）如图，若四边形 ABCD 为矩形，过点 O 作，求证：. （2）如图，若，过点 O 作分别交 BC、AD 于点 E，F.求证：. （3）如图，若 OC 平分，D、E 分别为 OA、OB 上的点，DE 交 OC 于点 M，作交 OA 于一点 N，若，直接写出线段 MN 长度. 【答案】
21、（1）证明：四边形 ABCD 是矩形， O 是 AC 中点，. ， ， ， 又， ， ， E 是 BC 中点， ； （2）证明：， ， ， 同理， ， ， 即； （3）解： 【解析】【解答】解： （3）设 ， OC 平分AOB，NMOB， AOC=BOC=NMO ON=MN=x， ， ， ，即 ， ， 即 ， 故 的长度为 . 【分析】 （1）根据矩形的性质得 O 是 AC 的中点，ABBC，则 OEAB，根据平行线的性质得CAB=COE，证CABCOE，然后结合相似三角形的性质进行证明； （2）易证DFODAB，根据相似三角形的性质可得 ，同理可得 ， ， ，然后根据等式的性质进行证明； （3）设 MN=x，易证DNMDOE，然后根据相似三角形的性质求解即可.
